Bài tập mạch xoay chiều RLC - có ω (hay f, T) thay đổi

Ta có: f thay đổi để công suất trong mạch đạt giá trị cực đại khi đó: \({Z_L} = {Z_C}\) và \({P_{ma{\rm{x}}}} = \dfrac{{{U^2}}}{R}\)

\( \to {P_{ma{\rm{x}}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{220}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}{{50}} = 484{\rm{W}}\)

Ta có:

\({f_1} = 50H{\text{z}} \to {\omega _1} = 100\pi ({\text{r}}a{\text{d/s)}}\)

Theo đầu bài, ta có:

\(\begin{array}{l}{Z_C} = 1,44{Z_L} \leftrightarrow \dfrac{1}{{{\omega _1}C}} = 1,44{\omega _1}L\\ \to {\omega _1}^2 = \dfrac{1}{{1,44LC}}{\rm{         (1)}}\end{array}\)

 Để công suất trong mạch đạt giá trị cực đại <=> \({Z_L} = {Z_C}\) hay \({\omega _0} = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }}\) (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra:

\(\begin{array}{l}{\omega _0} = \sqrt {1,44} {\omega _1}\\ \to {f_0} = \sqrt {1,44} {f_1} = 1,2.50 = 60(H{\rm{z}})\end{array}\)

Ta có, \(I = \dfrac{U}{Z}\)

Mà theo đề bài, ta có: \({I_1} = {I_2}\)

Ta suy ra: \({Z_1} = {Z_2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow Z_1^2 = Z_2^2\\ \Leftrightarrow {R^2} + {\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_{{C_1}}}} \right)^2} = {R^2} + {\left( {{Z_{{L_2}}} - {Z_{{C_2}}}} \right)^2}\\ \Rightarrow \left| {{Z_{{L_1}}} - {Z_{{C_1}}}} \right| = \left| {{Z_{{L_2}}} - {Z_{{C_2}}}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{\omega _1}L - \dfrac{1}{{{\omega _1}C}}} \right| = \left| {{\omega _2}L - \dfrac{1}{{{\omega _2}C}}} \right|{\rm{       }}\left( 1 \right)\end{array}\)

Giải sử \({\omega _1} > {\omega _2}\) , ta suy ra (1) tương đương với: \({\omega _1}L - \dfrac{1}{{{\omega _1}C}} = \dfrac{1}{{{\omega _2}C}} - {\omega _2}L\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{\omega _1} + {\omega _2}} \right)L = \dfrac{1}{C}\left( {\dfrac{1}{{{\omega _1}}} + \dfrac{1}{{{\omega _2}}}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{\omega _1} + {\omega _2}} \right)L = \dfrac{1}{C}\left( {\dfrac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{{{\omega _1}.{\omega _2}}}} \right)\\ \Rightarrow {\omega _1}{\omega _2} = \dfrac{1}{{LC}}\end{array}\)

Theo đầu bài, ta có: \(C{R^2} < {\rm{ }}2L \leftrightarrow {R^2} < 2{Z_L}{Z_C}\) hay \(\dfrac{{{Z_L}}}{R}\dfrac{{{Z_C}}}{R} > \dfrac{1}{2}\)

Khi ω thay đổi, để  điện áp hai đầu tụ C cực đại thì ta có: 

\(\begin{array}{l}\left| {\tan \varphi .\tan {\varphi _{RL}}} \right| = \dfrac{1}{2}\\ \to \left| {\tan \varphi .\dfrac{{{Z_L}}}{R}} \right| = \dfrac{1}{2} \leftrightarrow \tan \varphi .\dfrac{1}{{10}} = \dfrac{1}{2}\\ \to \tan \varphi  = 5 \to c{\rm{os}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{1}{{\sqrt {26} }}\end{array}\)

Có thể giả sử: \(Z = 40\Omega ;{Z_L} = 41\Omega \)

Khi đó: \({Z_C} = \sqrt {{{41}^2} - {{40}^2}}  = 9\Omega \)

\(R = \sqrt {2{Z_C}{Z_L} - 2 {Z_C}{Z_C}} \)

