Các hàm số lượng giác

Đặt \(t = \tan x \)

Tập giá trị của hàm $\tan x$ là R nên tập xác định của t lúc này cũng là R.

\(\Rightarrow y = f(t)={t^2} - 4t + 1\) , \(t \in \mathbb{R}\).

Hàm số bậc hai \(f(t)=a{t^2} + bt + c\) với \(a > 0\) luôn đạt GTNN trên \(\mathbb{R}\) tại đỉnh parabol có hoành độ \(t =  - \dfrac{b}{{2a}} = 2 \)\(\Rightarrow \min y = f\left( 2 \right) =2^2-4.2+1=  - 3\).

Điều kiện: \(\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x + \dfrac{\pi }{3} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2}\)

Ta có: \(\tan 3x=\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}\) và $\cot 5x=\dfrac{\cos 5x}{\sin 5x}$

=> Điều kiện của hàm số là:

 \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\sin 5x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\5x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\\x \ne k\dfrac{\pi }{5}\end{array} \right.\)

Ta có: $\cot^2 x=(\cot x)^2$ mà $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$

=> Để hàm số ban đầu xác định thì $\sin x \ne 0$

=> Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - \sin 3x \ne 0}\\\begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\dfrac{{1 + {{\cot }^2}x}}{{1 - \sin 3x}} \ge 0(Luôn đúng)\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin 3x \ne 1}\\{\sin x \ne 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x \ne k\pi \end{array} \right.\)

Chu kì của hàm số \(f\left( x \right) = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{5}} \right)\) là \({T_0} = 2\pi \)

Chu kì của hàm số \(y = \sin 3x\) là \(\dfrac{{2\pi }}{3}\), chu kì của hàm số \(y = \cos 2x\) là \(\pi \).

Chu kì của hàm số đã cho là \(T = BCNN\left( {\dfrac{{2\pi }}{3};\pi } \right) = 2\pi \).

Hàm số \(y = \tan x\) có chu kì là \({T_1} = \pi \).

Hàm số \(y = \tan \dfrac{x}{2}\) có chu kì là \({T_2} = \dfrac{\pi }{{1/2}} = 2\pi \).

Vậy chu kì của hàm số \(y = \tan x + \tan 2x\) là \(T = BCNN\left( {\pi ;2\pi } \right) = 2\pi \).

Dễ thấy,

+ Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).

+ Hàm số \(y = \sin 2x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi \).

+ Hàm số \(y = \tan x + \cot 2x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi \).

+ Hàm số \(y = \sin \sqrt x \) không tuần hoàn.

Ta có: \(0 \le {\cos ^2}x \le 1\)\(\Rightarrow 2.0 \le 2.{\cos ^2}x \le 2.1\)

\( \Rightarrow 0 \le 2{\cos ^2}x \le 2\)\( \Rightarrow 0 + 1 \le 2{\cos ^2}x + 1 \le 2 + 1\) \( \Rightarrow 1 \le 2{\cos ^2}x + 1 \le 3\)

\( \Rightarrow 1 \le \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1}  \le \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - 1 \ge  - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1}  \ge  - \sqrt 3 \\ \Rightarrow  - 1+1 \ge  - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} +1 \ge1 - \sqrt 3 +1\end{array}\)

\( \Rightarrow 0 \ge 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1}  \ge 1 - \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow 1 - \sqrt 3  \le y \le 0\)

Do đó \(\min y = 1 - \sqrt 3 \) khi \({\cos ^2}x = 1\) và \(\max y = 0\) khi \(\cos x = 0\).

\(y = 3\sin x + 4\cos x + 1 \Leftrightarrow y - 1 \)\(= 3\sin x + 4\cos x\)

\({\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2}\)

Ta coi \(a = 3;b = 4;c = \sin x;d = \cos x\)

Theo BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki ta được:

\({\left( {3.\sin x + 4.\cos x} \right)^2}\)\( \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2} + {{\cos }^2}x} \right) = 25.1\)

\( \Rightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} \le 25 \Leftrightarrow  - 5 \le y - 1 \le 5\)

\( \Leftrightarrow  - 5 + 1 \le y \le 5 + 1 \Leftrightarrow  - 4 \le y \le 6\)

Vậy \(\max y = 6;\min y =  - 4\)

Bước 1:

\(y = 2{\sin ^2}x + 3\sin 2x - 4{\cos ^2}x\)

