Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^2}x + 3\sin 2x - 4{\cos ^2}x\):

Bước 1:

\(y = 2{\sin ^2}x + 3\sin 2x - 4{\cos ^2}x\)

$= 2{\sin ^2}x + 3\sin 2x - 2.(2{\cos ^2}x)$

\( = 1 - \cos 2x + 3\sin 2x - 2.\left( {1 + \cos 2x} \right)\)

\( = 1 - \cos 2x + 3\sin 2x - 2 - 2.\cos 2x\)

\( = 3\sin 2x - 3\cos 2x - 1\)

Bước 2:

\(y = 3\sin 2x - 3\cos 2x - 1\)

\( \Rightarrow y + 1 = 3\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)\)

\( \Rightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = 9{\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)^2}\)

Bước 3:

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – ki với 

\(\begin{array}{l}a = 1;b =  - 1;c = \sin 2x;d = \cos 2x\\ {\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)^2}\\={\left[ {1.\sin 2x + \left( { - 1} \right).\cos 2x} \right]^2}\\ \le \left[ {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \right].\left[ {{{\left( {\sin 2x} \right)}^2} + \left( {\cos 2x} \right)}^2 \right]\end{array}\)

\( = 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 2.1=2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)^2} \le 2\\ \Rightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = 9.{\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)^2} \le 9.2\\ \Leftrightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} \le 18\end{array}\)

\( \Rightarrow  - \sqrt {18}  \le y + 1 \le \sqrt {18} \) \( \Rightarrow   - 3\sqrt 2 -1 \le y \le   + 3\sqrt 2 - 1\)

Vậy \(\min y =  - 3\sqrt 2  - 1;\max y = 3\sqrt 2  - 1\)