Hệ số công suất của mạch khi đó: \({\rm{cos}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{R}{Z} = \dfrac{{24}}{{40}} = 0,6\)

Với điều kiện CR²< 2L

$\omega = \sqrt {{\omega _1}{\omega _2}} = 120\pi \left( {rad/s} \right)$

Ta có:

\(Z = {Z_C} = {Z_{L{\rm{r}}}} = 100\Omega  \to \left\{ \begin{array}{l}{Z_L} = 50\Omega \\r = 50\sqrt 3 \Omega \end{array} \right.\)

\( \to {Z_C} = 2{Z_L} \to \frac{1}{{\omega C}} = 2\omega L \to \dfrac{1}{{LC}} = 2{\omega ^2}\)  (1)

Ta có:

\(\omega _0^2 = \dfrac{1}{{L(C + \Delta C)}}\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \to \dfrac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} = \dfrac{{C + \Delta C}}{{2C}} \to \dfrac{{2{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} = 1 + \omega {Z_C}\Delta C\)

Thay số liệu vào rút ra được phương trình sau:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2{\omega ^2}}}{{{{\left( {80\pi } \right)}^2}}} = 1 + 100\dfrac{{0,{{125.10}^{ - 3}}}}{\pi }\omega \\ \Leftrightarrow {\omega ^2} - 40\pi \omega  - 3200{\pi ^2} = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\omega  = 80\pi \left( {rad/s} \right)\\\omega  =  - 40\pi \left( {rad/s} \right)\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Gọi \({\omega _0}\) - là giá trị của \(\omega \) sao cho \({U_L} = {U_C}\)

\({\omega _C}\) - là giá trị của \(\omega \) sao cho \({U_{{C_{max}}}}\)

\({\omega _L}\) - là giá trị của \(\omega \) sao cho \({U_{{L_{max}}}}\)

+ Từ đồ thị, ta có:

\(\omega  = 0\) và \(\omega  = {\omega _0}\) đều cho \({U_C}\) như nhau

(Áp dụng bài toán \(\omega \) biến thiên có hai giá trị của \(\omega \) cho cùng hiệu điện thế \({U_C}\))

Khi đó ta có:

\(\omega _1^2 + \omega _2^2 = 2\omega _C^2 \Leftrightarrow {0^2} + \omega _0^2 = 2\omega _C^2\)

\( \Rightarrow {\omega _C} = \dfrac{{{\omega _0}}}{{\sqrt 2 }}\)  (1)

+ Tại vị trí \(\omega  = 0\), \({U_C} \approx U\)

+ Tại vị trí: \(\omega  = {\omega _0}\), ta có \({U_C} = {U_R} = {U_L}\)

Nên ta suy ra: \({Z_{0C}} = R = {Z_{0L}}\)  (2)

+ Tại vị trí: \(\omega  = {\omega _C}\)

\(\begin{array}{l}{U_C} = {U_{{C_{max}}}} = \dfrac{{U{Z_C}}}{Z} = \dfrac{{U{Z_C}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }}\\ = \dfrac{{U\sqrt 2 {Z_{0C}}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}{Z_{0L}} - \sqrt 2 {Z_{0C}}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{U\sqrt 2 R}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}R - \sqrt 2 R} \right)}^2}} }}\\ = \dfrac{{U\sqrt 2 }}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{2}} }} = \dfrac{{U2\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

Theo đầu bài, ta có \(U = \dfrac{{200}}{{\sqrt 2 }} = 100\sqrt 2 V\)

\( \Rightarrow {U_M} = {U_{{C_{max}}}} = \dfrac{{100\sqrt 2 .2\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{200\sqrt 6 }}{3} \approx 163,3V\)

Tại \(f = {f_1} = 60\) Hz : \({Z_{L1}} = {Z_{C1}}\)

Tại \(f = {f_2} = 2{f_1} = 120\) Hz : \({Z_{L2}} = 2{Z_{L1}} = 2{Z_{C1}} = 4{Z_{C2}}\)