$= 2{\sin ^2}x + 3\sin 2x - 2.(2{\cos ^2}x)$

\( = 1 - \cos 2x + 3\sin 2x - 2.\left( {1 + \cos 2x} \right)\)

\( = 1 - \cos 2x + 3\sin 2x - 2 - 2.\cos 2x\)

\( = 3\sin 2x - 3\cos 2x - 1\)

Bước 2:

\(y = 3\sin 2x - 3\cos 2x - 1\)

\( \Rightarrow y + 1 = 3\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)\)

\( \Rightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = 9{\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)^2}\)

Bước 3:

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – ki với 

\(\begin{array}{l}a = 1;b =  - 1;c = \sin 2x;d = \cos 2x\\ {\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)^2}\\={\left[ {1.\sin 2x + \left( { - 1} \right).\cos 2x} \right]^2}\\ \le \left[ {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \right].\left[ {{{\left( {\sin 2x} \right)}^2} + \left( {\cos 2x} \right)}^2 \right]\end{array}\)

\( = 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 2.1=2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)^2} \le 2\\ \Rightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = 9.{\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)^2} \le 9.2\\ \Leftrightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} \le 18\end{array}\)

\( \Rightarrow  - \sqrt {18}  \le y + 1 \le \sqrt {18} \) \( \Rightarrow   - 3\sqrt 2 -1 \le y \le   + 3\sqrt 2 - 1\)

Vậy \(\min y =  - 3\sqrt 2  - 1;\max y = 3\sqrt 2  - 1\)

Bước 1:

Ta có \(y = \dfrac{{k\sin x + 1}}{{\cos x + 2}}\)\( \Leftrightarrow y.\cos x + 2y = k.\sin x + 1\)\( \Leftrightarrow y.\cos x - k.\sin x = 1 - 2y\)  (*)

Bước 2:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với $a=y;b=-k;c=\cos x;d=\sin x$, ta có

\({\left( {y.\cos x - k.\sin x} \right)^2}\)\( \le \left( {{y^2} + {(-k)^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}}x \right) \)\(=( {y^2} + {k^2}).1={y^2} + {k^2}\)

Bước 3:

Kết hợp với điều kiện (*), ta được \({\left( {1 - 2y} \right)^2} \le {y^2} + {k^2} \Leftrightarrow 3{y^2} - 4y + 1 - {k^2} \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{y^2} - 4y \le {k^2} - 1\\ \Leftrightarrow 3\left( {{y^2} - \dfrac{4}{3}y} \right) \le {k^2} - 1\\ \Leftrightarrow 3\left( {{y^2} - 2.\dfrac{2}{3}.y + \dfrac{4}{9}} \right) \le {k^2} - 1 + 3.\dfrac{4}{9}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 3{\left( y^2-\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{9} \right)} \le {k^2} + \dfrac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow 3{\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2} \le {k^2} + \dfrac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2} \le \dfrac{{{k^2} + \dfrac{1}{3}}}{3} = \dfrac{{3{k^2} + 1}}{9}\)

$ \Leftrightarrow y - \dfrac{2}{3} \ge  - \sqrt {\dfrac{{3{k^2} + 1}}{9}} $$ \Rightarrow y \ge \dfrac{2}{3} - \sqrt {\dfrac{{3{k^2} + 1}}{9}} $\( = \dfrac{2}{3} - \dfrac{{\sqrt {3{k^2} + 1} }}{3} = \dfrac{{2 - \sqrt {3{k^2} + 1} }}{3}\)

$ \Rightarrow \min y = \dfrac{{2 - \sqrt {3{k^2} + 1} }}{3}$

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \min y >  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{{2 - \sqrt {3{k^2} + 1} }}{3} >  - 1\)

\( \Leftrightarrow 2 - \sqrt {3{k^2} + 1}  > 3.\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow \sqrt {3{k^2} + 1}  < 2 + 3\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3{k^2} + 1}  < 5 \) \( \Leftrightarrow 3{k^2} + 1 < 25 \Leftrightarrow {k^2} < 8\)\( \Leftrightarrow \left| k \right| < \sqrt 8  = 2\sqrt 2 \)

Bước 1:

Ta có \({\sin ^2}2x = \dfrac{{1 - \cos 4x}}{2}\) và \(2{\cos ^2}2x = 1+\cos 4x\).

