Số đo góc ^BAD là
Ta có ^BCE=^DCF (hai góc đối đỉnh).
Đặt x=^BCE=^DCF.
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:
^ABC=x+450(1)^ADC=x+250(2)
Lại có ^ABC+^ADC=1800(3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ (1),(2) và (3) ta nhận được
(x+450)+(x+250)=1800⇒x=550⇒^BCE=550.
Do ^BCD,^BCE là hai góc kề bù nên
^BCD+^BCE=1800⇒^BCD=1800−550=1250.
Ta lại có ^BAD,^BCD là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên
^BAD+^BCD=1800⇒^BAD=1800−1250=550.
Chọn câu đúng:
Ta có ^BCE=^DCF (hai góc đối đỉnh).
Đặt x=^BCE=^DCF.
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:
^ABC=x+450(1)^ADC=x+250(2)
Lại có ^ABC+^ADC=1800(3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ (1),(2) và (3) ta nhận được
(x+450)+(x+250)=1800⇒x=550.
Từ (1) ta có ^ABC=550+450=1000.
Chọn câu đúng:
Ta có ^BCE=^DCF (hai góc đối đỉnh).
Đặt x=^BCE=^DCF.
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:
^ABC=x+450(1)^ADC=x+250(2)
Lại có ^ABC+^ADC=1800(3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ (1),(2) và (3) ta nhận được
(x+450)+(x+250)=1800⇒x=550.
Từ (1) ta có ^ABC=550+450=1000.
Cho ΔABC cân tại A có ^BAC=1300. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, kẻ Bx⊥BA;Cy⊥CA, Bx và Cy cắt nhau tại D. Chọn đáp án sai.
Theo đề bài ta có ^ABD=^ACD=90∘⇒^ABD+^ACD=90∘+90∘=180∘ mà hai góc ^ABD;^ACD ở vị trí đối nhau nên tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp nên đáp án B đúng.
+ Lại có ΔABC cân tại A có ^BAC=130∘⇒^ABC=^ACB=180∘−130∘2=25∘
+ Ta có ^BDC+^ABC=90∘⇒^BDC=90∘−25∘=65∘
Và ^BCD+^ACB=90∘⇒^BCD=90∘−25∘=65∘
Từ đó suy ra tam giác BCD cân tại D nên đáp án A đúng.
+ Xét tứ giác ABDC nội tiếp nên ^BAC+^BDC=180∘⇔^BDC=180∘−^BAC=180∘−130∘=50∘ nên D đúng.
Ta chưa đủ điều kiện để suy ra tứ giác ABDC là hình thoi nên C sai.
Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A,B,C cắt đường thẳng CD tại P(P≠C). Khi đó
Do tứ giác ABCP nội tiếp (vì có 4 đỉnh cùng thuộc đường tròn) và ^BAP,^BCP là các góc đối nên
^BAP+^BCP=1800(1).
Do ABCD là hình bình hành nên CD//AB suy ra
^ABC+^BCP=1800(2).
Từ (1) và (2) ta nhận được ^BAP=^ABC.
Mặt khác CP//AB nên ABCP là hình thang cân. Đáp án A đúng.
Từ đó ta suy ra AP=BC(3). (Đáp án C đúng)
Do BC=AD (vì ABCD là hình bình hành) (4)
Từ (3) và (4) ta suy ra AP=AD. Đáp án B đúng.
Vậy cả ba đáp án A,B,C đều đúng.
Tia phân giác góc ^BAD của hình bình hành ABCD cắt các đường thẳng BC và DC lần lượt tại hai điểm M và N. Dựng ra phía ngoài hình bình hành ABCD tam giác cân MCO với ^MOC=^BAD. Khi đó:
Ta có BM//AD nên ^BMA=^MAD.
Mặt khác AM là phân giác của ^BAD nên ^BAM=^MAD.
Từ đó ^BAM=^AMB.
Vậy ΔABM cân tại B. Suy ra BM=BA=DC.
Tam giác OMC cân tại O nên OM=OC.
Đặt α=^BAD, ta có ^OCD=^BCD+^OCM=α+12(1800−α)=900+α2(1).