\(\cos {\varphi _2} = \dfrac{R}{{{Z_2}}} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + 9{Z_{C2}}^2} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow 2{R^2} = {R^2} + 9{Z_{C2}}^2 \Leftrightarrow {R^2} = 9{Z_{C2}}^2 \Leftrightarrow R = 3{Z_{C2}}\)

Tại \(f = {f_3} = \dfrac{3}{4}{f_2} = 90\) Hz : \({Z_{L3}} = \dfrac{3}{4}{Z_{L2}} = 3{Z_{C2}}\) và \({Z_{C3}} = \dfrac{4}{3}{Z_{C2}}\)

\( \Rightarrow \cos {\varphi _3} = \dfrac{R}{{{Z_3}}} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{L3}} - {Z_{C3}}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{3{Z_{C2}}}}{{\sqrt {9Z_{C2}^2 + {{\left( {3{Z_{L2}} - \dfrac{4}{3}{Z_{C2}}} \right)}^2}} }} = 0,874\)

Hai giá trị tần số để điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm cùng giá trị, điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại khi:

\(\begin{array}{l}\dfrac{2}{{{\omega _L}^2}} = \dfrac{1}{{{\omega _1}^2}} + \dfrac{1}{{{\omega _2}^2}} \Rightarrow \dfrac{2}{{{f_L}^2}} = \dfrac{1}{{{f_1}^2}} + \dfrac{1}{{{f_2}^2}}\\ \Rightarrow \dfrac{2}{{{f_L}^2}} = \dfrac{1}{{{{30}^2}}} + \dfrac{1}{{{{150}^2}}} \Rightarrow {f_L} = \dfrac{{150}}{{\sqrt {13} }}\,\,\left( {Hz} \right)\end{array}\)

Hai giá trị tần số để điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện có cùng giá trị, điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt cực đại khi:

\(\begin{array}{l}2{\omega _C}^2 = {\omega _3}^2 + {\omega _4}^2 \Rightarrow 2{f_C}^2 = {f_3}^2 + {f_4}^2\\ \Rightarrow 2{f_C}^2 = {50^2} + {200^2} \Rightarrow {f_C} = 25\sqrt {34} \,\,\left( {Hz} \right)\end{array}\)

Hai giá trị tần số để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm và điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại, điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở đạt giá trị cực đại khi:

\({\omega _R} = \sqrt {{\omega _L}.{\omega _C}}  \Rightarrow {f_R} = \sqrt {{f_L}.{f_C}}  = \sqrt {\dfrac{{150}}{{\sqrt {13} }}.25\sqrt {34} }  = 77,9 \approx 78\,\,\left( {Hz} \right)\)

+ Tần số góc khi cường độ dòng điện trong mạch có giá trị cực đại \({\omega _0} = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }}\)

+ Hai giá trị của tần số góc cho cùng giá trị dòng điện hiệu dụng trong mạch \({I_1} = {I_2} = \dfrac{{{I_{max}}}}{n}\) khi đó ta có \({\omega _1}.{\omega _2} = \dfrac{1}{{LC}} \Rightarrow {\omega _2}L = \dfrac{1}{{{\omega _1}C}}\)

\( \Rightarrow {Z_{{L_2}}} = {Z_{{C_1}}}\)  

Ta có:

\(\begin{array}{l}{I_1} = \dfrac{{{I_{max}}}}{n}\\ \Leftrightarrow \dfrac{U}{{{Z_1}}} = \dfrac{U}{{Zn}} \Rightarrow nZ = {Z_1}\\ \Leftrightarrow {n^2}\left( {{R^2}} \right) = {R^2} + {\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_{{C_1}}}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {n^2}{R^2} = {R^2} + {L^2}{\left( {{\omega _1} - {\omega _2}} \right)^2}\\ \Rightarrow R = \dfrac{{L\left| {{\omega _1} - {\omega _2}} \right|}}{{\sqrt {{n^2} - 1} }}\end{array}\)

