Các hàm số lượng giác

Hàm số $y = \cot x$ là hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k\pi ;\,\,\pi  + k\pi } \right)$, không phải đồ thị dạng hình sin nên loại A và C.

Trong các đáp án chỉ có đáp án  D có đồ thị của hàm số nghịch biến nên ta chọn D.

Bước 1:

Ta có $y = 1 + \sqrt 3 {\sin ^2}\left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)$. Mà $0 \le {\sin ^2}\left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1.$

Do đó $1 \le y \le 1 + \sqrt 3 .$

Bước 2:

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 1 + \sqrt 3 \\m = 1\end{array} \right.$

Xét đáp án A:

Thay $-x$ vào hàm số $\begin{array}{l}y\left( x \right) = \sin x.co{{\rm{s}}^2}x + \tan x\end{array}$ ta được:

$y\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right).\cos^2\left( { - x} \right) + \tan \left( { - x} \right)$

Theo công thức các hàm số lượng giác liên quan:

$\begin{array}{l}\sin \left( { - x} \right) =  - \sin x\\\cos \left( { - x} \right) = \cos x\\\tan \left( { - x} \right) =  - \tan x\end{array}$

$\Rightarrow {\cos ^2}\left( { - x} \right) = {\left[ {\cos \left( { - x} \right)} \right]^2} = {\left( {\cos x} \right)^2}$$=\cos^2 x$

$\Rightarrow{\cos ^2}\left( { - x} \right)=\cos^2 x$

Thay các kết quả trên vào $y(-x)$ ta được:

$y\left( { - x} \right) =  - \sin x.\cos^2x - \tan x$

$=-\left( { \sin x.\cos^2 x+\tan x} \right) =-y(x)$

$\Rightarrow y\left( { - x} \right) =-y\left( x \right)$

Vậy đây là hàm số lẻ.

Hàm số $y = 2\sin x$ xác định trên $\mathbb{R}$ nên tập xác định $D = \mathbb{R}$.

ĐKXĐ: $\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}$.

Suy ra TXĐ của hàm số đã cho là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Xét

$f\left( {x + \dfrac{{k\pi }}{2}} \right) = \tan \left[ {2\left( {x + \dfrac{{k\pi }}{2}} \right)} \right]$$= \tan \left( {2x + k\pi } \right) = \tan 2x = f\left( x \right)$

$=  > f\left( {x + k.\dfrac{\pi }{2}} \right) = f\left( x \right)$$=  > T = \dfrac{\pi }{2}$

Chu kì của hàm số $y = \tan 2x$ là $T = \dfrac{\pi }{2}$

Cũng giống như hàm số $y = \tan x$ ta xét sự biến thiên của hàm số trên $\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)$ :

Giả sử có ${x_1} < {x_2} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)$ $\Leftrightarrow 0 < {x_1} < {x_2} < \dfrac{\pi }{4}$

$\Rightarrow 2.0 < 2{x_1} < 2{x_2} < 2.\dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2}$$\Leftrightarrow 0 < 2{x_1} < 2{x_2} < \dfrac{\pi }{2}$

$\Rightarrow 2{x_1},2{x_2} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$$\Rightarrow \tan 2{x_1} < \tan 2{x_2}$ $\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

Như thế nếu ${x_1} < {x_2}$ thì $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$ khi ${x_1};{x_2} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)$

Hay hàm số đồng biến trên $\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)$

Tương tự, giả sử có ${x_1} < {x_2} \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4} < {x_1} < {x_2} < \dfrac{\pi }{2}$

$\Rightarrow \dfrac{\pi }{2} < 2{x_1} < 2{x_2} < \pi$$\Rightarrow 2{x_1},2{x_2} \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)$$\Rightarrow \tan 2{x_1} < \tan 2{x_2}$ $\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)$

Hàm số có tập xác định là R khi và chỉ khi $m\cos x + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Khi m = 0 thì ta có 1 > 0 (luôn đúng).

