Bài tập thời gian nén - giãn của con lắc lò xo

Độ dãn của lò xo ở VTCB: \(\Delta l = 9cm\)

Chu kỳ dao động của con lắc: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{{\Delta l}}{g}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{0,09}}{{10}}}  = 0,6{\rm{s}}\)

\(\dfrac{{{t_n}}}{T} = \dfrac{{0,2}}{{0,6}} = \dfrac{1}{3} \to {t_n} = \dfrac{T}{3}\)

Ta có: \(\Delta \varphi  = \omega \Delta t = \dfrac{{2\pi }}{T}.\dfrac{T}{3} = \dfrac{{2\pi }}{3}\)

\(\begin{array}{l} \to \Delta l = Acos\dfrac{{\Delta \varphi }}{2} = Acos\dfrac{\pi }{3} = \dfrac{A}{2}\\ \to A = 2\Delta l = 2.9 = 18cm\end{array}\)

Độ dãn của lò xo ở VTCB: \(\Delta l = \dfrac{{mg}}{k} = \dfrac{{0,1.10}}{{40}} = 0,025m = 2,5cm\)

Chu kỳ dao động của con lắc: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{0,1}}{{40}}}  = \dfrac{\pi }{{10}}s\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{t_{nen}} = 2{t_{\left( {- A \to  - \dfrac{A}{2}} \right)}} = 2.\dfrac{T}{6} = \dfrac{T}{3}\\{t_{gian}} = T - {t_{nen}} = T - \dfrac{T}{3} = \dfrac{{2T}}{3} = \dfrac{{2\pi }}{{30}} = \dfrac{\pi }{{15}}s\end{array} \right.\)

- Khi chỉ có m₁ thì lò xo dãn 1 đoạn:

\(\Delta {l_0} = \dfrac{{{m_1}g}}{k} = 2,5cm\)

- Khi treo đồng thời m₁ và m₂ thì lò xo dãn 1 đoạn:

\(\Delta l = \dfrac{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right)g}}{k} = \dfrac{{3{m_1}g}}{k} = 3.\Delta {l_0} = 7,5cm\)

- Khi dây đứt, vật m₁ đang có vận tốc bằng 0 (đang ở vị trí biên)

Ngay sau khi đứt dây, m₁ dao động điều hòa quanh VTCB chính là vị trí mà lò xo dãn 2,5cm với biên độ:

\(A = \Delta l - \Delta {l_0} = 7,5 - 2,5 = 5cm\)

Chu kỳ dao động của con lắc: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{{\Delta {l_0}}}{g}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{0,025}}{{10}}}  = \dfrac{\pi }{{10}}s\)

Ta có:

\({t_{nen}} = 2{t_{\left( { - A \to  - \dfrac{A}{2}} \right)}} = 2.\dfrac{T}{6} = \dfrac{T}{3} = \dfrac{\pi }{{30}}s \approx 0,1047{\rm{s}}\)

- Độ dãn của lò xo tại VTCB: \(\Delta l = \dfrac{{mg}}{k} = \dfrac{{0,2.10}}{{20}} = 0,1m = 10cm\)

Biên độ dao động: \(A = 15cm\)

- Tần số góc:

\(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{20}}{{0,2}}}  = 10({\rm{r}}a{\rm{d}}/s)\)

\({\rm{cos}}\Delta \varphi  = \dfrac{{10}}{{15}} = \dfrac{2}{3} \to \Delta \varphi  = {\rm{ar}}cc{\rm{os}}\dfrac{2}{3} \approx 0,268\pi \)

=> Trong 1 chu kì, thời gian lò xo nén là:

\({t_{nen}} = \dfrac{{2\Delta \varphi }}{\omega } = \dfrac{2}{\omega }{\rm{ar}}cc{\rm{os}}\dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{{10}}{\rm{ar}}cc{\rm{os}}\dfrac{2}{3} = 0,168{\rm{s}}\)

Ta có:

- Chiều dài quỹ đạo \(L = 2A = 20cm => A = 10cm\)

- Trong 1 chu kì, tỉ số giữa thời gian lò xo giãn và thời gian lò xo nén là:

\(\dfrac{{{t_{giãn}}}}{{{t_{nén}}}} = \dfrac{{\dfrac{T}{2} - {t_{nén}}}}{{{t_{nén}}}} = 2 \to {t_{nén}} = \dfrac{T}{6}\)

