Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số trên.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số $f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}$ 

Điều kiện xác định $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{\sin x \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi }{2} \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\dfrac{\pi }{2}} \right\}} \right.$.

Bước 2: Chu kì của hàm số $y = \tan x$ và $g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}$

Xét hàm số $y = \tan x$ là hàm tuần hoàn có chu kì ${T_1} = \pi$.

Xét hàm số $g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}$.

Ta có $g\left( {x + {T_2}} \right) = g(x) \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sin \left( {x + {T_2}} \right)}} = \dfrac{1}{{\sin x}} \Leftrightarrow \sin \left( {x + {T_2}} \right) = \sin x$.

Chọn $x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \sin x = 1$

$\Rightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + {T_2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2} + {T_2} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow {T_2} = k2\pi (k \in \mathbb{Z}).$

Giá trị nhỏ nhất của ${T_2}$ là $2\pi$.

Ta thấy $\forall x \in D;x + k2\pi  \in D$ thì $g(x + k2\pi ) = g(x)$.

Vậy hàm số $g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}$ là hàm số tuần hoàn với chu kì ${T_2} = 2\pi$.

Bước 3: Chu kì của hàm số $f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}$

Khi đó, hàm số $y = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}$ là hàm tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$.