Ôn tập chương 1 - Dao động cơ

Khoảng thời gian ngắn nhất mà sau đó trạng thái dao động của vật được lặp lại như cũ gọi là chu kì dao động của vật.

A – sai vì: Vận tốc biến thiên điều hòa theo thời gian: \(v = \omega A\cos \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right)\)

B – sai vì: Gia tốc biến thiên điều hòa theo thời gian: \(a = {\omega ^2}Acos\left( {\omega t + \pi } \right)\)

C – đúng

D – sai vì: Quỹ đạo của vật dao động điều hòa là một đoạn thẳng

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{v_{{\rm{max}}}} = \omega A\\{a_{{\rm{max}}}} = {\omega ^2}A\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{v_{{\rm{max}}}}}} = \omega  = \dfrac{{30\pi }}{3} = 10\pi \\A = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{\omega } = \dfrac{3}{{10\pi }}m\end{array} \right.\)

Tại \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}0:{\rm{ }}v{\rm{ }} = {\rm{ }} + 1,5m/s\) và thế năng đang tăng

Sử dụng hệ thức độc lập, ta có: \({A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} \to {x^2} = {A^2} - \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {\left( {\dfrac{3}{{10\pi }}} \right)^2} - \dfrac{{{{1,5}^2}}}{{{{\left( {10\pi } \right)}^2}}} \to x = \dfrac{{1,5\sqrt 3 }}{{10\pi }} = \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\)

Khi vật có gia tốc \(a =  - 15\pi \left( {m/{s^2}} \right) =  - {\omega ^2}{x_2} \to {x_2} =  - \dfrac{{ - 15\pi }}{{{{\left( {10\pi } \right)}^2}}} = \dfrac{{1,5}}{{10\pi }} = \dfrac{A}{2}\)

=> Thời gian để vật đi từ \(t{\rm{ }} = 0\) đến vị trí có \(a{\rm{ }} =  - 15\pi \left( {m/{s^2}} \right)\) là: \(t = \dfrac{T}{{12}} + \dfrac{T}{6} = \dfrac{T}{4} = \dfrac{1}{4}\dfrac{{2\pi }}{\omega } = 0,05s\)

Ta có: lực căng dây được xác định bằng biểu thức:

\(\begin{array}{l}T = mg(3c{\rm{os}}\alpha {\rm{ - 2cos}}{\alpha _0}) = P = mg\\ \to 3c{\rm{os}}\alpha  - {\rm{2cos}}{\alpha _0} = 1\\ \to c{\rm{os}}\alpha  = \dfrac{{1 + 2c{\rm{os}}{\alpha _0}}}{3} = \dfrac{{1 + 2.0,986}}{3} = 0,99\end{array}\)

Ta có phương trình li độ, vận tốc, gia tốc của vật dao động điều hòa:

+ Li độ: \(x = Acos\left( {\omega t + \varphi } \right)\)

+ Vận tốc: \(v = \omega Ac{\rm{os}}\left( {\omega t + \varphi  + \frac{\pi }{2}} \right)\)

+ Gia tốc: \(a = {\omega ^2}A\cos \left( {\omega t + \varphi  + \pi } \right)\)

A, B, D – đúng

C – sai vì: Gia tốc sớm pha hơn vận tốc góc \(\frac{\pi }{2}\)

Ta có phương trình vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa:

+ Vận tốc: \(v = \omega Ac{\rm{os}}\left( {\omega t + \varphi  + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)

+ Gia tốc: \(a = {\omega ^2}A\cos \left( {\omega t + \varphi  + \pi } \right)\)

=> Gia tốc biến đổi sớm pha \(\dfrac{\pi }{2}\) so với vận tốc

Ta có: \({A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} \to \dfrac{{{x^2}}}{{{A^2}}} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}{A^2}}} = 1\)

(Có dạng của phương trình elip \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) )

=> Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của vận tốc theo li độ trong dao động điều hòa có dạng là đường elip

Ta có:

Thế năng và cơ năng của con lắc: \({{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}mgl{\alpha ^2};{{\rm{W}}} = \dfrac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2\)

+ Con lắc đơn có chiều dài \({l_1}\):

Khi \({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = {{\rm{W}}_t} \to {\alpha _1} =  \pm \dfrac{{{\alpha _{01}}}}{{\sqrt 2 }}\)

+ Con lắc đơn có chiều dài \({l_2}\):

Khi \({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = 2{{\rm{W}}_t} \to {\alpha _2} =  \pm \dfrac{{{\alpha _{02}}}}{{\sqrt 3 }}\)

Theo đầu bài, ta có: \({\alpha _1} = {\alpha _2} \to \dfrac{{{\alpha _{01}}}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{{\alpha _{02}}}}{{\sqrt 3 }}\)  (1)

Vận tốc cực đại của con lắc đơn: \({v_{{\rm{max}}}} = \omega {s_0} = \omega l{\alpha _0} = \sqrt {gl} {\alpha _0}\)

