Tìm m để bất phương trình \(\dfrac{{4\sin 2x + \cos 2x + 17}}{{3\cos 2x + \sin 2x + m + 1}} \ge 2\) đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Bước 1:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a Cốp xki ta có: \({\left( {\sin 2x + 3.\cos 2x} \right)^2}\)\( \le \left( {{1^2} + {3^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 10\)\( \Leftrightarrow  - \sqrt {10}  \le \sin 2x + 3\cos 2x \le \sqrt {10} \)

Và \({\left( {4.\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} \le \left( {{4^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 17\)\( \Leftrightarrow  - \sqrt {17}  \le 4\sin 2x + \cos 2x \le \sqrt {17} \)

Khi đó \(4\sin 2x + \cos 2x + 17 > 0\)

Bước 2:

Ta có $- \sqrt {10}  \le \sin 2x + 3\cos 2x$

\( \Rightarrow \sin 2x + 3\cos 2x + m + 1\)\( \ge  - \sqrt {10}  + m + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y \ge m - \sqrt {10}  + 1\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = m - \sqrt {10}  + 1\end{array}\)

Để bất phương trình đã cho có nghiệm thì

\(y > 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y > 0\)

\( \Leftrightarrow m - \sqrt {10}  + 1 > 0 \Leftrightarrow m > \sqrt {10}  - 1\)

Bước 3:

Lại có \(\dfrac{{4\sin 2x + \cos 2x + 17}}{{3\cos 2x + \sin 2x + m + 1}} \ge 2\)\(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 4.\sin 2x + \cos 2x + 17 \ge 6.\cos 2x + 2.\sin 2x + 2m + 2\)\(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 2.\sin 2x - 5.\cos 2x \ge 2m - 15;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 2m - 15 \le \min \left\{ {2.\sin 2x - 5.\cos 2x} \right\}\)\(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 2m - 15 \le  - \sqrt {29} \)\(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow m \le \dfrac{{15 - \sqrt {29} }}{2}\).

Vậy giá trị cần tìm của m là \(\sqrt {10}  - 1 < m \le \dfrac{{15 - \sqrt {29} }}{2}\)