Tứ giác nội tiếp

Câu 41 Trắc nghiệm

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB.$ Gọi $H$ là điểm nằm giữa $O$ và $B.$ Kẻ dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $H$. Trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $E,$ kẻ $CK \bot AE$ tại $K.$ Đường thẳng $DE$ cắt $CK$ tại $F.$

Tam giác \(ACF\) là tam giác

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {EAC} = \widehat {EDC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Xét tứ giác nội tiếp \(AHCK\) có \(\widehat {KAC} = \widehat {KHC}\)  nên \(\widehat {EDC} = \widehat {KHC}\left( { = \widehat {KAC}} \right)\) mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(KH{\rm{//}}ED\)

Xét tam giác \(CFD\) có \(KH{\rm{//}}ED\)mà \(H\) là trung điểm của \(DC\) ( do \(AB \bot DC\)) nên \(K\) là trung điểm của \(CF\)

Xét tam giác \(ACF\) có \(AK\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên \(\Delta ACF\) cân tại \(A\) .

Câu 42 Trắc nghiệm

Cho \(\Delta ABC\) vuông ở $A$ . Trên cạnh $AC$ lấy điểm $M$ và vẽ đường tròn đường kính $MC$ . Kẻ $BM$ cắt đường tròn tại $D$ . Đường thẳng $DA$ cắt đường tròn tại $S$ . Chọn đáp án sai trong các đáp án sau:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

+) Ta có: \(\widehat {MDC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $MC$ \( \Rightarrow \widehat {MDC} = {90^0}\) (tính chất góc nội tiếp).

Xét tứ giác $ABCD$ ta có:

Góc $BAC$ và góc $BDC$ cùng nhìn đoạn $BC$ dưới góc \({90^0}.\)

\( \Rightarrow \) $ABCD$ là tứ giác nội tiếp (dhnb) \( \Rightarrow \) phương án A đúng.

+) Xét tứ giác $ABCD$ nội tiếp ta có\(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (cùng nhìn đoạn $AD$ )\( \Rightarrow \) phương án B đúng.

+) Xét đường tròn đường kính $MC$ ta có $4$  điểm $M,C,D,S$ cùng thuộc đường tròn.

\( \Rightarrow \) Tứ giác $MCSD$ là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {SCM}\) (góc ngoài tại $1$  đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). $\left( 1 \right)$

Vì tứ giác $ABCD$ nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ADB}\) (cùng nhìn đoạn$AB$ )    $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ \( \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {ACS}\;\;\;\left( { = \widehat {ADB}} \right).\)

Hay $CA$ là phân giác của \(\widehat {SCB} \Rightarrow \) phương án C đúng.

+) Giả sử tứ giác $ABCS$ là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {ASB} = \widehat {BCA}\) (hai góc cùng nhìn đoạn $AB$ ).

Mà \(\widehat {ACB} = \widehat {BDA};\;\;\;\widehat {BAD} \ne \widehat {BSA}\) (xét trong đường tròn đường kính $CM$ )

\( \Rightarrow \widehat {ASB} \ne \widehat {BCA} \Rightarrow \) tứ giác $ABCS$ không là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \)phương án D sai.

Câu 43 Trắc nghiệm

Trên các cạnh \(BC,CD\) của hình vuông \(ABCD\) ta lấy lần lượt các điểm \(M,N\) sao cho \(\widehat {MAN} = {45^0}\). Đường thẳng \(BD\) cắt các đường thẳng \(AM,AN\) tương ứng tại các điểm \(P,Q\).

$\left( I \right):$ Tứ giác \(ABMQ\) nội tiếp; $\left( {II} \right):$ Tứ giác \(ADNP\) nội tiếp. Chọn kết luận đúng.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Xét hình vuông \(ABCD\) có \(\widehat {DBC} = \widehat {BDC} = 45^\circ \) (tính chất)

Xét tứ giác \(ABMQ\) có \(\widehat {QAM} = \widehat {QBM} = 45^\circ \) mà hai đỉnh \(A\) và \(B\) cùng nhìn đoạn thẳng \(MQ\) nên \(ABMQ\) là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác \(APND\) có \(\widehat {PAN} = \widehat {PDN} = 45^\circ \) mà hai đỉnh \(A\) và ${\rm{D}}$ cùng nhìn đoạn thẳng \(PN\) nên \(APND\) là tứ giác nội tiếp.