Chọn chiều dương hướng xuống, ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta \varphi  = \omega .\Delta t = \dfrac{{2\pi }}{T}.\dfrac{T}{6} = \dfrac{\pi }{3}\\ \to \Delta l = Ac{\rm{os}}\dfrac{\pi }{3} = \dfrac{A}{2} = 5cm\end{array}\)

Mặt khác, ta có:

\(\Delta l = \dfrac{{mg}}{k} = \dfrac{g}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{g}{{4{\pi ^2}}}{T^2} = 0,05 \to T = \sqrt {\dfrac{{0,05.4{\pi ^2}}}{{10}}}  = 0,444{\rm{s}}\)

Thế năng của con lắc biến thiên với chu kì: $T' = \dfrac{T}{2} = \dfrac{{0,444}}{2} = 0,222s$

Chọn chiều dương hướng xuống:

Ta có:

+ Thời điểm ban đầu: x₀ = +A => |a| = |a_max| = ω²A

vị trí gia tốc của vật bằng nửa gia tốc ban đầu: a₂ = 0,5a

Mà gia tốc tỉ lệ với li độ: a = - ω²x

=> li độ tại vị trí gia tốc của vật bằng nửa gia tốc ban đầu: x = A/2

+ Theo đề bài, ta có: thời gian vật đi từ A => A/2 là:

\(t = \frac{\pi }{{60}} = \frac{T}{6} \to T = \frac{\pi }{{10}}s\)

+ Độ dãn của lò xo tại VTCB:

\(\Delta l = \dfrac{{mg}}{k} = \dfrac{g}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{g}{{4{\pi ^2}}}{T^2} = \dfrac{{10}}{{4{\pi ^2}}}{\left( {\dfrac{\pi }{{10}}} \right)^2} = 0,025m = 2,5cm\)

=> Biên độ A = 7,5 - ∆l = 7,5 - 2,5 = 5cm

=> Thời gian lò xo bị nén trong 1 chu kì:

\(t = 2\dfrac{T}{6} = \dfrac{T}{3} = \dfrac{{\dfrac{\pi }{{10}}}}{3} = \dfrac{\pi }{{30}}s\)

Ta có:

+ Tần số góc của dao động: \(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{100}}{{0,1}}}  = 10\pi (ra{\rm{d}}/s)\)

+ Biên độ dao động: \({A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {1^2} + {\left( {\dfrac{{10\pi \sqrt 3 }}{{10\pi }}} \right)^2} \to A = 2cm\)

Độ dãn của lò xo tại VTCB: \(\Delta l = \dfrac{{mg}}{k} = \dfrac{{0,1.10}}{{100}} = 0,01 = 1cm\)

Chọn chiều dương hướng xuống, ta có:

=> Thời gian lò xo bị nén trong 1 chu kì là: \(t = 2\dfrac{T}{6} = \dfrac{T}{3} = \dfrac{{\dfrac{{2\pi }}{\omega }}}{3} = \dfrac{1}{{15}}s\)

Ta có:

+ Độ cứng của con lắc lò xo:

\(k = m{\omega ^2} = m{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2} = 0,1{\left( {\frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{5}}}} \right)^2} = 10N/m\)

+ Độ dãn của lò xo tại VTCB:

\(\Delta l = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,1.10}}{{10}} = 0,1m = 10cm > A = 6cm\)

=> Lò xo luôn dãn

Khi lực đàn hồi bằng 1,3N thì lò xo dãn 1 đoạn ∆x:

\(\left| {{F_{dh}}} \right| = k\Delta x \to \Delta x = \frac{{\left| {{F_{dh}}} \right|}}{k} = \frac{{1,3}}{{10}} = 0,13m = 13cm\)

=> li độ của vật khi đó:

\(x = \Delta x - \Delta l = 13 - 10 = 3cm\)

=> Bài toán tương đương với việc tìm thời gian trong một chu kì vật có li độ x ≥ 3

Từ vòng tròn lượng giác,

=> Trong 1 chu kì, thời gian vật có li độ x ≥ 3 là:

\(t = 2\frac{T}{6} = \frac{T}{3} = \frac{\pi }{{15}} \approx 0,21{\rm{s}}\)

Ta có:

+ Độ dãn của lò xo tại VTCB:

\(\Delta l = \dfrac{{mg}}{k} = \dfrac{g}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{g}{{4{\pi ^2}}}{T^2} = \dfrac{{10}}{{4{\pi ^2}}}.{(0,4)^2} = 0,04m = 4cm\)

+ Biên độ \(A = 8cm\)