\({v_{{{\rm{1}}_{{\rm{max}}}}}} = 2{v_{{2_{{\rm{max}}}}}} \leftrightarrow \sqrt {g{l_1}} {\alpha _{01}} = 2\sqrt {g{l_2}} {\alpha _{02}}\)  (2)

Từ (1) và (2), ta có: \({l_1}\dfrac{2}{3}\alpha _{02}^2 = 4{l_2}\alpha _{02}^2 \to {l_1} = 6{l_2}\)

=> Chiều dài \(l\) ban đầu: \(l{\rm{ }} = {\rm{ }}{l_1} + {\rm{ }}{l_2} = {\rm{ }}7{l_2}\)

+ Ba lò xo giống hệt nhau, đều có độ cứng là $k$, khối lượng của các vật nhỏ tương ứng là \({m_1},{\rm{ }}{m_2}\) và \({m_3}\)

+ Kéo $3$ lò xo ra khỏi VTCB một đoạn $A$ rồi thả nhẹ => Biên độ dao động của chúng giống nhau và bằng $A$

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{v_1} = {\omega _1}A = \sqrt {\dfrac{k}{{{m_1}}}} .A\\{v_2} = {\omega _2}A = \sqrt {\dfrac{k}{{{m_2}}}} .A\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m_1} = \dfrac{{k{A^2}}}{{v_1^2}}\\{m_2} = \dfrac{{k{A^2}}}{{v_2^2}}\end{array} \right.\) ;

+ Theo đề bài ta có: \({m_3} = 9{m_1} + 4{m_2} = k{A^2}(\dfrac{9}{{v_1^2}} + \dfrac{4}{{v_2^2}})\)

=> Vận tốc của con lắc $3$ khi đi qua vị trí cân bằng :

\(\begin{array}{l}{v_1} = {\omega _1}A = \sqrt {\dfrac{k}{{{m_3}}}} .A = \sqrt {\dfrac{k}{{9{m_1} + 4{m_2}}}} A\\ = \sqrt {\dfrac{k}{{k{A^2}(\dfrac{9}{{v_1^2}} + \dfrac{4}{{v_2^2}})}}} .A = \sqrt {\dfrac{1}{{(\dfrac{9}{{v_1^2}} + \dfrac{4}{{v_2^2}})}}}  = \sqrt {\dfrac{1}{{(\dfrac{9}{{{{20}^2}}} + \dfrac{4}{{{{10}^2}}})}}}  = 4(cm/s)\end{array}\)

Trong dao động điều hòa của con lắc đơn thì

\(\begin{array}{l}1 - \cos \alpha  = 2{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2} \approx {\dfrac{\alpha }{2}^2} \Rightarrow 1 - \cos \alpha  \approx {\dfrac{\alpha }{2}^2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}T = mg(3\cos \alpha  - 2\cos {\alpha _0})\\P = mg\end{array} \right.\\ \Rightarrow (3\cos \alpha  - 2\cos {\alpha _0}) = 1\\ \Rightarrow (3\cos \alpha  - 2\cos {\alpha _0}) = 1\\ \Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\dfrac{\alpha }{2}}^2}} \right) - 2\left( {1 - \dfrac{{\alpha _0^2}}{2}} \right) = 1\\ \Rightarrow \dfrac{{\alpha _0^2}}{{{\alpha ^2}}} = \dfrac{3}{2}(1)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{W}} = \dfrac{1}{2}mgl\alpha _0^2\\{{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}mgl{\alpha ^2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{\rm{W}}}{{{{\rm{W}}_t}}} = \dfrac{{\alpha _0^2}}{{{\alpha ^2}}} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_t}}}{{{{\rm{W}}_t}}} = \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow {{\rm{W}}_t} = 2{W_d}\end{array}\)

Từ giả thuyết :\(16{\rm{x}}_1^2 + 9{\rm{x}}_2^2 = 25 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{1,25}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{\dfrac{5}{3}}}} \right)^2} = 1\)

Hai dao động này vuông pha với các biên độ thành phần \({A_1} = 1,25cm\), \({A_2} = \dfrac{5}{3}cm\)

Biên độ dao động tổng hợp: \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2}  = \sqrt {{{1,25}^2} + {{\left( {\dfrac{5}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{25}}{{12}}cm\)

Mặc khác: \({F_{ma{\rm{x}}}} = m{\omega ^2}A \Rightarrow \omega  = \sqrt {\dfrac{{{F_{ma{\rm{x}}}}}}{{mA}}}  = \sqrt {\dfrac{{0,4}}{{{{300.10}^{ - 3}}.\dfrac{{25}}{{12}}{{.10}^{ - 2}}}}}  = 8rad/s\)

Khi chiều dài của con lắc là l: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} \)

Khi chiều dài của con lắc giảm \(10cm\) : \(T' = 2\pi \sqrt {\dfrac{{l - 0,1}}{g}} \)