Khi m > 0 ta có:

$- 1 \le \cos x \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow  - m \le m\cos x \le m\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow 1 - m \le m\cos x + 1 \le 1 + m\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

=> $\min (m\cos x + 1 ) =1-m$

Do đó $m\cos x + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\min (m\cos x + 1 ) >0$$\Leftrightarrow 1 - m > 0 \Leftrightarrow m < 1$.

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow 0 < m < 1$.

Khi m < 0 ta có:

$- 1 \le \cos x \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow  - m \ge m\cos x \ge m\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow 1 - m \ge m\cos x + 1 \ge 1 + m\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

=> $\min (m\cos x + 1 ) =1+m$

Do đó $m\cos x + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\min (m\cos x + 1 ) >0$ $\Leftrightarrow 1 + m > 0 \Leftrightarrow m >  - 1$.

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow  - 1 < m < 0$.

Vậy $- 1 < m < 1$.

- Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \cos 3x$.

TXĐ: $D = \mathbb{R} \Rightarrow x \in D$ thì $- x \in D$.

Ta có: $f\left( { - x} \right) =\cos \left[ { 3.(-x)} \right] = \cos \left( { - 3x} \right)$$= \cos 3x = f\left( x \right)$.

Do đó hàm số $y = f\left( x \right) = \cos 3x$ là hàm số chẵn.

- Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \sin \left( {{x^2} + 1} \right)$

TXĐ: $D = \mathbb{R} \Rightarrow x \in D$ thì $- x \in D$.

Ta có: $f\left( { - x} \right) = \sin \left[ {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} \right] = \sin \left( {{x^2} + 1} \right) = f\left( x \right)$.

Do đó hàm số $y = f\left( x \right) = \sin \left( {{x^2} + 1} \right)$ là hàm số chẵn.

- Xét hàm số $y = f\left( x \right) = {\tan ^2}x$

TXĐ: $D = \mathbb{R} \Rightarrow x \in D$ thì $- x \in D$.

Ta có: $f\left( { - x} \right) = {\left[ {\tan \left( { - x} \right)} \right]^2} = {\left( { - \tan x} \right)^2} = {\tan ^2}x = f\left( x \right)$.

Do đó hàm số $y = f\left( x \right) = {\tan ^2}x$ là hàm số chẵn.

- Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \cot x$

TXĐ: $D = \mathbb{R} \Rightarrow x \in D$ thì $- x \in D$.

Ta có: $f\left( { - x} \right) = \cot \left( { - x} \right) =  - \cot x =  - f\left( x \right)$.

Do đó hàm số $y = f\left( x \right) = \cot x$ là hàm số lẻ.

Vậy trong các hàm số đã cho có 3 hàm số là hàm số chẵn.

Ta có: $y = \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 2019$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = 2.\dfrac{1}{2}.\left( {\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x} \right) + 2019\\ = 2.\left( {\dfrac{1}{2}.\sqrt 3 .\sin 2x - \dfrac{1}{2}.\cos 2x} \right) + 2019\end{array}$

$\begin{array}{l} = 2\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right) + 2019\\ = 2\left( {\sin 2x.\cos \dfrac{\pi }{6} - \cos 2x.\sin \dfrac{\pi }{6}} \right) + 2019\\ = 2\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) + 2019.\end{array}$

Ta có: $- 1 \le \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) \le 1$

$\Rightarrow 2.\left( { - 1} \right) \le 2.\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) \le 2.1$

$\Rightarrow  - 2 \le 2\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) \le 2$

$\begin{array}{l} \Rightarrow  - 2 + 2019 \le 2\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) + 2019 \le 2 + 2019\\ \Rightarrow 2017 \le 2\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) + 2019 \le 2021.\end{array}$

$\Rightarrow 2017 \le y \le 2021$

Vậy tập giá trị của hàm số là $\Rightarrow G = \left[ {2017;2021} \right].$

Xét đáp án A:

$y (-x)= \left| -x \right|{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in(-x)}}$

$\begin{array}{l} = \left| x \right|.\left( { - \sin x} \right) = \left| x \right|.\left( { - 1} \right).\sin x\\ =  - \left| x \right|.\sin x =  - y\left( x \right)\end{array}$

=>Loại.