+ Khi \(\omega  = {\omega _1}\): \({I_1} = \frac{U}{{{Z_1}}} = \frac{U}{{\sqrt {R + {{\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_{{C_1}}}} \right)}^2}} }} = 1\)

Độ lệch pha của u so với i: \({\varphi _1} = {\varphi _u} - \frac{{5\pi }}{6}\)

+ Khi \(\omega  = 2{\omega _1}\): \(\left\{ \begin{array}{l}{Z_{{L_2}}} = 2{{\rm{Z}}_{{L_1}}}\\{Z_{{C_2}}} = \frac{{{Z_{{C_1}}}}}{2}\\{I_2} = \frac{U}{{{Z_2}}} = \frac{U}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {2{{\rm{Z}}_{{L_1}}} - \frac{{{Z_{{C_1}}}}}{2}} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Độ lệch pha của u so với i: \({\varphi _2} = {\varphi _u} - \frac{{7\pi }}{{12}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{{R^2} + {{\left( {2{{\rm{Z}}_{{L_1}}} - \frac{{{Z_{{C_1}}}}}{2}} \right)}^2}}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_{{C_1}}}} \right)}^2}}}} \\ \Rightarrow {R^2} + 2{\left( {2{{\rm{Z}}_{{L_1}}} - \frac{{{Z_{{C_1}}}}}{2}} \right)^2} = {\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_{{C_1}}}} \right)^2}\\ \Rightarrow 1 + 2\frac{{{{\left( {2{{\rm{Z}}_{{L_1}}} - \frac{{{Z_{{C_1}}}}}{2}} \right)}^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{{{\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_{{C_1}}}} \right)}^2}}}{{{R^2}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow 1 + 2{\tan ^2}{\varphi _2} = {\tan ^2}{\varphi _1}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\tan \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = \frac{{\tan {\varphi _2} - \tan {\varphi _1}}}{{1 + \tan {\varphi _2}.\tan {\varphi _1}}} = \tan \frac{\pi }{4} = 1\)

\( \Rightarrow \tan {\varphi _2} - \tan {\varphi _1} = 1 + \tan {\varphi _2}.\tan {\varphi _1}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\tan {\varphi _1} =  - 1\\\tan {\varphi _2} = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{Z_{{C_1}}} = 4{{\rm{Z}}_{{L_1}}}\\R = 3{{\rm{Z}}_{{L_1}}}\\{Z_1} = 3\sqrt 2 {Z_{{L_1}}}\end{array} \right.\)

Khi \(\omega  = \sqrt 3 {\omega _1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{Z_{L3}} = \sqrt 3 {Z_{L1}}\\{Z_{C3}} = \frac{{{Z_{C1}}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4{{\rm{Z}}_{L1}}}}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Rightarrow {Z_3} = \frac{{2\sqrt {21} }}{3}{Z_{L1}}\)

\({I_3} = \frac{U}{{{Z_3}}} = \frac{{{I_1}.{Z_1}}}{{{Z_3}}} = \frac{{1.3\sqrt 2 }}{{\frac{{2\sqrt {21} }}{3}}} = 1,388{\rm{A}} \Rightarrow {I_{03}} = 1,964{\rm{A}}\)

\(\tan {\varphi _3} = \frac{{{Z_{{L_3}}} - {Z_{{C_3}}}}}{R} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow {\varphi _3} =  - 0,19{\rm{r}}a{\rm{d}} =  - 0,06\pi \)

\({\varphi _3} = {\varphi _u} - {\varphi _{i3}} \Rightarrow {\varphi _{{i_3}}} = \frac{{7\pi }}{{12}} + 0,06\pi  = 0,6433\pi \left( {rad} \right)\)

\( \Rightarrow {i_3} = 1,964co{\rm{s}}\left( {\sqrt 3 {\omega _1} + 0,6433\pi } \right)A\)

Để xảy ra hiện tượng cộng hưởng: \({Z_L} = {Z_C} \Leftrightarrow {\omega _0}L = \frac{1}{{{\omega _0}C}}\)

\( \Rightarrow \) Tần số góc cộng hưởng \({\omega _0} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}\)