Ta có: \(2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}  - 2\pi \sqrt {\dfrac{{l - 0,1}}{g}}  = 0,1 \Rightarrow l = 1,08m \Rightarrow T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}  = 2,06s\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_d} = {{\rm{W}}_t} \to {\rm{W}} = 2{W_t}\\ \leftrightarrow \dfrac{1}{2}k{A^2} = 2\dfrac{1}{2}k{x^2} \to x =  \pm \dfrac{A}{{\sqrt 2 }}\end{array}\)

Phương trình \(x = 3tsin(100\pi t + \frac{\pi }{6})\left( {cm} \right)\) không biểu thị cho dao động điều hòa vì biên độ trong phương trình này không phải là hằng số \(\left( {A = 3t} \right)\)

\(x = Aco{s^2}(\omega t + \dfrac{\pi }{3}) = A\dfrac{{1 + cos\left( {2\omega t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}{2} = \dfrac{A}{2} + \dfrac{A}{2}cos\left( {2\omega t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\)

=> Vật dao động điều hòa với tần số góc \(2\omega \)

=> Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với tần số góc \(\omega ' = 2\left( {2\omega } \right) = 4\omega \)

Từ đồ thị ta xác định được:

+ Biên độ dao động \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}cm\)

+ Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ \(x{\rm{ }} = {\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }}cm\) đến VTCB là \(\frac{{{{10}^{ - 2}}}}{6}s\)

\( \to \frac{T}{{12}} = \frac{{{{10}^{ - 2}}}}{6}\)

=> Chu kì dao động \(T{\rm{ }} = {\rm{ }}0,02{\rm{ }}s\)

=> Tần số góc \(\omega  = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{0,02}} = 100\pi {\rm{ }}rad/s\)

+ Tại thời điểm \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) , vật đi qua vị trí \(x =  - 5{\rm{ }}cm = \frac{{ - A}}{2}\) theo chiều dương

\( \to \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = A\cos \varphi  =  - \frac{A}{2}\\v =  - \omega A\sin \varphi  > 0\end{array} \right. \to \varphi  =  - \frac{{2\pi }}{3}\)

Vậy phương trình dao động của vật là: \(x = 10cos\left( {100\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right){\rm{ }}cm\)

Ta có:

+ Tần số dao động riêng của con lắc: \(f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{m}}  = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{100}}{{0,1}}}  = 5H{\rm{z}}\)

+  \({f_0} < {\rm{ }}{f_2} < {\rm{ }}{f_1}\)

\( \to {A_2} > {\rm{ }}{A_1}\)

Dao động thành phần:

\({x_1} = 4cos(10\pi t + \dfrac{\pi }{4})(cm)\)

\({x_2} = 4cos(10\pi t + \dfrac{{7\pi }}{{12}})(cm)\)

\({x_3} = 6\sin (10\pi t + \dfrac{\pi }{{12}})(cm) = 6c{\rm{os}}(10\pi t - \dfrac{{5\pi }}{{12}})(cm)\)

Phương trình dao động tổng hợp \(x = {x_1} + {x_2} + {x_3}\)

Ta thấy: \({x_2},{x_3}\) dao động ngược pha nhau

Ta suy ra: \({x_{23}} = {x_2} + {x_3} = 2c{\rm{os}}\left( {10\pi t - \dfrac{{5\pi }}{{12}}} \right)cm\)

\( \to x = {x_1} + {x_{23}}\)

Độ lệch pha: \(\Delta \varphi  = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{5\pi }}{{12}} = \dfrac{{2\pi }}{3}(ra{\rm{d}})\)

+ Biên độ dao động tổng hợp:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {A_1^2 + A_{23}^2 + 2{A_1}{A_{23}}{\rm{cos}}\Delta \varphi } \\ = \sqrt {{4^2} + {2^2} + 2.4.2{\rm{cos}}\dfrac{{2\pi }}{3}}  = 2\sqrt 3 cm\end{array}\)

+ Pha của dao động tổng hợp:

\(\begin{array}{l}\tan \varphi  = \dfrac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_{23}}\sin {\varphi _{23}}}}{{{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _1} + {A_{23}}{\rm{cos}}{\varphi _{23}}}}\\ = \dfrac{{4.\sin \frac{\pi }{4} + 2.\sin \dfrac{{ - 5\pi }}{{12}}}}{{{\rm{4}}{\rm{.cos}}\dfrac{\pi }{4} + 2{\rm{cos}}\dfrac{{ - 5\pi }}{{12}}}} = 2 - \sqrt 3 \\ \to \varphi  = {15^0} = \dfrac{\pi }{{12}}\end{array}\)

 => Phương trình dao động tổng hợp: \(x = 2\sqrt 3 {\rm{cos}}\left( {10\pi t + \dfrac{\pi }{{12}}} \right)cm\)

Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian.

A - sai vì dao động của con lắc đồng hồ là dao động duy trì

B - sai vì biên độ của lực cưỡng bức F₀ = Aω

C - đúng

D - sai vì dao động cưỡng bức có tần số bằng tần số của lực cưỡng bức