Xét hàm số \(y = \tan 2x\) trên một chu kì. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

ĐKXĐ: \(\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).

Suy ra TXĐ của hàm số đã cho là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Xét

\(f\left( {x + \dfrac{{k\pi }}{2}} \right) = \tan \left[ {2\left( {x + \dfrac{{k\pi }}{2}} \right)} \right]\)\( = \tan \left( {2x + k\pi } \right) = \tan 2x = f\left( x \right)\)

\( =  > f\left( {x + k.\dfrac{\pi }{2}} \right) = f\left( x \right)\)\( =  > T = \dfrac{\pi }{2}\)

Chu kì của hàm số \(y = \tan 2x\) là \(T = \dfrac{\pi }{2}\)

Cũng giống như hàm số \(y = \tan x\) ta xét sự biến thiên của hàm số trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) :

Giả sử có \({x_1} < {x_2} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) \( \Leftrightarrow 0 < {x_1} < {x_2} < \dfrac{\pi }{4}\)

\( \Rightarrow 2.0 < 2{x_1} < 2{x_2} < 2.\dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2}\)\( \Leftrightarrow 0 < 2{x_1} < 2{x_2} < \dfrac{\pi }{2}\)

\( \Rightarrow 2{x_1},2{x_2} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)\( \Rightarrow \tan 2{x_1} < \tan 2{x_2}\) \( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)

Như thế nếu \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\) khi \({x_1};{x_2} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)

Hay hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)

Tương tự, giả sử có \({x_1} < {x_2} \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) \( \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4} < {x_1} < {x_2} < \dfrac{\pi }{2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{\pi }{2} < 2{x_1} < 2{x_2} < \pi \)\( \Rightarrow 2{x_1},2{x_2} \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\)\( \Rightarrow \tan 2{x_1} < \tan 2{x_2}\) \( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\)