Bài tập va chạm con lắc lò xo

Ta có:

\(\left\{ \begin{gathered}
\omega = \frac{{2\pi }}{T} = 1(ra{\text{d}}/s) \hfill \\
{A_0} = \frac{{{a_{{\text{max}}}}}}{{{\omega ^2}}} = \frac{2}{1} = 2cm \hfill \\
V = \frac{{2m{v_0}}}{{m + M}} = \frac{{2.m.3\sqrt 3 }}{{m + 2m}} = 2\sqrt 3 (cm/s) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_0} = - {A_0} \hfill \\
A = \sqrt {x_0^2 + \frac{{{V^2}}}{{{\omega ^2}}}} = \sqrt {{2^2} + \frac{{{{(2\sqrt 3 )}^2}}}{{{1^2}}}} = 4cm \hfill \\
\end{gathered} \right. \to S = A + {A_0} = 6(cm)\)

Cách 1:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  \pm {A_1},{v_0} = \omega {A_1}\\V = \frac{{2m{v_0}}}{{m + M}} = \omega {A_1}\end{array} \right. \to {A_2} = \sqrt {x_0^2 + \frac{{{V^2}}}{{{\omega ^2}}}}  = {A_1}\sqrt 2  \to \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Cách 2: Va chạm tuyệt đối đàn hồi và vì m=M nên m truyền toàn bộ động năng cho M

\(\frac{1}{2}kA_2^2 = \frac{1}{2}kA_1^2 + \frac{1}{2}mv_0^2 \to \frac{1}{2}kA_2^2 = \frac{1}{2}kA_1^2 + \frac{1}{2}kA_1^2 \to A_2^2 = 2A_1^2 \to \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Động năng bằng thế năng

=> \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{A}{{\sqrt 2 }}\\v = \frac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\omega A}}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Tại đây, m’ va chạm mềm với vật m.

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang:

\(mv = (m + m')v' \to v' = \frac{{mv}}{{m + m'}} = \frac{v}{2} = \frac{{\omega A}}{{2\sqrt 2 }}\)

Tần số góc của hệ hai vật:

\(\omega ' = \sqrt {\frac{k}{{m + m'}}}  = \sqrt {\frac{k}{{2m}}}  = \frac{\omega }{{\sqrt 2 }}\)

Biên độ của hệ hai vật được tính từ hệ thức độc lập:

\(A' = \sqrt {{x^2} + \frac{{v{'^2}}}{{\omega {'^2}}}}  = \sqrt {\frac{{{A^2}}}{2} + \frac{{{A^2}}}{4}}  = \frac{{A\sqrt 3 }}{2}\)

Tốc độ của m ngay trước va chạm:

\({v_0} = \sqrt {2gh}  = \sqrt {2.10.1,8}  = 6(m/s)\)

Tốc độ của M ngay sau va chạm:

\(V = \frac{{2m{v_0}}}{{m + M}} = \frac{{2.0,4.6}}{{0,4 + 2}} = 2(m/s)\)

Biên độ dao động:

\(A = \frac{V}{\omega } = \frac{V}{{\sqrt {\frac{k}{M}} }} = 0,1m\)

Giai đoạn 1: Cả hai vật cùng dao động với biên độ A, tần số góc \(\omega  = \sqrt {\frac{k}{{{m_1} + {m_2}}}} \) và tốc độ cực đại v₀=ωA.

Giai đoạn 2: Đến VTCB m₂ tách ra khỏi m₁ thì:

+ m₁ dao động điều hòa với tần số góc \(\omega ' = \sqrt {\frac{k}{{{m_1}}}} \) và biên độ \(A' = \frac{{{v_0}}}{{\omega '}} = A\sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \) (vì tốc độ cực đại không đổi vẫn là v₀)

+ m₂ chuyển động thẳng đều với vận tốc v₀ và khi đến vị trí biên dương (lần 1) thì m₂ đi được quãng đường là: \(S = {v_0}\frac{{T'}}{4} = \frac{1}{2}\pi A\sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \)

Lúc này, khoảng cách hai vật:

\(\Delta x = S - A' = \frac{{\pi A}}{2}\sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}}  - A\sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}}  \approx 3,2cm\)

Ngay sau va chạm, vận tốc của m và M lần lượt là v và V:

\(\left\{ \begin{array}{l}V = \dfrac{{2m{v_0}}}{{m + M}} = 0,4m/s = 40cm/s\\v = \dfrac{{m - M}}{{m + M}}{v_0} =  - 0,6m/s =  - 60cm/s\end{array} \right.\)         

M dao động điều hòa với tốc độ cực đại V và biên độ:

\(A = \dfrac{{{l_{{\rm{max}}}} - {l_{\min }}}}{2} = 4cm\) nên

\(\omega  = \dfrac{V}{A} = 10{\rm{r}}a{\rm{d}}/s \to T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{\pi }{5}s\)

$t=1,57s = 2,5T$

• M ở VTCB
• m đi được quãng đường: $S=vt=60.1,57=94,2cm$

=> Khoảng cách hai vật : $94,2 cm$

Ta có:

\(\omega  = \sqrt {\frac{k}{{m + M}}}  = 10(ra{\rm{d}}/s);T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{\pi }{5}s\)

\(V = \frac{{m{v_0}}}{{m + M}} = 1(m/s) \to A = \frac{V}{\omega } = 0,1m = 10cm\)

Trong 1 chu kì: lò xo có 4 lần có độ biến dạng bằng 5 cm.

Bốn thời điểm đầu tiên độ biến dạng của lò xo bằng 5cm là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \frac{T}{{12}}\\{t_2} = \frac{T}{4} + \frac{T}{6} = \frac{{5T}}{{12}}\\{t_3} = \frac{T}{2} + \frac{T}{{12}} = \frac{{7T}}{{12}}\\{t_4} = \frac{{3T}}{4} + \frac{T}{6} = \frac{{11T}}{{12}}\end{array} \right.\)

Nhận thấy:

\(\left\{ \begin{array}{l}2013 = 503.4 + 1\\2015 = 503.4 + 3\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{t_{2013}} = 503T + {t_1} = \frac{{6037T}}{{12}} = 316,10{\rm{s}}\\{t_{2015}} = 503T + {t_3} = \frac{{6043T}}{{12}} = 316,41{\rm{s}}\end{array} \right.\)

Tốc độ của m ngay trước va chạm: \({v_0} = \sqrt {2gh}  = \sqrt {2.10.0,45}  = 3(m/s)\)

Tốc độ của M ngay sau va chạm: \(V = \frac{{2m{v_0}}}{{m + M}} = \frac{{2.0,1.3}}{{0,1 + 0,2}} = 2(m/s)\)

Biên độ dao động :  \(A = \frac{V}{\omega } = \frac{V}{{\sqrt {\frac{k}{M}} }} = 0,2m\)

Muốn đế không bị nhấc lên thì lực kéo cực đại của lò xo  (khi vật ở vị trí cao nhất lò xo bị dãn cực đại A-∆l₀) không lớn hơn trọng lượng của đế:

- Tại vị trí cân bằng:

Khi vật có khối lượng M thì lò xo dãn:

\(\Delta {l_1} = \frac{{Mg}}{k} = 1cm\)

Khi gắn thêm vật m thì lò xo dãn:

\(\Delta {l_1} = \frac{{(M + m)g}}{k} = 4cm\)

- Khi vật M biên dưới gắn thêm vật m:

Biên độ dao động của hệ vật là: A₂=A₁+∆l₁-∆l₂ =1cm

Tần số góc dao động của hệ:

\(\omega ' = \sqrt {\frac{k}{{M + m}}}  = \sqrt {\frac{{100}}{{0,1 + 0,3}}}  = 5\pi (ra{\rm{d}}/s)\)

=> Vận tốc dao động cực đại của hệ: \({v_{{\rm{max}}}} = \omega '{A_2} = 5\pi .1 = 5\pi (cm/s)\)

Đẩy chậm lò xo nén lại \(8cm\) rồi thả nhẹ ra => \(A = 8cm\)

Ta có:

+ Tần số góc của hệ hai vật: \(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{{{m_1} + {m_2}}}}  = \sqrt {\dfrac{{200}}{{0,125 + 0,375}}}  = 20\left( {rad/s} \right)\)

+ Tại VTCB vận tốc của hệ có giá trị là \({v_{max}} = A\omega  = 160cm/s\) ngay sau đó vận tốc giảm dần nên vật \({m_2}\) tách ra và chuyển động thẳng đều với \(v = {v_{max}}\)