Câu 44 Trắc nghiệm

Trên các cạnh \(BC,CD\) của hình vuông \(ABCD\) ta lấy lần lượt các điểm \(M,N\) sao cho \(\widehat {MAN} = {45^0}\). Đường thẳng \(BD\) cắt các đường thẳng \(AM,AN\) tương ứng tại các điểm \(P,Q\).

Năm điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Từ kết quả câu trước ta suy ra \(\widehat {ADP} = \widehat {ANP} = {45^0},\widehat {QAM} = \widehat {QBM} = {45^0}\)\( \Rightarrow NP \bot AM,MQ \bot AN\). Tập hợp các điểm \(P,Q,C\) nhìn đoạn \(MN\) dưới một góc vuông, nên các điểm này nằm trên đường tròn đường kính \(MN\).

Câu 45 Trắc nghiệm

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$. Gọi $I$ là trung điểm của $OA$ . Dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $I$. Lấy $K$ tùy ý trên cung $BC$ nhỏ, $AK$ cắt $CD$ tại $H$. Khẳng định nào đúng ?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(\widehat {AKB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) \( \Rightarrow \widehat {AKB} = {90^0} \,\left( {t/c} \right).\)

Xét tứ giác $HKBI$ ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\;\widehat {HKB} = {90^0}\\\widehat {HIB} = {90^0}\left( {do\;\;CD \bot AB = \left\{ I \right\}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {HKB} + \widehat {HIB} = {180^0}\) .

\( \Rightarrow \) Tứ giác $BKHI$ là tứ giác nội tiếp (dhnb) \( \Rightarrow \)phương án A đúng, phương  án B sai.

Lại có \(\widehat {KBA} < {90^0}\) do \(\Delta AKB\) vuông tại  \(K \Rightarrow KBIH\) không là hình chữ nhật.

\( \Rightarrow \) phương  án C sai.

Câu 46 Trắc nghiệm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và điểm $D$ nằm giữa $A$ và $B$ . Đường tròn đường kính $BD$ cắt $BC$ tại $E$. Các đường thẳng $CD$ , $AE$ lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là $F$ và $G$. Khi đó, kết luận không đúng là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

+) Xét đường tròn đường kính $BD$ có góc $BED$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \widehat {BED} = {90^0}.\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta BED\) ta có: \(\widehat {DBE}\;\;chung\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BED} = {90^0}\)$ \Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta EBD\;\left( {g - g} \right)$ \( \Rightarrow \) phương án A đúng.

+) Xét tứ giác $ADEC$ có: \(\widehat {DEC} + \widehat {DAC} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \)Tứ giác $ADEC$ là tứ giác nội tiếp (dhnb).\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

+) Chứng minh tương tự ta được tứ giác $AFBC$ là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \) phương án C sai.

+) Gọi giao điểm của $BF$ và $AC$ là$H$ .

  Xét tam giác $BHC$ có hai đường cao $CF$ và $BA$ cắt nhau tại$D$   $ \Rightarrow $$D$  là trực tâm của tam giác $BHC$

Mà $DE$ $ \bot $$AB$  $ \Rightarrow $$DE$  là đường cao của tam giác $BHC$ hay $H,E,D$ thẳng hàng.         

$ \Rightarrow $$DE,AC$  và $BF$ đồng quy tại$H$   $ \Rightarrow $phương án D đúng.

Câu 47 Trắc nghiệm

Cho nửa $(O)$ đường kính $AB.$ Lấy $M \in OA(M \ne O,A).$ Qua $M$ vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $AB.$ Trên $d$ lấy $N$ sao cho $ON > R.$ Nối $NB$ cắt $(O)$ tại $C.$ Kẻ tiếp tuyến $NE$ với $(O)$ ($E$ là tiếp điểm, $E$$A$ cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ $d$). Gọi $H$ là giao điểm của $AC$ và $d$,  $F$ là giao điểm của $EH$ và đường tròn $(O)$. Chọn khẳng định sai?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

+) Vì \(\widehat {NEO} = \widehat {NMO} = 90^\circ  \Rightarrow NEMO\) là tứ giác nội tiếp nên bốn điểm $O,E,M,N$ cùng thuộc một đường tròn

\( \Rightarrow \) Phương án A đúng.

