Tìm m để bất phương trình $\dfrac{{4\sin 2x + \cos 2x + 17}}{{3\cos 2x + \sin 2x + m + 1}} \ge 2$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$

Ta có ${\left( {\sin 2x + 3.\cos 2x} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {3^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 10$$\Leftrightarrow  - \sqrt {10}  \le \sin 2x + 3\cos 2x \le \sqrt {10}$

Và ${\left( {4.\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} \le \left( {{4^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 17$$\Rightarrow 4.\sin 2x + \cos 2x \in \left[ { - \sqrt {17} ;\sqrt {17} } \right]$

Khi đó $4\sin 2x + \cos 2x + 17 > 0$ nên để bất phương trình đã cho có nghiệm thì

$3\cos 2x + \sin 2x + m + 1 > 0;\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow  - m - 1 < \min y =  - \sqrt {10}$$\Leftrightarrow m > \sqrt {10}  - 1$

Lại có $\dfrac{{4\sin 2x + \cos 2x + 17}}{{3\cos 2x + \sin 2x + m + 1}} \ge 2$$\Leftrightarrow 4.\sin 2x + \cos 2x + 17 \ge 6.\cos 2x + 2.\sin 2x + 2m + 2$

$\Leftrightarrow 2.\sin 2x - 5.\cos 2x \ge 2m - 15;\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow 2m - 15 \le \min \left\{ {2.\sin 2x - 5.\cos 2x} \right\}$$\Leftrightarrow 2m - 15 \le  - \sqrt {29}$

$\Leftrightarrow m \le \dfrac{{15 - \sqrt {29} }}{2}$.

Vậy giá trị cần tìm của m là $\sqrt {10}  - 1 < m \le \dfrac{{15 - \sqrt {29} }}{2}$