Khi đó \(y = \dfrac{{\dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} + 3\sin 4x}}{{1 + \cos 4x - \sin 4x + 2}}\)

\(\Leftrightarrow y = \dfrac{{1 + 6.\sin 4x - \cos 4x}}{{2.\cos 4x - 2.\sin 4x + 6}}\)

Bước 2:

\( \Leftrightarrow 2y.\cos 4x - 2y.\sin 4x + 6y\)\( = 1 + 6.\sin 4x - \cos 4x\) \( \Leftrightarrow \left( {2y + 1} \right).\cos 4x - \left( {2y + 6} \right).\sin 4x = 1 - 6y\)  \( \Rightarrow [\left( {2y + 1} \right).\cos 4x - \left( {2y + 6} \right).\sin 4x ]^2\)\(= (1 - 6y)^2\)  (*)

Bước 3:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \({\left[ {\left( {2y + 1} \right).\cos 4x - \left( {2y + 6} \right).\sin 4x} \right]^2} \le [{\left( {2y + 1} \right)^2} + (-{\left( {2y + 6} \right))^2}]. (\cos^2 4x + \sin^2 4x)\) $={\left( {2y + 1} \right)^2} + {\left( {2y + 6} \right)^2}$

Bước 4:

Kết hợp với (*), ta được \({\left( {1 - 6y} \right)^2} \le {\left( {2y + 1} \right)^2} + {\left( {2y + 6} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l}1 - 12y + 36{y^2} \le 4{y^2} + 4y + 1 + 4{y^2} + 24y + 36\\ \Leftrightarrow 36{y^2} - 12y + 1 \le 8{y^2} + 28y + 37\\ \Leftrightarrow 28{y^2} - 40y - 36 \le 0\\ \Leftrightarrow 7{y^2} - 10y - 9 \le 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{5 - 2\sqrt {22} }}{7} \le y \le \dfrac{{5 + 2\sqrt {22} }}{7}\)

Vậy \(\min y = \dfrac{{5 - 2\sqrt {22} }}{7}\); \(\max y = \dfrac{{5 + 2\sqrt {22} }}{7}\)

Bước 1:

ĐKXĐ : \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\2 - \cos x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos x < 2\left( {\forall x} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \).

Bước 2:

Vậy TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).

Xét hàm số \(y = {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 6\sin x + 8\cos x\)\( = {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 2\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)\)

\( = {\left( {3\sin x - 4\cos x - 1} \right)^2} - 1 \Rightarrow y \ge  - 1 \Rightarrow \min y =  - 1\) vì \({\left( {3\sin x - 4\cos x - 1} \right)^2} \ge 0;\forall x \in \mathbb{R}\).

Khi đó bất phương trình \(y \ge 2m - 1;\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow 2m - 1 \le \min y =  - 1 \Leftrightarrow m \le 0\)

Đặt \(y = \dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 4{{\cos }^2}x + 1}}\)\( = \dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 2\left( {1 + \cos 2x} \right) + 1}}\)\( = \dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}\)

\( \Leftrightarrow y.\sin 2x + 2y.\cos 2x + 3y = 3.\sin 2x + \cos 2x\)\( \Leftrightarrow \left( {y - 3} \right).\sin 2x + \left( {2y - 1} \right).\cos 2x =  - 3y\)  (*)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \({\left[ {\left( {y - 3} \right).\sin 2x + \left( {2y - 1} \right).\cos 2x} \right]^2} \le {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2}\)

Kết hợp với (*), ta được \(9{y^2} \le \left( {y - 3} \right){\,^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} \Leftrightarrow y \le \dfrac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\)\( \Rightarrow \max y = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\)

Để bất phương trình \(y \le m + 1;x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow m + 1 \ge \max y = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\)\( \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{\sqrt {65}  - 9}}{4}\)

Ta có \({\left( {\sin 2x + 3.\cos 2x} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {3^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 10\)\( \Leftrightarrow  - \sqrt {10}  \le \sin 2x + 3\cos 2x \le \sqrt {10} \)

Và \({\left( {4.\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} \le \left( {{4^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 17\)\( \Rightarrow 4.\sin 2x + \cos 2x \in \left[ { - \sqrt {17} ;\sqrt {17} } \right]\)

Khi đó \(4\sin 2x + \cos 2x + 17 > 0\) nên để bất phương trình đã cho có nghiệm thì

\(3\cos 2x + \sin 2x + m + 1 > 0;\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow  - m - 1 < \min y =  - \sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow m > \sqrt {10}  - 1\)

