Mạch R, L, C mắc nối tiếp

Ta có giản đồ vecto trong trường hợp: U_C = 2.U_L:

Vậy u trễ pha với i.

Cường độ dòng điện qua mạch khi mắc lần lượt từng phần tử là

$\left\{ \begin{align}& {{I}_{R}}=\frac{U}{R}=0,25\Rightarrow R=4U \\& {{I}_{L}}=\frac{U}{{{Z}_{L}}}=0,5\Rightarrow {{Z}_{L}}=2U \\& {{I}_{C}}=\frac{U}{{{Z}_{C}}}=0,2\Rightarrow {{Z}_{C}}=5U \\\end{align} \right.$

Khi mắc R, L, C nối tiếp, tổng trở của mạch là:

$Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 4U \right)}^{2}}+{{\left( 2U-5U \right)}^{2}}}=5U$

Cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch là:

$I=\frac{U}{Z}=\frac{U}{5U}=0,2\,\,\left( A \right)$

Hệ số công suất của đoạn mạch là:

$\begin{align}& \cos \varphi =\frac{r}{Z}=\frac{r}{\sqrt{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=0,6 \\& \Rightarrow {{r}^{2}}=0,36\left( {{r}^{2}}+Z_{L}^{2} \right)\Rightarrow 0,64{{r}^{2}}=0,36Z_{L}^{2} \\& \Rightarrow 0,8r=0,6{{Z}_{L}}\Rightarrow r=\frac{3}{4}{{Z}_{L}} \\\end{align}$

Hệ số phẩm chất của đoạn mạch là:

$\frac{{{Z}_{L}}}{r}=\frac{{{Z}_{L}}}{\frac{3}{4}{{Z}_{L}}}=\frac{4}{3}$

Điện áp trung bình trong khoảng thời gian 100 ms là:

$\int_{0}^{0,1}{120\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t \right)dt}=\frac{120\sqrt{2}}{100\pi }\sin 100\pi t\left| \begin{align}& 0,1 \\& 0 \\\end{align} \right.=0$

Ta có: U_C = U_R = 60V

Đề bài cho i trễ pha hơn U_d góc $\frac{\pi }{3}$ nên cuộn dây có điện trở r.

→ $\tan {{\varphi }_{d}}=\frac{{{U}_{L}}}{{{U}_{r}}}=\sqrt{3}\Rightarrow {{U}_{L}}={{U}_{r}}\sqrt{3}\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Điện áp trong mạch trễ pha hơn i góc $\frac{\pi }{6}\Rightarrow \frac{{{U}_{C}}-{{U}_{L}}}{{{U}_{r}}+{{U}_{R}}}=\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{60-{{U}_{r}}\sqrt{3}}{{{U}_{r}}+60}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow 60\sqrt{3}-3{{U}_{r}}={{U}_{r}}+60\Rightarrow {{U}_{r}}=\frac{60\sqrt{3}-60}{4}\approx 11V$

$\Rightarrow {{U}_{L}}={{U}_{r}}\sqrt{3}=19V$

Điện áp hiệu dụng trong mạch là:

$U=\sqrt{{{\left( {{U}_{R}}+{{U}_{r}} \right)}^{2}}+{{\left( {{U}_{L}}-{{U}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 11+60 \right)}^{2}}+{{\left( 60-19 \right)}^{2}}}\approx 82\left( V \right)$

Ta có tỉ số:

$\begin{array}{l}\dfrac{{{U_{cd}}}}{U} = \dfrac{{{Z_{cd}}}}{Z} = \dfrac{{\sqrt {{r^2} + {Z_L}^2} }}{{\sqrt {{r^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }}\\ \Rightarrow {U_{cd}} = U.\dfrac{{\sqrt {{r^2} + {Z_L}^2} }}{{\sqrt {{r^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }}\\ \Rightarrow U = 100.\dfrac{{\sqrt {{{30}^2} + {{40}^2}} }}{{\sqrt {{{30}^2} + {{\left( {40 - 80} \right)}^2}} }} = 100\,\,\left( V \right)\end{array}$

Từ đồ thị ta thấy pha ban đầu của điện áp u_AN và u_MB là:

