Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3 - 2{\cos ^2}3x$:

+ Tìm GTLN:

Ta có: 

${\cos ^2}3x={\left( {\cos 3x} \right)^2} \ge 0$

Lấy $-2$ nhân vào hai vế của bất đẳng thức ta được:

$- 2{\cos ^2}3x \le 0$

Sau đó cộng 3 vào hai vế của bất đẳng thức thì được:

$- 2{\cos ^2}3x +3 \le 0+3 = 3$ $\Rightarrow y \le 3$.

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {\cos 3x} \right)^2} = 0\Leftrightarrow \cos 3x = 0$.

+ Tìm GTNN:

Ta luôn có:

$- 1 \le \cos 3x \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ge  - 1\\\cos 3x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 3x + 1 \ge 0\\1 - \cos 3x \ge 0\end{array} \right.$

Lấy vế nhân với vế ta được:

$\begin{array}{l}\left( {\cos 3x + 1} \right).\left( {1 - \cos 3x} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - {\left( {\cos 3x} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}3x \ge 0\left( {do{{\left( {\cos 3x} \right)}^2} = {{\cos }^2}3x} \right)\\ \Leftrightarrow 1 \ge {\cos ^2}3x \\\Leftrightarrow {\cos ^2}3x \le 1\end{array}$

Lấy $-2$ nhân vào 2 vế của bất đẳng thức ta được:

$- 2{\cos ^2}3x \ge  - 2.1=-2$$\Rightarrow 3 - 2{\cos ^2}3x \ge 3 - 2 = 1$$\Rightarrow y \ge 1$

Dấu “=” xảy ra khi $\left[ \begin{array}{l}\cos 3x =  - 1\\\cos 3x = 1\end{array} \right.$