Tổng hợp dao động - Bài tập tổng hợp dao động điều hòa

Ta có:

+ 2 dao động cùng pha khi:

\(\Delta \varphi  = {\varphi _2} - {\varphi _1} = k2\pi \)

+ 2 dao động ngược pha khi:

\(\Delta \varphi  = {\varphi _2} - {\varphi _1} = (2k + 1)\pi \)

+ 2 dao động vuông pha khi:

\(\Delta \varphi  = {\varphi _2} - {\varphi _1} = \frac{{2k + 1}}{2}\pi \)

Biên độ dao động khi 2 dao động vuông pha:

\({A^2} = A_1^2 + A_2^2\)

Ta có độ lệch pha giữa hai dao động là:

\(\Delta \varphi  = \left| {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right| = \left| {0,75\pi  - 0,5\pi } \right| = 0,25\pi \)

Pha ban đầu của 2 dao động tổng hợp:

\(\tan \varphi  = \dfrac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _1} + {A_2}{\rm{cos}}{\varphi _2}}}\)

$x_2 = 5sin(3πt – 0,25π) = 5cos(3πt – 0,75π)cm$

Dao động tổng hợp có pha ban đầu φ được xác định:

\(\tan \varphi  = \dfrac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _1} + {A_2}{\rm{cos}}{\varphi _2}}} = \dfrac{{5.\sin (0,75\pi ) + 5\sin ( - 0,75\pi )}}{{5.c{\rm{os}}(0,75\pi ) + 5c{\rm{os}}( - 0,75\pi )}} \Rightarrow \varphi  = \pi \)

Biên độ dao động tổng hợp A được xác định bởi biểu thức:

\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos ({\varphi _2} - {\varphi _1})} \)

Khi đó dao động tổng hợp được xác định bởi biểu thức

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi } ;\Delta \varphi  = \frac{\pi }{2}\\ =  > A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2} \end{array}\)

\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}{\rm{cos}}\Delta \varphi } \)

Biên độ của dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số không phụ thuộc vào tần số của hai dao động thành phần.

Biên độ dao động tổng hợp:

\({A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{{\rm{A}}_1}{A_2}\cos \Delta \varphi \)

\( \Leftrightarrow A = \sqrt {{4^2} + {4^2} + 2.4.4.\cos \left| { - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{\pi }{2}} \right|} \)

\( \Leftrightarrow A = \sqrt {48}  = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

Biên độ dao động tổng hợp thỏa mãn điều kiện:

\(|{A_1} - {A_2}| \le A \le {A_1} + {A_2} \Rightarrow 6 \le A \le 18\)

Biên độ dao động tổng hợp A của vật không thể là 24cm

Biên độ dao động tổng hợp thỏa mãn điều kiện

\(\left| {{A_1} - {A_2}} \right| \le A \le {A_1} + {A_2} \Leftrightarrow 8 \le A \le 16\)

Vậy chỉ có A = 9cm thỏa mãn điều kiện trên

Dao động của vật là tổng hợp hai dao động thành phần, có biên độ :

\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}c{\rm{os}}\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)}  = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = 10cm\) = 0,1m

Tần số góc \(\omega \) = 10 rad/s

Vật có m = 500g = 0,5kg.

Năng lượng dao động của vật là:

\({\rm{W}} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}.0,{5.10^2}.0,{1^2} = 0,25J\)

Dao động thành phần:

\({x_1} = 4cos(10\pi t + \frac{\pi }{4})(cm)\)

\({x_2} = 4cos(10\pi t + \frac{{7\pi }}{{12}})(cm)\)

\({x_3} = 6\sin (10\pi t + \frac{\pi }{{12}})(cm) = 6c{\rm{os}}(10\pi t - \frac{{5\pi }}{{12}})(cm)\)

Phương trình dao động tổng hợp \(x = {x_1} + {x_2} + {x_3}\)

Ta thấy: \({x_2},{x_3}\) dao động ngược pha nhau

Ta suy ra: \({x_{23}} = {x_2} + {x_3} = 2c{\rm{os}}\left( {10\pi t - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)cm\)

\( \to x = {x_1} + {x_{23}}\)

Độ lệch pha: \(\Delta \varphi  = \frac{\pi }{4} + \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{{2\pi }}{3}(ra{\rm{d}})\)

+ Biên độ dao động tổng hợp:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {A_1^2 + A_{23}^2 + 2{A_1}{A_{23}}{\rm{cos}}\Delta \varphi } \\ = \sqrt {{4^2} + {2^2} + 2.4.2{\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{3}}  = 2\sqrt 3 cm\end{array}\)

+ Pha của dao động tổng hợp:

\(\begin{array}{l}\tan \varphi  = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_{23}}\sin {\varphi _{23}}}}{{{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _1} + {A_{23}}{\rm{cos}}{\varphi _{23}}}}\\ = \frac{{4.\sin \frac{\pi }{4} + 2.\sin \frac{{ - 5\pi }}{{12}}}}{{{\rm{4}}{\rm{.cos}}\frac{\pi }{4} + 2{\rm{cos}}\frac{{ - 5\pi }}{{12}}}} = 2 - \sqrt 3 \\ \to \varphi  = {15^0} = \frac{\pi }{{12}}\end{array}\)

 => Phương trình dao động tổng hợp: \(x = 2\sqrt 3 {\rm{cos}}\left( {10\pi t + \frac{\pi }{{12}}} \right)cm\)

Ta có x = x₁ + x₂ => x₂ = x – x₁

x = 3cos(πt - 5π/6)  (cm).