+ Khi \({m_2}\) tách ra, \({m_1}\) dao động với tần số góc \(\omega ' = \sqrt {\dfrac{k}{{{m_1}}}}  = \sqrt {\dfrac{{200}}{{0,125}}}  = 40\left( {rad/s} \right)\) và chu kì \(T' = \dfrac{{2\pi }}{{\omega '}} = \dfrac{{2\pi }}{{40}} = \dfrac{\pi }{{20}}s\)

+ Thời gian từ lúc hai vật tách ra đến khi lò xo có độ dãn cực đại là thời gian vật \({m_1}\) đi từ VTCB ra biên mới nên mất \(\dfrac{{T'}}{4}\)

Quãng đường \({m_2}\) đi được trong thời gian \(\dfrac{{T'}}{4}\)  là: \({S_2} = {v_{{\rm{max}}}}\dfrac{{T'}}{4} = 160.\dfrac{{\dfrac{\pi }{{20}}}}{4} = 2\pi cm\)

Khi \({m_2}\) tách ra thì \({m_1}\) dao động điều hòa với vận tốc cũ nhưng tần số góc thay đổi. Do đó, nó dao động với biên độ: \(A' = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{{\omega '}} = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{{\sqrt {\dfrac{k}{{{m_1}}}} }} = 0,04m = 4cm\)

Quãng đường \({m_1}\) đi được trong thời gian \(\dfrac{{T'}}{4}\) là \({S_1} = A' = 4cm\)

Vậy khoảng cách giữa 2 vật khi lò xo dãn cực đại lần đầu tiên là: \(\Delta S = {S_2} - {S_1} = 2\pi  - 4cm\)

Tại vị trí cân bằng:

Khi chỉ có vật A thì lò xo dãn:

\(\Delta {l_1} = \dfrac{{{m_A}g}}{k} = 10cm\)

Khi treo đồng A và B thì lò xo dãn:

\(\Delta {l_2} = \dfrac{{({m_A} + {m_B})g}}{k} = 20cm\)

Khi hệ vật đang ở VTCB, dây đứt, vật A dao động điều hòa với biên độ A=∆l₂-∆l₁ = 10 cm.

Chu kỳ con lắc lò xo khi gắn vật A là:

\(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{{\Delta {l_1}}}{g}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{0,1}}{{10}}}  = \dfrac{\pi }{5}s\)

Thời gian vật A đi từ vị trí đốt dây (biên dưới) đến vị trí cao nhất lần đầu tiên (biên trên ) hết \(t = \dfrac{T}{2} = \dfrac{\pi }{{10}}s\) khi đó, vị trí của vật A là : x_A = -A = -10 cm

Sau khi đót dây nối hai vật, vật B rơi tự do từ B cách O₁:

O₁B = BO₂ + O₁O₂ = l_d+A= 20cm

Tọa độ của B:

\({x_B} = {\rm{ }}{O_1}B{\rm{ }} + {\rm{ }}\dfrac{{g{t^2}}}{2} = 0,2 + \dfrac{{10.{{\left( {\dfrac{\pi }{{10}}} \right)}^2}}}{2} = 0,7m = 70cm\)

Vậy khoảng cách giữa hai vật lúc này là: \(\Delta x = {x_B} - {x_A} = 70 - ( - 10) = 80cm\)

Tần số góc: \(\omega  = \sqrt {\frac{k}{m}}  = \sqrt {\frac{{100}}{{0,25}}}  = 20rad/s\)

Độ biến dạng của lò xo tại VTCB: \(\Delta l = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,25.10}}{{100}} = 2,5cm\)

Từ VTCB kéo vật xuống dưới 1 đoạn sao cho lò xo dãn 7,5cm rồi thả nhẹ

\( \Rightarrow \Delta l + A = 7,5cm \Rightarrow A = 7,5 - 2,5 = 5cm\)

Vị trí lò xo không biến dạng có \(\left| x \right| = 2,5cm\)

\( \Rightarrow \) Tốc độ của vât khi nó đi qua vị trí lò xo không biến dạng là:

\(v = \omega \sqrt {{A^2} - {x^2}}  = 20\sqrt {{5^2} - 2,{5^2}}  = 86,6cm/s\)