Tổng hợp dao động - Bài tập tổng hợp dao động điều hòa

+ Ta có, độ lệch pha của hai dao động: \(\Delta \varphi  = \frac{{5\pi }}{6} - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2}\) => hai dao động vuông pha nhau

=> Biên độ của dao động tổng hợp:\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5cm = 0,05m\)

+ Tần số góc \(\omega  = 4\left( {rad/s} \right)\)

+ Vật có \(m = 250g = 0,25kg\)

+ Năng lượng dao động của vật là: \({\rm{W}} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}.0,{25.4^2}.0,{05^2} = {5.10^{ - 3}}J = 5mJ\)

Phương trình dao động tổng hợp của 3 dao động trên: \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} + {\rm{ }}{x_3} = {\rm{ }}{x_{12}} + {\rm{ }}{x_3}\)

Phương trình dao động tổng hợp của 1 và 2 có dạng: \({x_{12}} = {A_{12}}\cos (100\pi t + {\varphi _{12}})\) trong đó:

\({A_{12}} = \sqrt {A_1^2 + A_2^2}  = \sqrt 3 (cm)\)(vì hai dao động vuông pha)

\(\tan {\varphi _{12}} = \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} =  > {\varphi _{12}} = \frac{\pi }{6}(rad)\)

Vậy \({x_{12}} = \sqrt 3 \cos (100\pi t + \frac{\pi }{6})cm\)

- Dao động tổng hợp của ba dao động có phương trình \(x = {x_{12}} + {x_3} = A\cos (100\pi t + \varphi )\) trong đó:

\(A = \sqrt {A_{12}^2 + A_3^2 + 2{A_{12}}{A_3}\cos ({\varphi _3} - {\varphi _{12}})}  = \sqrt {3 + 3 + 2\sqrt 3 \sqrt 3 \cos (\frac{{5\pi }}{6} - \frac{\pi }{6})}  = \sqrt 3 (cm)\)

\(\tan \varphi  = \frac{{{A_{12}}\sin {\varphi _{12}} + {A_2}\sin {\varphi _3}}}{{{A_{12}}\cos {\varphi _{12}} + {A_2}\cos {\varphi _3}}}\)(không xác định)

\( \to \varphi  = \frac{\pi }{2}\left( {rad} \right)\)

Vậy phương trình dao động tổng hợp là: \(x = \sqrt 3 \cos (100\pi t + \frac{\pi }{2})cm\)

Ta có : \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} \to {x_2} = {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1}\)

\(x = 4cos\left( {2\pi t - \dfrac{\pi }{6}} \right)cm\)

\({x_1} = 3cos\left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{3}} \right)\)

Ta suy ra:

\(\begin{array}{l}{x_2} = x - {x_1} = 4cos\left( {2\pi t - \dfrac{\pi }{6}} \right) - 3cos\left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{3}} \right)\\ = 4cos\left( {2\pi t - \dfrac{\pi }{6}} \right) + 3cos\left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{3} + \pi } \right)\end{array}\)

Biên độ dao động của 2 : \({A_2} = \sqrt {{4^2} + {3^2} + 2.4.3.cos\left( {\pi  + \dfrac{\pi }{3} - \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)} \right)}  = 5cm\)

Pha ban đầu của dao động 2 :

\(\begin{array}{l}\tan {\varphi _2} = \dfrac{{4\sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + \pi } \right)}}{{4cos\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right) + 3cos\left( {\dfrac{\pi }{3} + \pi } \right)}} =  - 2,34\\ \to {\varphi _2} =  - 66,{8^0} \approx  - 1,17\left( {rad} \right)\end{array}\)

\( \to {x_2} = 5cos\left( {2\pi t - 1,17} \right)cm\)

+ Độ lệch pha của hai dao động: \(\Delta \varphi  = \dfrac{{3\pi }}{{12}} - \left( { - \dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = \pi \)

=> Hai dao động ngược pha nhau

+ Do hai dao động ngược pha nên biên độ dao động tổng hợp là : \(A = {A_1} - {A_2}\)

+ Cơ năng dao động của vật : \(E = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{\left( {{A_1} - {A_2}} \right)^2}\)

=> Khối lượng vật \(m = \dfrac{{2E}}{{{\omega ^2}{{\left( {{A_1} - {A_2}} \right)}^2}}}\)

Phương trình dao động 1 : là \({x_1} = 8\cos \left( {20\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)cm\)

