Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x} }}\):

Ta có:

\(-1 \le \sin x \le 1\)=> $\sin^2 x = (\sin x)^2 \le 1$

mà $\sin^2 x = (\sin x)^2 \ge 0$

\(=>0 \le {\sin ^2}x \le 1\) \( \Rightarrow 2 \le 2 + {\sin ^2}x \le 3\)

\( \Rightarrow \sqrt 2  \le \sqrt {2 + {{\sin }^2}x}  \le \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow 1 + \sqrt 2  \le 1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x}  \le 1 + \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 }} \ge \dfrac{1}{{1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x} }} \ge \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow \dfrac{3.1}{{1 + \sqrt 2 }} \ge \dfrac{3.1}{{1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x} }} \ge \dfrac{3.1}{{1 + \sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow \dfrac{3}{{1 + \sqrt 2 }} \ge \dfrac{3}{{1 + \sqrt {2 + {{\sin }^2}x} }} \ge \dfrac{3}{{1 + \sqrt 3 }}\)

Hay \(\dfrac{3}{{1 + \sqrt 3 }} \le y \le \dfrac{3}{{1 + \sqrt 2 }}\).

\( \Rightarrow \max y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt 2 }}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\sin^2 x = 0<=>\sin x =0\).

\(\min y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt 3 }}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sin^2 x=1<=>\sin x =  \pm 1\).

Suy ra \(\min y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt 3 }};\max y = \dfrac{3}{{1 + \sqrt 2 }}\).