Lại có \(\dfrac{{4\sin 2x + \cos 2x + 17}}{{3\cos 2x + \sin 2x + m + 1}} \ge 2\)\( \Leftrightarrow 4.\sin 2x + \cos 2x + 17 \ge 6.\cos 2x + 2.\sin 2x + 2m + 2\)

\( \Leftrightarrow 2.\sin 2x - 5.\cos 2x \ge 2m - 15;\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow 2m - 15 \le \min \left\{ {2.\sin 2x - 5.\cos 2x} \right\}\)\( \Leftrightarrow 2m - 15 \le  - \sqrt {29} \)

\( \Leftrightarrow m \le \dfrac{{15 - \sqrt {29} }}{2}\).

Vậy giá trị cần tìm của m là \(\sqrt {10}  - 1 < m \le \dfrac{{15 - \sqrt {29} }}{2}\)

Bước 1:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a Cốp xki ta có: \({\left( {\sin 2x + 3.\cos 2x} \right)^2}\)\( \le \left( {{1^2} + {3^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 10\)\( \Leftrightarrow  - \sqrt {10}  \le \sin 2x + 3\cos 2x \le \sqrt {10} \)

Và \({\left( {4.\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} \le \left( {{4^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 17\)\( \Leftrightarrow  - \sqrt {17}  \le 4\sin 2x + \cos 2x \le \sqrt {17} \)

Khi đó \(4\sin 2x + \cos 2x + 17 > 0\)

Bước 2:

Ta có $- \sqrt {10}  \le \sin 2x + 3\cos 2x$

\( \Rightarrow \sin 2x + 3\cos 2x + m + 1\)\( \ge  - \sqrt {10}  + m + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y \ge m - \sqrt {10}  + 1\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = m - \sqrt {10}  + 1\end{array}\)

Để bất phương trình đã cho có nghiệm thì

\(y > 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y > 0\)

\( \Leftrightarrow m - \sqrt {10}  + 1 > 0 \Leftrightarrow m > \sqrt {10}  - 1\)

Bước 3:

Lại có \(\dfrac{{4\sin 2x + \cos 2x + 17}}{{3\cos 2x + \sin 2x + m + 1}} \ge 2\)\(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 4.\sin 2x + \cos 2x + 17 \ge 6.\cos 2x + 2.\sin 2x + 2m + 2\)\(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 2.\sin 2x - 5.\cos 2x \ge 2m - 15;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 2m - 15 \le \min \left\{ {2.\sin 2x - 5.\cos 2x} \right\}\)\(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 2m - 15 \le  - \sqrt {29} \)\(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow m \le \dfrac{{15 - \sqrt {29} }}{2}\).

Vậy giá trị cần tìm của m là \(\sqrt {10}  - 1 < m \le \dfrac{{15 - \sqrt {29} }}{2}\)

Bước 1: Chứng tỏ \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

Ta thấy \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Bước 2: Tính \(f( - x)\) và kết luận

Mặt khác, \(f( - x) = \tan ( - x) - \dfrac{1}{{\sin ( - x)}}\)\( =  - \tan x + \dfrac{1}{{\sin x}} =  - f(x)\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\) là hàm lẻ.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số \(f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\) 

Điều kiện xác định \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{\sin x \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi }{2} \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\dfrac{\pi }{2}} \right\}} \right.\).

Bước 2: Chu kì của hàm số \(y = \tan x\) và \(g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}\)

Xét hàm số \(y = \tan x\) là hàm tuần hoàn có chu kì \({T_1} = \pi \).

Xét hàm số \(g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}\).

Ta có \(g\left( {x + {T_2}} \right) = g(x) \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sin \left( {x + {T_2}} \right)}} = \dfrac{1}{{\sin x}} \Leftrightarrow \sin \left( {x + {T_2}} \right) = \sin x\).

Chọn \(x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \sin x = 1\)

\( \Rightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + {T_2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2} + {T_2} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow {T_2} = k2\pi (k \in \mathbb{Z}).\)

Giá trị nhỏ nhất của \({T_2}\) là \(2\pi \).

Ta thấy \(\forall x \in D;x + k2\pi  \in D\) thì \(g(x + k2\pi ) = g(x)\).

Vậy hàm số \(g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \({T_2} = 2\pi \).

Bước 3: Chu kì của hàm số \(f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\)

Khi đó, hàm số \(y = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\) là hàm tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).