Xét đáp án B:

$\begin{array}{l}y\left( { - x} \right) = \dfrac{{{{\sin }^{2020}}\left( { - x} \right) + 2019}}{{\cos \left( { - x} \right)}}\\ = \dfrac{{{{\left[ {\sin \left( { - x} \right)} \right]}^{2020}} + 2019}}{{\cos x}}\\ = \dfrac{{{{\left( { - \sin x} \right)}^{2020}} + 2019}}{{\cos x}}\\ = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{2020}}.{{\left( {\sin x} \right)}^{2020}} + 2019}}{{\cos x}}\\ = \dfrac{{{{\left( {\sin x} \right)}^{2020}} + 2019}}{{\cos x}}\\ = \dfrac{{{{\sin }^{2020}} + 2019}}{{\cos x}} = y\left( x \right)\end{array}$

=> Nhận

Xét đáp án C:

$y\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) =  - \tan x$$=  - y\left( x \right)$=> Loại.

Xét đáp án D:

$\begin{array}{l}y\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right).{\cos ^2}\left( { - x} \right) + \tan \left( { - x} \right)\\ = \left( { - \sin x} \right).{\left[ {\cos \left( { - x} \right)} \right]^2} + \left( { - \tan x} \right)\\ =  - \sin x.{\left( {\cos x} \right)^2} - \tan x\\ =  - \sin x.{\cos ^2}x - \tan x\\ =  - \left( {\sin x.{{\cos }^2}x + \tan x} \right) =  - y\left( x \right)\end{array}$

Ta có hàm số

$\begin{array}{l}y\left( x \right) = \sin x.co{{\rm{s}}^2}x + \tan x\\ \Rightarrow y\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right).\cos^2 \left( { - x} \right) + \tan \left( { - x} \right)\\ \Leftrightarrow y\left( { - x} \right) =  - \sin \left( x \right).\cos^2 \left( x \right) - \tan \left( x \right)\\=-\left( { \sin x.\cos^2 x + \tan x } \right) =-y(x)\\ \Rightarrow y\left( x \right) =  - y\left( { - x} \right)\end{array}$

Vậy đây là hàm số lẻ.

Bước 1:

Ta có $\cos \dfrac{x}{2} = \cos \left( {\dfrac{1}{2}.x} \right) \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}$

Bước 2:

Ta có $T = \dfrac{{2\pi }}{{\dfrac{1}{2}}} = 4\pi$

Bước 3:

Vậy hàm số $y = \cos \dfrac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $T = 4\pi$.

Hàm số $y = \dfrac{{2\sin x - 1}}{{\tan 2x + \sqrt 3 }}$ xác định khi

$\left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos2}}x \ne 0\\\tan 2x \ne  - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\2x \ne \dfrac{{ - \pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\,\\x \ne \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Hàm $y = \cos x$ có TXĐ $D = R$.

Trong các đáp án đã cho chỉ có hàm số $y = \tan 2x$ có tập giá trị là $R$, các hàm còn lại đều có tập giá trị là $\left[ { - 1;1} \right]$.

Hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)$.

Cho $k =  - 1$ ta được hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên $\left( { - \dfrac{{3\pi }}{2}; - \dfrac{\pi }{2}} \right)$.

Mà $\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right) \subset \left( { - \dfrac{{3\pi }}{2}; - \dfrac{\pi }{2}} \right)$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right)$

Đáp án A sai vì $\cos 0 = 1$.

Đáp án B đúng vì $\sin 0 = 0$.

Đáp án C sai vì $\cot 0$ không xác định.

Đáp án D sai vì $\tan 0 - 1 =  - 1 \ne 0$.