+ Vị trí lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là: x = -∆l = -A/2

Tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\v > 0\end{array} \right.\)

=> Thời gian ngắn nhất kể từ t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là thời gian vật đi từ \(0 \to A \to 0 \to  - \dfrac{A}{2}\) bằng:

\(\dfrac{T}{4} + \dfrac{T}{4} + \dfrac{T}{{12}} = \dfrac{{7T}}{{12}} = \dfrac{7}{{30}}s\)

Chu kì dao động của vật: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{0,1}}{{25}}}  = 0,4{\rm{s}}\)

Tần số góc: \(\omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = 5\pi ({\rm{r}}a{\rm{d}}/s)\)

Biên độ dao động: \(A = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}}  = \sqrt {{2^2} + \dfrac{{{{(10\pi \sqrt 3 )}^2}}}{{{{(5\pi )}^2}}}}  = 4cm\)

Độ dãn của lò xo tại VTCB: \(\Delta l = \dfrac{{mg}}{k} = \dfrac{{0,1.10}}{{25}} = 0,04m = 4cm\)

=> Vị trí lò xo dãn 2cm là x = A/2

Thời gian từ lúc bắt đầu dao động đến lúc vật qua vị trí mà lò xo dãn 2cm lần đầu tiên (khoảng thời gian vật đi từ - A/2 đến A/2) là:

\(t = \dfrac{T}{{12}} + \dfrac{T}{{12}} = \dfrac{T}{6} = \dfrac{1}{{15}}s\)

Ta có:

\(\Delta l = \dfrac{{mg}}{k} = \dfrac{g}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{g}{{4{\pi ^2}}}{T^2} = 0,04 \to T = \sqrt {\dfrac{{4{\pi ^2}.0,04}}{{10}}}  = 0,4{\rm{s}}\)

Biên độ: \(A = 8cm\)

Chọn chiều dương hướng lên, ta có:

- Lò xo không biến dạng khi x = A/2

Thời điểm thứ 147 lò xo có chiều dài tự nhiên: t = t₁₄₆ + t₁

+ Trong 1 chu kì vật qua vị trí có chiều dài tự nhiên 2 lần \({t_{146}} = \dfrac{{146}}{2}T = 73T\)

+ Tại t = 0, vật đang ở biên +A => thời điểm ban đầu vật qua vị trí có chiều dài tự nhiên (thời gian từ A đến A/2): \({t_1} = \dfrac{T}{6}\)

=> Thời điểm thứ 147 lò xo có chiều dài tự nhiên:

\(t = {t_{146}} + {t_1} = 73T + \dfrac{T}{6} = \dfrac{{439T}}{6} \approx 29,27{\rm{s}}\)

+ Độ dãn ban đầu \(\Delta {l_0} = \frac{{mg}}{k}\) 

+ Ta có VTLG:

Thời gian lò xo bị nén là:

\(\begin{array}{l}
\Delta t = \frac{{2\alpha }}{{2\pi }}.T = \frac{{{\rm{arc}}\cos \frac{{\Delta {l_0}}}{A}}}{\pi }.T = \frac{T}{6} \Rightarrow {\rm{arc}}\cos \frac{{\Delta {l_0}}}{A} = \frac{\pi }{6}\\
\Leftrightarrow \frac{{\Delta {l_0}}}{A} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \Delta {l_0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.A
\end{array}\)

+ Tần số góc 

\(\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{g}{{\Delta {l_0}}}} \Rightarrow \Delta {l_0} = \frac{g}{{{\omega ^2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}A \Rightarrow {\omega ^2} = \frac{{2g}}{{\sqrt 3 A}}\)

 Áp dụng công thức độc lập với thời gian:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}A} \right)^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2} \Rightarrow \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = \frac{1}{4}{A^2}\\
{v^2} = \frac{1}{4}{A^2}.{\omega ^2} = \frac{1}{4}{A^2}.\frac{{2g}}{{\sqrt 3 A}} = \frac{{gA}}{{2\sqrt 3 }} = {\left( {\frac{{10\sqrt 3 \pi }}{{100}}} \right)^2} \Rightarrow A = \frac{{6\sqrt 3 }}{{100}}m\\
\Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{{2g}}{{\sqrt 3 A}}} = \sqrt {\frac{{100.2.{\pi ^2}}}{{\sqrt 3 .6\sqrt 3 }}} = \frac{{10\pi }}{3} \Rightarrow T = \frac{{2\pi }}{\omega } = 0,6s
\end{array}\)