Các góc ^BMO,^OMC kề bù nên
^BMO=1800−^OMC=1800−^OCM=900+α2(2).
Từ (1) và (2) suy ra ^OCD=^BMO.
Xét hai tam giác ΔOBM,ΔODC có {^OCD=^BMOOM=OCBM=CD nên ΔOBM=ΔODC(c.g.c).
Do đó ^OBM=^ODC. Điều này chứng tỏ BOCD là tứ giác nội tiếp. Do đó bốn điểm B,O,C,D thuộc cùng một đường tròn.
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD,BE,CF(D∈BC,E∈AC,F∈AB) cắt nhau tại H. Khi đó ta có
Do AD,BE là các đường cao nên ^HDC=^HEC=900.
Do đó ^HDC+^HEC=900+900=1800.
Vậy tứ giác DCEH là tứ giác nội tiếp.
Các góc ^HED,^HCD cùng chắn cung HD nên
^HED=^HCD(1).
Xét hai tam giác ΔBDE,ΔBHC có ^HED=^HCD (theo (1) ) và góc ^EBC chung.
Do đó ΔBDE∼ΔBHC.Từ đó ta nhận được BDBH=BEBC⇒BH.BE=BC.BD. Đáp án A đúng.
Chứng minh tương tự ta có CH.CF=CD.CB. Đáp án B đúng.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) . M là điểm chính giữa cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Theo đề bài ta có: M là điểm chính giữa cung AB nên ⏜AM=⏜MB
Xét đường tròn (O) có:
+) ^MCD là góc nội tiếp chắn cung DM⇒^MCD=12sđ⏜DM.(1)
+) ^AED là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung MB và cung AD
⇒^MCD=12(sđ⏜AD+sđ⏜MB)=12(sđ⏜AD+sđ⏜MA)=12sđ⏜DM(2)
Từ (1) và (2) ⇒^MCD=^AED=12sđ⏜DM.
Xét tứ giác DEPC có: ^MCD=^AED(cmt)
⇒PEDC nội tiếp (góc ngoài của một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện).
Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm E di động trên cạnh AB. Qua B vẽ một đường thẳng vuông góc cới CE tại D và cắt tia CA tại H. Biết ^BCA=300. Số đo ^ADH là:
Xét tứ giác ACBD ta có:
^BAC=^BDC=900 và cùng nhìn đoạn BC.
⇒ Tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp (dhnb).
⇒^BDA+^BCA=180∘⇔^BDA=1800−^BCA=1800−300=1500.
Có góc ^HDA và ^BDA kề bù nên ^HDA=1800−^BDA=300
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (hình 1 ). Chọn khẳng định đúng nhất?
Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên
^BDC=^BAC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC )
^ABC+^ADC=180∘ (tổng hai góc đối bằng 180∘ )
^DCB=^BAx (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)
Phương án A, B, C đúng
Tứ giác ở hình nào dưới đây là tứ giác nội tiếp?
Hình 2 sai vì ˆA+ˆC=1150+750=1900≠1800 .
Hình 3 sai vì ˆC+ˆB=920+850=1770≠1800 .
Hình 5 sai vì ˆD+ˆB=500+500=1000≠1800 .
Hình 4 đúng vì tứ giác này có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn.
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF,Bx của nửa đường tròn (O) (với F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D. Khi đó tứ giác OBDF là:
Ta có ^DBO=900 và ^DFO=900 ( tính chất tiếp tuyến).
Tứ giác OBDF có ^DBO+^DFO=900+900=1800 nên nội tiếp được trong một đường tròn.
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M và ^BAD=700 thì ^BCM=?
Tứ giác ABCD nội tiếp nên có: ^DAB+^BCD=1800⇒^BCD=1800−700=1100
Mà ^BCD+^BCM=1800(kề bù) ⇒^BCM=1800−1100=700
Cho đường tròn (O) đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H . Trên cung nhỏ AC lấy điểm E kẻ CK vuông góc AE tại K . Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chọn câu đúng:
Có ^AHC=900(CD vuông góc AB); ^AKC=900 (AK vuông góc CF)
⇒^AHC+^AKC=1800 ⇒ tứ giác AHCK nội tiếp ⇒ phương án A đúng, B sai.