Phương trình dao động 2 là : \({x_2} = 6\cos \left( {20\pi t + \pi } \right)cm\)

+ Độ lệch pha giữa hai dao động: \(\Delta \varphi  = \pi  - \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{2}\left( {rad} \right)\)

=> Hai chất điểm vuông pha

=> Biên độ dao động tổng hợp \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2}  = 10cm\)

Vận tốc lớn nhất : \({v_{m{\rm{ax}}}} = \omega .A = 20\pi .10 = 200\pi cm/s\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = Aco{\rm{s}}\left( {\omega t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\{x_2} = Aco{\rm{s}}\left( {\omega t + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Độ lệch pha: \(\Delta \varphi  = \frac{\pi }{3} - \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \pi \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = {y_1} - {y_2} = 6cos\left( {4\pi t + \frac{\pi }{{12}}} \right) - 8cos\left( {4\pi t + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)\\ = 6cos\left( {4\pi t + \frac{\pi }{{12}}} \right) + 8cos\left( {4\pi t + \frac{{7\pi }}{{12}} + \pi } \right)\\ = 10cos\left( {4\pi t + \varphi } \right)\end{array}\)

+ Khoảng cách giữa hai chất điểm tại VTCB: \(d = 24cm\)

Khoảng cách giữa hai chất điểm là \(\Delta d = \sqrt {{d^2} + \Delta {y^2}} \)

=> Khoảng cách giữa hai chất điểm lớn nhất khi \(\Delta {y_{{\rm{max}}}} = 10cm\)

\( \to \Delta {d_{max}} = \sqrt {{d^2} + \Delta y_{max}^2}  = \sqrt {{{24}^2} + {{10}^2}}  = 26cm\)

Ta có: Khoảng cách  giữa hai vật nhỏ của con lắc bằng: \(d = \sqrt {{5^2} + {{\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}^2}} \)

\({x_1} = 3c{\rm{os}}\left( {\omega t + \frac{\pi }{6}} \right)\) và \({x_2} = 4c{\rm{os}}\left( {\omega t + \frac{\pi }{3}} \right)cm\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}{x_1} - {\rm{ }}{x_2} = 3c{\rm{os}}\left( {\omega t + \frac{\pi }{6}} \right) - 4c{\rm{os}}\left( {\omega t + \frac{\pi }{3}} \right)\\ = 3c{\rm{os}}\left( {\omega t + \frac{\pi }{6}} \right) + 4c{\rm{os}}\left( {\omega t + \frac{\pi }{3} + \pi } \right)\end{array}\)

+ Biên độ tổng hợp: của \({x_1} - {\rm{ }}{x_2}\) là

\(\begin{array}{l}{A^2} = {3^2} + {4^2} + 2.3.4.cos{\rm{(}}\pi {\rm{ + }}\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6})\\ \to A \approx 2,05cm\end{array}\)

\({d_{max}} \leftrightarrow {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|_{{\rm{max}}}} = A \to {d_{max}} = \sqrt {{5^2} + {{(2,05)}^2}}  = 5,4cm\)

Áp dụng định lí hàm số sin, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{A_1}}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{{A_2}}}{{\sin \left( {{{30}^0} + \varphi } \right)}} = \dfrac{A}{{\sin \left( {{{90}^0} - \varphi } \right)}}\\ \leftrightarrow \dfrac{8}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{{A_2}}}{{\sin \left( {{{30}^0} + \varphi } \right)}} = \dfrac{A}{{\sin \left( {{{90}^0} - \varphi } \right)}}\\ \to A = \dfrac{{8.\sin \left( {{{90}^0} - \varphi } \right)}}{{\sin {{30}^0}}}\end{array}\)

Để biên độ dao động tổng hợp của vật đạt giá trị lớn nhất khi \(\sin \left( {90 - \varphi } \right) = 1\)

\( \to \varphi  = 0\)

Ta suy ra: \({A_2} = \dfrac{{8.\sin {{30}^0}}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{8}{{\sqrt 3 }}cm\)

Ta có:

\({x_1} = {A_1}cos\left( {4\pi t + \dfrac{\pi }{3}} \right)cm\), \({x_2} = 12cos\left( {4\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)cm\) và \(x = Acos\left( {4\pi t + \varphi } \right)\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{A}{{\sin {{30}^0}}} = \dfrac{{{A_1}}}{{\sin \left( {{{90}^0} - \varphi } \right)}} = \dfrac{{{A_2}}}{{\sin \left( {\varphi  + {{60}^0}} \right)}}\\ \leftrightarrow \dfrac{A}{{\sin {{30}^0}}} = \dfrac{{{A_1}}}{{\sin \left( {{{90}^0} - \varphi } \right)}} = \dfrac{{12}}{{\sin \left( {\varphi  + {{60}^0}} \right)}}\\ \to A = \dfrac{{12\sin {{30}^0}}}{{\sin \left( {\varphi  + {{60}^0}} \right)}}\end{array}\)

Để \({A_{min}}\) thì \(\sin {\left( {\varphi  + {{60}^0}} \right)_{max}} = 1 \to \varphi  = {30^0}\)

Vậy dao động tổng hợp có pha ban đầu là \( - {\rm{ }}{30^0}\) hay \( - \dfrac{\pi }{6}\left( {rad} \right)\)

\({x_1} + {x_2} = x \to {x_1} + 5cm = 9cm \to {x_1} = 4cm\)

Dựa vào đề bài ta biểu diễn được các vecto dao động như hình dưới.

Hai dao động vuông pha nên ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{x_1^2}}{{A_1^2}} + \frac{{{x^2}}}{{{A^2}}} = 1 \leftrightarrow \frac{{{4^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{9^2}}}{{{A^2}}} = 1\\ \to A = 15cm\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A_x^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}{\rm{cos(}}{\varphi _1} - {\varphi _2})\\A_y^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}{\rm{cos(}}{\varphi _1} - {\varphi _2})\end{array}\)

Mặt khác, ta có:

\(\begin{array}{l}{A_x} = 3{A_y}\\ \to A_x^2 = 9A_y^2\\ \leftrightarrow A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}{\rm{cos}}\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) = 9\left( {A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}cos\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right)\\ \leftrightarrow 20{A_1}{A_2}{\rm{cos(}}{\varphi _1} - {\varphi _2}) = 8A_1^2 + 8A_2^2\\ \to {\rm{cos(}}{\varphi _1} - {\varphi _2}) = \frac{{8A_1^2 + 8A_2^2}}{{20{A_1}{A_2}}} \ge \frac{{2\sqrt {8A_1^2.8A_2^2} }}{{20{A_1}{A_2}}} = \frac{4}{5}\\ \to \Delta \varphi  \le 36,{87^0}\end{array}\)

Vậy độ lệch pha cực đại của hai dao động là \(\Delta \varphi  = 36,{87^0}\)

+ Tần số góc của của con lắc B: \({\omega _2} = \sqrt {\frac{k}{{4m}}}  = \omega \), con lắc A: \({\omega _1} = \sqrt {\frac{k}{m}}  = 2\omega \)

+ Phương trình dao động của vật A là \({x_1} = 4\cos (2\omega t + \pi )\)

Phương trình dao động của vật B là \({x_2} = 4\cos (\omega t + \pi )\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}AI = 16 - {x_1};BI = 16 + {x_2}\\ \to AB = 32 + {x_2} - {x_1}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}d = {x_2} - {x_1} = 4\cos (\omega t + \pi ) - 4\cos (2\omega t + \pi )\\ =  - 4cos\left( {\omega t} \right) + 4cos\left( {2\omega t} \right)\\ = 4\left( {cos2\omega t - cos\omega t} \right)\end{array}\)

Đặt: \(\cos \omega t = a\)

\(\begin{array}{l} \to d = 4(\cos 2\omega t - \cos \omega t)\\ = 4(2{a^2} - a - 1)\end{array}\)

Xét:

\(\begin{array}{l}f(a) = 2{a^2} - a - 1/\left( { - 1;1} \right)\\f' = 4a - 1\\f' = 0 \leftrightarrow a = \frac{1}{4}\end{array}\)  

Xét bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ta có:

\(\begin{array}{l} - \frac{9}{8} \le f(a) \le 2\\ \to AB = 32 + d\\ \to 32 + 4.\left( { - \frac{9}{8}} \right) \le AB \le 32 + 4.2\\ \to 27,5 \le AB \le 40\end{array}\)

Biên độ dao động tổng hợp là: \(A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi } \)

Với \(\Delta \varphi  = \left( {2k + 1} \right)\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow A = \left| {{A_1} - {A_2}} \right| \to \) A sai

Với \(\Delta \varphi  = 2k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow A = {A_1} + {A_2} \to \) C sai

Với \(\Delta \varphi  = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2}  \to \) D sai