+) \(\widehat {NEC} = \widehat {CBE} = \dfrac{1}{2}\) số đo cung $CE \Rightarrow \Delta NEC\backsim\Delta NBE\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{NE}}{{NB}} = \dfrac{{NC}}{{NE}}$ \( \Rightarrow NB.NC = N{E^2}\)

\( \Rightarrow \) Phương án B đúng.

+) Hai tam giác vuông $\Delta NCH\backsim\Delta NMB\left( {g - g} \right) $

$\Rightarrow \dfrac{{NC}}{{NM}} = \dfrac{{NH}}{{NB}} $

$\Rightarrow NC.NB=NH.NM$

Từ đó $\Delta NEH\backsim\Delta NME\left( {c-g -c} \right) \Rightarrow \widehat {NEH} = \widehat {EMN}$ \( \Rightarrow \) Phương án C đúng.

+) \(\widehat {EMN} = \widehat {EON}\) (tứ giác \(NEMO\) nội tiếp) \( \Rightarrow \widehat {NEH} = \widehat {NOE}\) 

Mà góc $ENO$ phụ với góc $EON$ nên góc $ENO$ cũng phụ với góc $NEH$

\(\Rightarrow EH \bot NO\) 

\( \Rightarrow \Delta OEF\) cân có \(ON\) là phân giác

\( \Rightarrow \widehat {EON} = \widehat {NOF} \Rightarrow \widehat {NEF} = \widehat {NOF}\)  nên tứ giác \(NEOF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {NFO} = 180^\circ  - \widehat {NEO} = 90^\circ \) .

\( \Rightarrow \) Phương án D sai.

Câu 48 Trắc nghiệm

Cho nửa đường tròn tâm \(O,\) đường kính \(AB = 2R.\) Đường thẳng qua \(O\) và vuông góc \(AB\) cắt cung \(AB\) tại \(C.\)Gọi \(E\) là trung điểm \(BC.\,\,AE\) cắt nửa đường tròn \(O\) tại \(F.\)Đường thẳng qua \(C\) và vuông góc $AF$ tại \(G\)cắt \(AB\) tại $H.$ Khi đó góc \(\widehat {OGH}\) có số đo là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Theo giả thiết ta có \(OC \bot AB,\,CG \bot AG\) nên ta suy ra \(\widehat {AOC} = \widehat {AGC} = {90^0}.\)

Nói cách khác \(O,\,G\) cùng nhìn \(AC\) dưới một góc vuông.
Do đó tứ giác ACGO nội tiếp đường tròn đường kính $AC$  nên  \(\widehat {OGA} = \widehat {OCA}.\)

Mà \(\Delta OAC\) vuông cân tại O nên \(\widehat {OCA} = {45^0}.\) Suy ra \(\widehat {OGA} = {45^0}.\) Ta lại có \(\widehat {OGH} + \widehat {OGA} = \widehat {HGA} = \widehat {AGC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {OGH} = {90^0} - \widehat {OGA} = {90^0} - {45^0} = {45^0}.\)

Do đó \(\widehat {OGH} = {45^0}\)

Câu 49 Trắc nghiệm

Cho hình vẽ. Khi đó đáp án đúng là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Do tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O,\) nên ta có

$\widehat {CAD} = \widehat {CBD}$ (cùng chắn cung \(CD\) ). Do đó ta có

\(\widehat {CAD} = {40^0}.\)

Tổng ba góc trong một tam giác bằng \({180^0}\)

Nên:

$\begin{array}{l}\widehat {CAD} + \widehat {ACD} + \widehat {ADC} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {ADC} = {180^0} - \left( {\widehat {CAD} + \widehat {ACD}} \right) \\= {180^0} - \left( {{{40}^0} + {{60}^0}} \right) = {80^0}.\end{array}$

Câu 50 Trắc nghiệm

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) và $\widehat A = \partial \;\;\left( {0 < \partial  < {{90}^0}} \right)$. Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AC vẽ tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D. Số đo góc $\widehat {BDM}$ là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Xét tam giác ABC cân  tại A và \(\widehat A = {60^0} \Rightarrow \widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \partial }}{2} = {90^0} - \dfrac{\partial }{2}.\)

Ta có tứ giác AMCB là tứ giác nội tiếp (4 điểm A, M, B, C cùng thuộc (O)).

