Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x} }}$:

Ta có:

$-1 \le \sin x \le 1$=> $\sin^2 x = (\sin x)^2 \le 1$

mà $\sin^2 x = (\sin x)^2 \ge 0$

$=>0 \le {\sin ^2}x \le 1$ $\Rightarrow 2 \le 2 + {\sin ^2}x \le 3$

$\Rightarrow \sqrt 2  \le \sqrt {2 + {{\sin }^2}x}  \le \sqrt 3$

$\Rightarrow 1 + \sqrt 2  \le 1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x}  \le 1 + \sqrt 3$

$\Rightarrow \dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 }} \ge \dfrac{1}{{1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x} }} \ge \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }}$

$\Rightarrow \dfrac{3.1}{{1 + \sqrt 2 }} \ge \dfrac{3.1}{{1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x} }} \ge \dfrac{3.1}{{1 + \sqrt 3 }}$

$\Rightarrow \dfrac{3}{{1 + \sqrt 2 }} \ge \dfrac{3}{{1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x} }} \ge \dfrac{3}{{1 + \sqrt 3 }}$

Hay $\dfrac{3}{{1 + \sqrt 3 }} \le y \le \dfrac{3}{{1 + \sqrt 2 }}$.

$\Rightarrow \max y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt 2 }}$

Dấu “=” xảy ra khi $\sin^2 x = 0<=>\sin x =0$.

$\min y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt 3 }}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sin^2 x=1<=>\sin x =  \pm 1$.

Suy ra $\min y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt 3 }};\max y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt 2 }}$.