⇒^EAO+^HCK=1800 (hai góc đối diện)⇒ phương án C sai.
Xét tam giác vuông ADB có AH.AB=AD2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên phương án D sai.
Cho hình vẽ dưới đây
Khi đó mệnh đề đúng là
Ta có ^BCE=^DCF (hai góc đối đỉnh). Đặt x=^BCE=^DCF.
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:
^ABC=x+400(1);^ADC=x+200(2)
Lại có ^ABC+^ADC=1800(3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ (1),(2) và (3) ta nhận được (x+400)+(x+200)=1800⇒x=600 .
Từ (1) ta có ^ABC=600+400=1000 .
Cho hình vẽ dưới đây
Số đo góc ^BAD là
Ta có ^BCE=^DCF (hai góc đối đỉnh). Đặt x=^BCE=^DCF.
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:
^ABC=x+400(1);^ADC=x+200(2)
Lại có ^ABC+^ADC=1800(3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ (1),(2) và (3) ta nhận được (x+400)+(x+200)=1800⇒x=600⇒^BCE=60∘ .
Do ^BCD,^BCE là hai góc kề bù nên
^BCD+^BCE=1800⇒^BCD=1800−600=1200
Ta lại có ^BAD,^BCD là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên
^BAD+^BCD=1800⇒^BAD=1800−1200=600
Cách khác:
Xét tam giác ADE, theo định lý về tổng ba góc trong tam giác, ta có:
^BAD+^CDA+^AED=1800
⇒^BAD+^CDA+400=1800⇒^BAD+^CDA=1400(1∗)
Xét tam giác ABF, theo định lý về tổng ba góc trong tam giác, ta có:
^BAD+^CBA+^AFB=1800⇒^BAD+^CBA+200=1800⇒^BAD+^CBA=1600(2∗)
Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên ^ADC+^CBA=1800 (3*) (tổng hai góc đối bằng 1800)
Từ (1∗),(2∗) và (3*) ta có:
^BAD+^ADC+^BAD+^CBA=1400+1600⇒2^BAD+(^ADC+^CBA)=3000⇒2^BAD+1800=3000⇒2^BAD=1200⇒^BAD=600
Cho ΔABC cân tại A có ^BAC=1200. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy D sao cho BCD là tam giác đều. Khi đó
Ta có ΔBCD là tam giác đều nên ^DCB=600(1). Mặt khác ΔABC là tam giác cân tại A có ^BAC=1200 hơn nữa tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800 nên ta nhận được
{^ACB=^ABC^ACB+^ABC+^BAC=1800⇒^ACB=300(2) .
Từ (1) và (2) ta có ^DCA=^DCB+^BCA=600+300=900(3).
Chứng minh tương tự ta có ^ABD=900(4).
Từ (3) và (4) ta nhận được ^ABD+^DCA=900+900=1800.
Vậy tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn(O) . M là điểm thuộc cung nhỏ AC (cung CM< cung AM ). Vẽ MH vuông góc với BC tại H , vẽ MI vuông góc với AC tại I . Chọn câu đúng:
Xét tứ giác IMHC ta có: ^MIC=900 (MI vuông góc vớiAC ); ^MHC=900(MH vuông góc vớiBC )
⇒^MIC+^MHC=1800 ⇒tứ giác IMHC nội tiếp (dhnb).
Và tứ giác IMHC chưa đủ điều kiện để là hình chữ nhật và hình vuông.
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK⊥AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F.
Tứ giác AHCK là
Tứ giác AHCK có ^AHC=90∘(AB⊥CD);^AKC=90∘(AK⊥FC) nên ^AHC+^AKC=180∘⇒ Tứ giác AHCK nội tiếp.
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK⊥AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F.
Tích AH.AB bằng
Xét tam giác ADB có ^ADB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ΔADB vuông tại D
Do đó AD2=AH.AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà AD≠BD;AD<AB nên phương án A, B, C sai.
