Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với nhau và song song với trục ox có phương trình lần lượt là ${x_1} = {\rm{ }}{A_1}cos\left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)$ và ${x_2} = {\rm{ }}{A_2}cos\left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)$. Giả sử $x{\rm{ }} = {\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2}$ và $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x_1} - {\rm{ }}{x_2}$. Biết rằng biên độ dao động của x gấp năm lần biên độ dao động của $y$. Độ lệch pha cực đại giữa ${x_1}$ và ${x_2}$ gần với giá trị nào nhất sau đây?
Ta có:
$\begin{array}{l}A_x^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}{\rm{cos(}}{\varphi _1} - {\varphi _2})\\A_y^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}{\rm{cos(}}{\varphi _1} - {\varphi _2})\end{array}$
Mặt khác, ta có:
$\begin{array}{l}{A_x} = 5{A_y}\\ \to A_x^2 = 25A_y^2\\ \leftrightarrow A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}{\rm{cos}}\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) = 25\left( {A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}cos\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right)\\ \leftrightarrow 52{A_1}{A_2}{\rm{cos(}}{\varphi _1} - {\varphi _2}) = 24A_1^2 + 24A_2^2\\ \to {\rm{cos(}}{\varphi _1} - {\varphi _2}) = \frac{{24A_1^2 + 24A_2^2}}{{52{A_1}{A_2}}} \ge \frac{{2\sqrt {24A_1^2.24A_2^2} }}{{52{A_1}{A_2}}} = \frac{{12}}{{13}}\\ \to \Delta \varphi \le 22,{62^0}\end{array}$
Vậy độ lệch pha cực đại của hai dao động là \(\Delta \varphi = 22,{62^0}\)
Trên mặt phẳng nằm ngang có hai con lắc lò xo. Các lò xo có cùng độ cứng k, cùng chiều dài tự nhiên là 32 cm. Các vật nhỏ A và B có khối lượng lần lượt là m và 4m. Ban đầu, A và B được giữ ở vị trí sao cho lò xo gắn với A bị dãn 8 cm còn lò xo gắn với B bị nén 8 cm. Đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hòa trên cùng một đường thẳng đi qua giá I cố định (hình vẽ). Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai vật có giá trị lần lượt là
Phương trình dao động của vật A là
\({x_1} = 8\cos (2\omega t + \pi )\)
Phương trình dao động của vật B là
\({x_2} = 8\cos (\omega t + \pi )\)
Mặt khác
\(AI = 32 - {x_1};BI = 32 + {x_2} = > AB = 64 + {x_2} - {x_1}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}d = {x_2} - {x_1} = 8\cos (\omega t + \pi ) - 8\cos (2\omega t + \pi )\\\cos \omega t = a = > d = 8(\cos 2\omega t - \cos \omega t) = 8(2{a^2} - a - 1)\\f(a) = 2{a^2} - a - 1/\left( { - 1;1} \right)\\f' = 4a - 1,f' = 0 = > a = \frac{1}{4}\end{array}\)
Xét bảng biến thiên sau
Từ bảng biến thiên ta có:
\(\begin{array}{l} - \frac{9}{8} \le f(a) \le 2 = > AB = 64 + d\\ = > 64 + 8.\left( { - \frac{9}{8}} \right) \le AB \le 64 + 8.2\\ = > 55 \le AB \le 80\end{array}\)
Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường x1) và chất điểm 2 (đường x2) như hình vẽ. Biết hai vật dao động trên hai đường thẳng song song kề nhau với cùng một hệ trục toạ độ. Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật (theo phương dao động)gần giá trị nào nhất:
Từ đồ thị ta có được
- Hai dao động có cùng chu kì T
- Chất điểm 1:
+ A1 = 4cm
+ Tại t = 0 vật đang ở biên dương
\( \Rightarrow {\varphi _1} = 0rad\)
- Chất điểm 2:
+ A2 = 2cm
+ Tại t = 0 vật qua li độ x = 1cm theo chiều dương