\( \Rightarrow \widehat {AMC} = {180^0} - \widehat {ABC} \)\(= {180^0} - \left( {{{90}^0} - \dfrac{\partial }{2}} \right) = {90^0} + \dfrac{\partial }{2}.\) 

\( \Rightarrow \widehat {DMA} = \widehat {ABC} = {90^0} - \dfrac{\partial }{2}\) (tính chất tứ giác nội tiếp).

Gọi I là giao điểm của AM và BD.

\( \Rightarrow \Delta DMI\) vuông tại I.

\( \Rightarrow \widehat {BDM} = {90^0} - \widehat {AMD} \)\(= {90^0} - \left( {{{90}^0} - \dfrac{\partial }{2}} \right) = \dfrac{\partial }{2}.\)

Câu 51 Trắc nghiệm

Tứ giác ABCD nội tiếp (O) . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Tiếp tuyến của đường tròn này tại I cắt AD và BC lần lượt M và N. Chọn câu sai:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI ta có:

\(\widehat {BAI}\) là góc nội tiếp chắn cung BI.

\(\widehat {BIN}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BI.

\( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {BIN}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BI).

Xét đường tròn (O) ta có:

\(\widehat {BDC} = \widehat {BAC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC).

\( \Rightarrow \widehat {BIN} = \widehat {BDC}\left( { = \widehat {BAC}} \right)\)

Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị

\( \Rightarrow IN//CD\;\;hay\;\;MN//CD\;\;\left( {dpcm} \right).\)

\( \Rightarrow \) đáp án A đúng.

Do MN//CD nên \(\widehat {MNC} + \widehat {NCD} = {180^0}\)(trong cùng phía)

Mà do tứ giác ABCD nội tiếp nên \(\widehat {MAB} + \widehat {NCD} = {180^0}\)

=> \(\widehat {MNC} = \widehat {NAB}\)

=> Tứ giác ABNM nội tiếp (góc trong bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)

\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

+) Ta có: \(IN//CD\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \) INCD là hình thang \( \Rightarrow \) đáp án D đúng.

Câu 52 Trắc nghiệm

Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) bán kính bằng \(a.\) Biết rằng \(AC \bot BD.\) Khi đó để \(AB + CD\) đạt giá trị lớn nhất thì

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Vẽ  đường kính \(CE\) của đường tròn \(\left( O \right).\)

Ta có \(\widehat {EAC} = {90^0},\,\widehat {EDC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn đường kính \(EC\) ).

Từ đó ta có \(AE \bot AC.\) Mặt khác theo giả thiết \(AC \bot BD.\)

Kéo theo \(AE//BD.\) Vậy \(AEDB\) là hình thang.

Do hình thang \(AEDB\) nội tiếp \(\left( O \right)\) nên nói phải là hình thang cân.

Kéo theo \(AB = DE\) (các cạnh bên hình thang cân).

Từ đó ta có \(A{B^2} + C{D^2} = D{E^2} + D{C^2} = E{C^2} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\) (do \(\Delta EDC\) vuông tại \(D).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\left( {A{B^2},B{D^2}} \right)\) ta có $A{B^2} + B{D^2} \ge 2AB.CD $$\Rightarrow 2\left( {A{B^2} + B{D^2}} \right) \ge A{B^2} + B{D^2} + 2AB.CD $$= {\left( {AB + CD} \right)^2}.$

Kéo theo \({\left( {AB + CD} \right)^2} \le 2\left( {4{a^2}} \right) = 8{a^2}\)\( \Rightarrow AB + CD \le 2\sqrt 2 a.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(AB = CD.\)

Xét tam giác \(\Delta ABI,\,\,\Delta DCI\) có \(AB = CD,\) \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD),\) \(\widehat {BAC} = \widehat {DCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC).\)

Do đó \(\Delta ABI = \Delta DCI\left( {g.c.g}. \right)\) Kéo theo \(AI = ID,\,IB = IC.\) Suy ra \(AC = AI + IC = ID + IB = BD.\)

Câu 53 Trắc nghiệm

Cho tam giác \(ABC\) không cân, nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\,\,BD\) là đường phân giác của góc \(\widehat {ABC}.\) Đường thẳng \(BD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(E.\) Đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) đường kính \(DE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(F.\) Khi đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(BF\) qua đường thẳng \(BD\) cắt \(AC\) tại \(N\) thì:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC.\) Do \(E\) là điểm chính giữa cung \(AC\) nên \(EM \bot AC.\)

Do đó \(EM\) đi qua tâm của đường tròn \(\left( O \right).\) Giả sử rằng \(G = DF \cap \left( O \right).\) Do \(\widehat {DFE} = {90^0},\) nên

\(\widehat {GFE} = {90^0},\) hay \(GE\) là đường kính của \(\left( O \right).\) Suy ra \(G,M,E\) thẳng hàng.