Đáp án A: $y(x) = {x^2} - \sin x$

$\Rightarrow y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} - \sin \left( { - x} \right) = {x^2} + \sin x$

Ta có:

${x^2} + \sin x \ne{x^2} - \sin x$$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne y(x)$

${x^2} + \sin x \ne-{x^2}+ \sin x$$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne -y(x)$ 

=>Hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Đáp án B: $y = {x^2} + \sin x \Rightarrow y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + \sin \left( { - x} \right) = {x^2} - \sin x$

Ta có:

${x^2} - \sin x \ne{x^2} + \sin x$$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne y(x)$

${x^2} - \sin x \ne-{x^2}- \sin x$$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne -y(x)$ 

=>Hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Đáp án C: $y = {x^3} - \sin x \Rightarrow y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} - \sin \left( { - x} \right) =  - {x^3} + \sin x =  - y\left( x \right)$

=>$y(-x)=-y(x)$

=> Hàm số là lẻ.

Đáp án D: $y = \cos x - {x^2} \Rightarrow y\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) - {\left( { - x} \right)^2} = \cos x - {x^2} = y\left( x \right)$

=>$y(-x)=y(x)$

=> Hàm số là chẵn.

+ Tìm GTLN:

Ta có: 

${\cos ^2}3x={\left( {\cos 3x} \right)^2} \ge 0$

Lấy $-2$ nhân vào hai vế của bất đẳng thức ta được:

$- 2{\cos ^2}3x \le 0$

Sau đó cộng 3 vào hai vế của bất đẳng thức thì được:

$- 2{\cos ^2}3x +3 \le 0+3 = 3$ $\Rightarrow y \le 3$.

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {\cos 3x} \right)^2} = 0\Leftrightarrow \cos 3x = 0$.

+ Tìm GTNN:

Ta luôn có:

$- 1 \le \cos 3x \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ge  - 1\\\cos 3x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 3x + 1 \ge 0\\1 - \cos 3x \ge 0\end{array} \right.$

Lấy vế nhân với vế ta được:

$\begin{array}{l}\left( {\cos 3x + 1} \right).\left( {1 - \cos 3x} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - {\left( {\cos 3x} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}3x \ge 0\left( {do{{\left( {\cos 3x} \right)}^2} = {{\cos }^2}3x} \right)\\ \Leftrightarrow 1 \ge {\cos ^2}3x \\\Leftrightarrow {\cos ^2}3x \le 1\end{array}$

Lấy $-2$ nhân vào 2 vế của bất đẳng thức ta được:

$- 2{\cos ^2}3x \ge  - 2.1=-2$$\Rightarrow 3 - 2{\cos ^2}3x \ge 3 - 2 = 1$$\Rightarrow y \ge 1$

Dấu “=” xảy ra khi $\left[ \begin{array}{l}\cos 3x =  - 1\\\cos 3x = 1\end{array} \right.$

Đồ thị hàm số $y = \tan x$ nhận các đường thẳng $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$ làm tiệm cận đứng.

Ta có:

$-1 \le \sin x \le 1$=> $\sin^2 x = (\sin x)^2 \le 1$

mà $\sin^2 x = (\sin x)^2 \ge 0$

$=>0 \le {\sin ^2}x \le 1$ $\Rightarrow 2 \le 2 + {\sin ^2}x \le 3$

$\Rightarrow \sqrt 2  \le \sqrt {2 + {{\sin }^2}x}  \le \sqrt 3$

$\Rightarrow 1 + \sqrt 2  \le 1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x}  \le 1 + \sqrt 3$

$\Rightarrow \dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 }} \ge \dfrac{1}{{1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x} }} \ge \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }}$

$\Rightarrow \dfrac{3.1}{{1 + \sqrt 2 }} \ge \dfrac{3.1}{{1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x} }} \ge \dfrac{3.1}{{1 + \sqrt 3 }}$

$\Rightarrow \dfrac{3}{{1 + \sqrt 2 }} \ge \dfrac{3}{{1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x} }} \ge \dfrac{3}{{1 + \sqrt 3 }}$

Hay $\dfrac{3}{{1 + \sqrt 3 }} \le y \le \dfrac{3}{{1 + \sqrt 2 }}$.

$\Rightarrow \max y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt 2 }}$

Dấu “=” xảy ra khi $\sin^2 x = 0<=>\sin x =0$.

$\min y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt 3 }}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sin^2 x=1<=>\sin x =  \pm 1$.

Suy ra $\min y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt 3 }};\max y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt 2 }}$.