$\left\{ \begin{array}{l}{\varphi _{AN}} = {\varphi _1} = 0\\{\varphi _{MB}} = {\varphi _2} =  - \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{U_{AN}}}  \bot \overrightarrow {{U_{MB}}}$

Ta có: $\tan {\varphi _1}.\tan {\varphi _2} =  - 1$

$\Rightarrow \dfrac{{{Z_L}}}{{R + r}}.\dfrac{{ - {Z_C}}}{R} =  - 1 \Rightarrow {Z_L} = \dfrac{{R.\left( {R + r} \right)}}{{{Z_C}}} = \dfrac{{5000}}{{{Z_C}}}$

Lại có: $\dfrac{{{U_{0AN}}}}{{{U_{0MB}}}} = \dfrac{{{Z_{AN}}}}{{{Z_{MB}}}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{300}}{{50\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {R + r} \right)}^2} + {Z_L}^2} }}{{\sqrt {{R^2} + {Z_C}^2} }} = \dfrac{{\sqrt {{{100}^2} + {Z_L}^2} }}{{\sqrt {{{50}^2} + {Z_C}^2} }}\\ \Rightarrow \dfrac{{{{100}^2} + {Z_L}^2}}{{{{50}^2} + {Z_C}^2}} = \dfrac{{{{300}^2}}}{{{{\left( {50\sqrt 3 } \right)}^2}}} = 12\\ \Rightarrow 12{Z_C}^2 - {Z_L}^2 + 20000 = 0\\ \Rightarrow 12{Z_C}^2 - \dfrac{{{{5000}^2}}}{{{Z_C}^2}} + 20000 = 0\\ \Rightarrow {Z_C}^2 = \dfrac{{2500}}{3} \Rightarrow {Z_C} = \dfrac{{50}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{50\sqrt 3 }}{3}\,\,\left( \Omega  \right)\end{array}$

Độ lệch pha giữa điện áp và cường độ dòng điện là:

$\Delta \varphi = {\varphi _u} - {\varphi _i} = \frac{\pi }{3} - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{2}\,\,\left( {rad} \right)$

+ TH1: Khi nối ampe kế lí tưởng vào M, N $\Rightarrow$ Tụ C bị nối tắt $\Rightarrow$ Mạch gồm R,L.

u,i lệch pha $\frac{\pi }{6}$ $\Rightarrow \tan \frac{\pi }{6} = \frac{{{Z_L}}}{R} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow R = {Z_L}\sqrt 3 \,\,\,\left( 1 \right)$

$\Rightarrow Z = \frac{U}{I} = \frac{U}{{0,1}}\,\,\,\,\left( * \right)$

+ TH2: Khi mắc vôn kế lí tưởng vào M,N $\Rightarrow$ Mạch gồm R,L,C.

Vôn kế chỉ 20V $\Rightarrow {U_C} = 20V$

Ta có giản đồ vecto:

Từ giản đồ vecto ta $\Rightarrow \widehat {{U_R}O{U_C}} = \frac{\pi }{2}$

$\Rightarrow U = {U_C}.\sin \widehat {O{U_R}{U_C}} = 20.\sin \frac{\pi }{3} = 10\sqrt 3 V$

Thay $U = 10\sqrt 3 V$ vào (*) ta được: $Z = \frac{{10\sqrt 3 }}{{0,1}} = 100\sqrt 3 \Omega$

$\Rightarrow \sqrt {{R^2} + Z_L^2}  = 100\sqrt 3 \,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = 150\Omega \\{Z_L} = 50\sqrt 3 \Omega \end{array} \right.$

Khi có cộng hưởng thì ${Z_L} = {Z_C} \Rightarrow Z = R$

+ Từ phương trình điện áp, ta có $\omega  = 100\pi \left( {rad/s} \right)$

+ Mạch có cộng hưởng điện $\Rightarrow {Z_L} = {Z_C} = 30\Omega$

+ Lại có, dung kháng: ${Z_C} = \frac{1}{{\omega C}} \Rightarrow C = \frac{1}{{\omega .{Z_C}}} = \frac{1}{{100\pi .30}} = 1,{061.10^{ - 4}}F$

Ta có, mạch gồm R nt tụ điện, tổng trở của mạch: $Z = \sqrt {{R^2} + Z_C^2}  = \sqrt {{{120}^2} + {{50}^2}}  = 130\Omega$