Vì vậy \(\widehat {GBE} = {90^0},\) mà \(\widehat {GMD} = {90^0}.\)

Kéo theo tứ giác \(BDMG\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(GD.\)

Vì vậy \(\widehat {MBD} = \widehat {DGM} = \widehat {FGE}\,\,\left( 1 \right)\) (cùng chắn cung \(DM)\)

 Lại có tứ giác \(BFEG\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {FBE} = \widehat {FGE}\,\,\left( 2 \right)\,\) ( cùng chắn cung \(FE\) ).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra \(\widehat {MBD} = \widehat {FBE}.\) Do đó \(BF\) và \(BM\) đối xứng nhau qua \(BD.\)

Vì vậy \(M \equiv N\) hay \(N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AN = NC.\)

Câu 54 Trắc nghiệm

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Vẽ đường tròn tâm \(C\), bán kính \(CA\). Từ điểm \(B\) kẻ tiếp tuyến \(BM\) với đường tròn \(\left( {C;CA} \right)\) (\(M\) là tiếp điểm, \(M\) và \(A\) nằm khác phía nhau đối với đường thẳng \(BC\)).

Chọn khẳng định đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\angle BAC = {90^0}\)

\(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {C;CA} \right)\) nên \(\angle CMB = {90^0}\) (định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn)

Xét tứ giác \(ACMB\) ta có: \(\angle CAB + \angle CMB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow ACMB\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)).

Hay bốn điểm \(A,C,M\) và \(B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Câu 55 Trắc nghiệm

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Vẽ đường tròn tâm \(C\), bán kính \(CA\). Từ điểm \(B\) kẻ tiếp tuyến \(BM\) với đường tròn \(\left( {C;CA} \right)\) (\(M\) là tiếp điểm, \(M\) và \(A\) nằm khác phía nhau đối với đường thẳng \(BC\)).

Lấy điểm \(N\) thuộc đoạn thẳng \(AB\)( \(N\) khác \(A\), \(N\) khác \(B\)). Lấy điểm \(P\) thuộc tia đối của \(MB\) sao cho \(MP = AN\). Tam tam giác \(CPN\) là tam giác gì? Đường thẳng \(AM\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng nào?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Xét tam giác \(CAN\) và tam giác \(CMP\) có:

\(AN = MP\,\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\(\angle CAN = \angle CMP = {90^0}\)

\(AC = CM\)(\(A,M\) cùng thuộc đường tròn \(\left( {C;\,\,CA} \right)\))

\( \Rightarrow \Delta CAN = \Delta CMP\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow CN = CP\)(2 cạnh tương ứng bằng nhau).

\( \Rightarrow \Delta CNP\) cân tại \(C\).

Gọi \(E\) là giao điểm của \(AM\) và \(PN\).

Vì \(\Delta CAN = \Delta CMP\,\,\,\left( {cmt} \right)\) nên:

\(\angle ACN = \angle MCP\)(2 góc tương ứng bằng nhau)

\( \Rightarrow \angle ACM = \angle ACN + \angle NCM\) \( = \angle PCM + \angle MCN = \angle NCP\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta ACM\) và \(\Delta CNP\) là hai tam giác cân đỉnh \(C\) có \(\angle ACM = \angle PCN\)

\( \Rightarrow \angle CNP = \angle CAM\) (các góc ở đáy của các tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau)

Hay \(\angle CAE = \angle CNE\)

\( \Rightarrow CANE\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh kề 1 cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle CEN = {90^0} \Rightarrow CE \bot PN\)

Mà \(\Delta CNP\) cân tại \(C\) (cmt)

\( \Rightarrow CE\) là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta CNP\)

\( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(PN\)

Vậy đường thẳng \(AM\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(NP\).