x₁ = 5cos(πt+π/6) (cm) => -x₁ = 5cos(πt - 5π/6)

=> x₂ = 8cos(πt - 5π/6)(cm)

+ Do hai dao động vuông pha nên biên độ dao động tổng hợp là :

\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2} \)

+ Cơ năng dao động của vật :

\(E = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}(A_1^2 + A_2^2)\)

=> Khối lượng vật

\(m = \frac{{2E}}{{{\omega ^2}(A_1^2 + A_2^2)}}\)

Phương trình chất điểm 1 : là \({x_1} = 8\cos \left( {20\pi t - \frac{\pi }{2}} \right)cm\)

Phương trình chất điểm 2 là :

\({x_2} = 6\cos \left( {20\pi t + \pi } \right)cm\)

Hai chất điểm vuông pha :

\( \Rightarrow A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2}  = 10\)

Vận tốc lớn nhất :

\({v_{m{\rm{ax}}}} = \omega .A = 20\pi .10 = 200\pi cm/s\)

\({y_1} - {y_2} = 8cos\left( {7\pi t - \dfrac{\pi }{{12}}} \right) - 6cos\left( {7\pi t + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

+ Cách 1: Tổng hợp dao động

\(\begin{array}{l}{y_1} - {y_2} = 8cos\left( {7\pi t - \dfrac{\pi }{{12}}} \right) - 6cos\left( {7\pi t + \dfrac{\pi }{4}} \right)\\ = 8cos\left( {7\pi t - \dfrac{\pi }{{12}}} \right) + 6cos\left( {7\pi t + \dfrac{\pi }{4} + \pi } \right)\end{array}\)

Biên độ dao động tổng hợp: \(A = \sqrt {{8^2} + {6^2} + 2.8.6cos\left( {\pi  + \dfrac{\pi }{4} - \left( { - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)} \right)}  = \sqrt {52} cm\)

\( \Rightarrow {y_1} - {y_2} = \sqrt {52} cos\left( {7\pi t + \varphi } \right)\)

+ Cách 2: Sử dụng máy tính

Bấm \(8\angle  - \dfrac{\pi }{{12}} - 6\angle \dfrac{\pi }{4}\)  SHIFT 2 3 = \(2\sqrt {13} \angle  - 1,066\)

\( \Rightarrow {y_1} - {y_2} = 2\sqrt {13} cos\left( {7\pi t +\varphi} \right)\)

Ta có:

Khoảng cách giữa hai chất điểm: \(d = \sqrt {{{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2} + {{15}^2}} \)

Lại có \((y_1-y_2)_{max}=\sqrt{52} =2\sqrt{13}cm\)

=> Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm là \(d=\sqrt {52 + {{15}^2}}  = 16,6cm\)

Ta có: Khoảng cách  giữa hai vật nhỏ của con lắc bằng:

\(d = \sqrt {{3^2} + {{\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}^2}} \)

Ta có:

\({x_1} - {\rm{ }}{x_2} = 3c{\rm{os}}\left( {\omega t} \right) - 6c{\rm{os}}\left( {\omega t + \frac{\pi }{3}} \right) = 3c{\rm{os}}\left( {\omega t} \right) + 6c{\rm{os}}\left( {\omega t + \frac{\pi }{3} + \pi } \right)\)

Biên độ tổng hợp: của x₁ - x₂ là

\({A^2} = {3^2} + {6^2} + 2.3.6.c{\rm{os(}}\pi {\rm{ + }}\frac{\pi }{3}) \to A \approx 5,2cm\)

\({d_{max}} \leftrightarrow {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|_{{\rm{max}}}} = A \to {d_{max}} = \sqrt {{3^2} + {{(5,2)}^2}}  = 6cm\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{10}}{{\sin 30}} = \dfrac{{{A_2}}}{{\sin (60 + \varphi )}} = \dfrac{A}{{\sin (90 - \varphi )}}\\ \Rightarrow A = \dfrac{{10\sin (90 - \varphi )}}{{\sin 30}}\end{array}\)

Năng lượng dao động cực đại thì \({A_{max}} \Rightarrow \sin \left( {90 - \varphi } \right) = 1 \Rightarrow \varphi  = 0\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}A = \dfrac{{10\sin 90}}{{\sin 30}} = 20cm\\{A_2} = \dfrac{{10.\sin 60}}{{\sin 30}} = 10\sqrt 3 cm\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{A}{{\sin 60}} = \frac{6}{{\sin (30 + \varphi )}} = \frac{{{A_1}}}{{\sin (90 - \varphi )}}\\ \Rightarrow A = \frac{{6.\sin 60}}{{\sin (30 + \varphi )}}\end{array}\)

Để A_min thì

$\sin (30 + \varphi )max = 1 \to \varphi  = {60^0}$

Vậy dao động tổng hợp có pha ban đầu là - 60⁰

Dao động tổng hợp: \(x=x_1+x_2\)

Tại thời điểm dao động thứ hai có li độ bằng biên độ của dao động thứ nhất thì dao động tổng hợp có li độ \(9 cm\), ta có: \(x_1+6cm=9cm\)

=> \(x_1= 3cm\)

Dựa vào đề bài ta biểu diễn được các véc tơ dao động như hình bên.

Hai dao động vuông pha nên ta có:

\(\dfrac{{x_1^2}}{{A_1^2}} + \dfrac{{x_{}^2}}{{A_{}^2}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{3^2}}}{{{6^2}}} + \dfrac{{{9^2}}}{{{A^2}}} = 1 \Rightarrow A = 6\sqrt 3 cm\)