→ Biên độ dao động tổng hợp thỏa mãn: \(\left| {{A_1} - {A_2}} \right| \le A \le {A_1} + {A_2} \to \) B đúng

Từ đồ thị ta có được

- Hai dao động có cùng chu kì T

- Chất điểm 1:

+ \({A_1} = {\rm{ }}4cm\)

+ Tại t = 0 vật đang ở biên dương \( \Rightarrow {\varphi _1} = 0rad\)

- Chất điểm 2:

+ \({A_2} = 2cm\)

+ Tại t = 0 vật qua li độ x = 1cm theo chiều dương \( \Rightarrow {\varphi _2} =  - \frac{\pi }{3}rad\)

- Phương trình dao động của hai dao động là:

\(\begin{array}{l}{x_1} = 4\cos (\omega t)cm\\{x_2} = 2\cos (\omega t - \frac{\pi }{3})cm\end{array}\)

- Khoảng cách của hai vật trong quá trình dao động: \(d = \sqrt {{2^2} + {{\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}^2}}  = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\Delta {x_{\max }}\cos (\omega t + \varphi )} \right)}^2}} \)

Với \(\Delta {x_{max}}\) là khoảng cách lớn nhất giữa hai vật trong quá trình dao động

\(\Delta x = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {{x_1} + ( - {x_2})} \right|\)

\({x_2} = 2\cos (\omega t - \frac{\pi }{3})\)nên  \( - {x_2} =  - 2\cos (\omega t + \frac{\pi }{3}) = 2cos(\omega t - \frac{\pi }{3} + \pi ) = 2cos(\omega t + \frac{{2\pi }}{3})\)

Do đó

\(\begin{array}{l}\Delta {x_{\max }} = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos (\Delta \varphi )} \\ = \sqrt {{4^2} + {2^2} + 2.2.4.cos\frac{{2\pi }}{3}}  = 2\sqrt 3 cm\end{array}\)

Ta suy ra, khoảng cách lớn nhất: \({d_{max}} = \sqrt {{2^2} + \Delta x_{max}^2}  = \sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 4cm\)  

Biên độ dao động tổng hợp thỏa mãn: 5 – 3 ≤ A ≤ 5 + 3 => 2cm ≤ A ≤ 8cm

Ta có, 2 dao động thành phần cùng pha với nhau

\( \Rightarrow \) Biên độ dao động tổng hợp: \(A = {A_1} + {A_2}\)

Từ phương trình dao động, ta thấy:

Dao động x₁ vuông pha với dao động x₂

Dao động x₁ ngược pha với dao động x₃

Áp dụng công thức độc lập với thời gian cho hai dao động x₁, x₂ tại hai thời điểm t₁, t₂, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {6\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{A_1}^2}} + \dfrac{{{3^2}}}{{{A_2}^2}} = 1\\\dfrac{{{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{A_1}^2}} + \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{{{A_2}^2}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{A_1} = 12\,\,\left( {cm} \right)\\{A_2} = 3\sqrt 2 \,\,\left( {cm} \right)\end{array} \right.\)

Với hai dao động x₁, x₃ tại thời điểm t₁, ta có:

\(\dfrac{{{x_1}}}{{{A_1}}} =  - \dfrac{{{x_3}}}{{{A_3}}} \Rightarrow \dfrac{{6\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{ - \dfrac{{9\sqrt 2 }}{2}}}{{{A_3}}} \Rightarrow {A_3} = 9\,\,\left( {cm} \right)\)

Sử dụng máy tính bỏ túi, ta có:

\(\begin{array}{l}A\angle \varphi  = {A_1}\angle {\varphi _1} + {A_2}\angle {\varphi _2} + {A_3}\angle {\varphi _3}\\ \Rightarrow 12\angle \dfrac{\pi }{6} + 3\sqrt 2 \angle  - \dfrac{\pi }{3} + 9\angle  - \dfrac{{5\pi }}{6} = 3\sqrt 3 \angle  - 0,43\\ \Rightarrow A = 3\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Biên độ dao động tổng hợp: \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{{\rm{A}}_1}{A_2}co{\rm{s}}\Delta \varphi } \)

Hai dao động cùng pha có \(\Delta \varphi  = 2k\pi \)\( \Rightarrow A = {A_1} + {A_2}\)

Hai dao động ngược pha khi:

\(\Delta \varphi  = {\varphi _2} - {\varphi _1} = (2k + 1)\pi \)