\( \Rightarrow {\varphi _2} = - \frac{\pi }{3}rad\)
- Phương trình dao động của hai dao động là:
\(\begin{array}{l}{x_1} = 4\cos (\omega t)cm\\{x_2} = 2\cos (\omega t - \frac{\pi }{3})cm\end{array}\)
- Khoảng cách của hai vật trong quá trình dao động:
\(d = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = {d_{\max }}\cos (\omega t + \varphi )\)
Với dmax là khoảng cách lớn nhất giữa hai vật trong quá trình dao động
\(d = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {{x_1} + ( - {x_2})} \right|\)
\({x_2} = 2\cos (\omega t - \frac{\pi }{3})\)nên \( - {x_2} = - 2\cos (\omega t - \frac{\pi }{3}) = 2cos(\omega t - \frac{\pi }{3} + \pi ) = 2cos(\omega t + \frac{{2\pi }}{3})\)
Do đó
\({d_{\max }} = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos (\Delta \varphi )} = \sqrt {{4^2} + {2^2} + 2.2.4.cos\frac{{2\pi }}{3}} = \) 3,46 cm
Một chất điểm M chuyển động với tốc độ 0,75 m/s trên đường tròn có đường kính bằng 0,5 m. Hình chiếu M’ của điểm M lên đường kính của đường tròn dao động điều hoà. Tại thời điểm t = 0 s, M’ đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Khi t = 8 s, hình chiếu M’ qua li độ
Tần số góc của dao động:
\(\omega = \frac{{{v_{\max }}}}{A} = \frac{{0,75}}{{0,25}} = 3\,\,\left( {rad/s} \right)\)
Tại thời điểm t = 8 s, vật quay được góc:
\(\Delta \varphi = \omega .\Delta t = 3.8 = 24\,\,\left( {rad} \right) = 7,639\pi = 6\pi + 1,639\pi \)
Biểu diễn trên VTLG, ta có:
Từ VTLG, ta thấy tại thời điểm t = 8 s, vật chuyển động theo chiều âm và ở vị trí:
\(x = A.cos0,139\pi = 0,25.cos0,139\pi = 0,2264\,\,\left( m \right) = 22,64\,\,\left( {cm} \right)\)
Một vật dao động là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là \({x_1} = 20\cos \left( {\omega t - \pi } \right)\,\,\left( {cm} \right)\) và \({x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{3}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\). Thay đổi A2 để biên độ dao động tổng hợp có giá trị nhỏ nhất, khi đó lệch pha giữa dao động tổng hợp và dao động thành phần x1 là
Ta có giản đồ vecto:
Từ giản đồ vecto, áp dụng định lí hàm cos, ta có:
\(\begin{array}{l}{A^2} = {A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \frac{{2\pi }}{3}\\ \Rightarrow {A^2} = {20^2} + {A_2}^2 - 20{A_2}\end{array}\)
Đặt \(x = {A_2}\), xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 20x + {20^2}\), ta có:
\(f{'_{\left( x \right)}} = 2x - 20\)
Để \({A_{\min }} \Rightarrow {f_{\left( x \right)}}\min \Rightarrow f{'_{\left( x \right)}} = 0 \Rightarrow x = 10 \Rightarrow {A_2} = 10\,\,\left( {cm} \right)\)
Khi đó, \({A_{\min }} = 10\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\)
Ta có: \(\cos \varphi = \frac{{{A_1}^2 + {A^2} - {A_2}^2}}{{2A.{A_1}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{6}\)
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số, biên độ \(A_1 = 4 cm\) và \(A_2 = 3 cm.\) Biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị cực đại là
Biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị cực đại là:
\({A_{\max }} = {A_1} + {A_2} = 4 + 3 = 7cm\)
Một vật có khối lượng m = 200g thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số và có các phương trình dao động là \({x_1} = 6.cos\left( {15t} \right)\,\left( {cm} \right)\) và \({x_2} = {A_2}.cos\left( {15t + \pi } \right)\,\left( {cm} \right)\). Biết cơ năng dao động của vật là \(W=0,05625J\). Biên độ \({A_2}\) nhận giá trị nào trong những giá trị sau:
Cơ năng dao động của vật:
\(\begin{array}{l}W = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.0,{2.15^2}.{A^2} = 0,05625\\ \Rightarrow A = 0,05m = 5cm\end{array}\)
Hai dao động ngược pha nên biên độ của dao động tổng hợp là:
\(A = \left| {{A_1} - {A_2}} \right| \Leftrightarrow 5 = \left| {6 - {A_2}} \right| \Rightarrow {A_2} = 1cm\)
Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có biên độ và pha ban đầu lần lượt là A1, A2, φ1, φ2. Dao động tổng hợp của hai dao động trên có biên độ được tính theo công thức
Biên độ tổng hợp của hai dao động là:
\(A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \)
Cho một vật có khối lượng m = 200 g tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với phương trình lần lượt là \({x_1} = \sqrt 3 \sin \left( {20t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,cm\) và \({x_2} = 2\cos \left( {20 t + \dfrac{{5\pi }}{6}} \right)\,\,cm\). Độ lớn của hợp lực tác dụng lên vật tại thời điểm \(t = \dfrac{\pi }{{120}}\,\,s\) là
Ta có phương trình dao động:
\({x_1} = \sqrt 3 \sin \left( {20t + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \sqrt 3 \cos \left( {20t} \right)\)
Sử dụng máy tính bỏ túi, ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt 3 \angle 0 + 2\angle \dfrac{{5\pi }}{6} = 1\angle \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 1\,\,\left( {cm} \right)\\\varphi = \dfrac{\pi }{2}\,\,\left( {rad} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow x = 1\cos \left( {20t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)
Tại thời điểm \(\dfrac{\pi }{{120}}\,\,s\), li độ của vật là:
\(x = \cos \left( {20.\dfrac{\pi }{{120}} + \dfrac{\pi }{2}} \right) = - 0,5\,\,\left( {cm} \right) = - 0,005\,\,\left( m \right)\)
Hợp lực tác dụng lên vật có độ lớn là:
\(F = \left| { - m{\omega ^2}x} \right| = \left| { - 0,{{2.20}^2}.0,005} \right| = 0,4\,\,\left( N \right)\)
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình là \({x_1} = 5\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\,\,\left( {cm} \right)\) và \({x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{4}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\) thì dao động tổng hợp có phương trình là \(x = A\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\). Thay đổi \({A_2}\) để \(A\) có giá trị bằng một nửa giá trị cực đại mà nó có thể đạt được thì \({A_2}\) có giá trị là
Ta có giản đồ vecto:
Áp dụng định lí hàm sin, ta có:
\(\dfrac{A}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{{A_1}}}{{\sin \dfrac{\pi }{6}}} \Rightarrow \dfrac{A}{{\sin \alpha }} = \dfrac{5}{{\sin \dfrac{\pi }{6}}} = 10 \Rightarrow A = 10\sin \alpha \)
Biên độ dao động tổng hợp đạt cực đại:
\({A_{\max }} \Leftrightarrow {\left( {\sin \alpha } \right)_{\max }} = 1 \Rightarrow A = 10\,\,\left( {cm} \right)\)
Theo đề bài ta có: \(A = \dfrac{{{A_{\max }}}}{2} = 5\,\,\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lí hàm cos, ta có:
\(\begin{array}{l}{A_1}^2 = {A_2}^2 + {A^2} - 2A.{A_2}\cos \dfrac{\pi }{6}\\ \Rightarrow {5^2} = {A_2}^2 + {5^2} - 2.5.{A_2}.cos\dfrac{\pi }{6}\\ \Rightarrow {A_2}^2 - 5\sqrt 3 {A_2} = 0 \Rightarrow {A_2} = 5\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)
