Tìm m để bất phương trình $\dfrac{{4\sin 2x + \cos 2x + 17}}{{3\cos 2x + \sin 2x + m + 1}} \ge 2$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$

Bước 1:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a Cốp xki ta có: ${\left( {\sin 2x + 3.\cos 2x} \right)^2}$$\le \left( {{1^2} + {3^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 10$$\Leftrightarrow  - \sqrt {10}  \le \sin 2x + 3\cos 2x \le \sqrt {10}$

Và ${\left( {4.\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} \le \left( {{4^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 17$$\Leftrightarrow  - \sqrt {17}  \le 4\sin 2x + \cos 2x \le \sqrt {17}$

Khi đó $4\sin 2x + \cos 2x + 17 > 0$

Bước 2:

Ta có $- \sqrt {10}  \le \sin 2x + 3\cos 2x$

$\Rightarrow \sin 2x + 3\cos 2x + m + 1$$\ge  - \sqrt {10}  + m + 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y \ge m - \sqrt {10}  + 1\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = m - \sqrt {10}  + 1\end{array}$

Để bất phương trình đã cho có nghiệm thì

$y > 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y > 0$

$\Leftrightarrow m - \sqrt {10}  + 1 > 0 \Leftrightarrow m > \sqrt {10}  - 1$

Bước 3:

Lại có $\dfrac{{4\sin 2x + \cos 2x + 17}}{{3\cos 2x + \sin 2x + m + 1}} \ge 2$$\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 4.\sin 2x + \cos 2x + 17 \ge 6.\cos 2x + 2.\sin 2x + 2m + 2$$\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 2.\sin 2x - 5.\cos 2x \ge 2m - 15;\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 2m - 15 \le \min \left\{ {2.\sin 2x - 5.\cos 2x} \right\}$$\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 2m - 15 \le  - \sqrt {29}$$\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow m \le \dfrac{{15 - \sqrt {29} }}{2}$.

Vậy giá trị cần tìm của m là $\sqrt {10}  - 1 < m \le \dfrac{{15 - \sqrt {29} }}{2}$