Bài tập mạch xoay chiều RLC - Phương pháp giản đồ

Ta có: $u_{MB}$ và $u_{AM}$ lệch pha nhau $\dfrac{\pi }{3}$

=> cuộn cảm không thuần cảm, có điện trở trong $r$

Vẽ lại mạch điện và vẽ giản đồ véc tơ, ta có:

$\angle BAM = \dfrac{\pi }{6};\angle AMB = \pi - \angle BMI = \pi - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{2\pi }}{3} \to \angle ABM = \pi - \left( {\angle BAM + \angle AMB} \right) = \dfrac{\pi }{6}$

$\dfrac{{{U_R}}}{{\sin \angle ABM}} = \dfrac{{{U_{AB}}}}{{\sin \angle AMB}} \leftrightarrow \dfrac{{{U_R}}}{{\sin \dfrac{\pi }{6}}} = \dfrac{{{U_{AB}}}}{{\sin \dfrac{{2\pi }}{3}}} \to {U_R} = \dfrac{{{U_{AB}}}}{{\sin \dfrac{{2\pi }}{3}}}\sin \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{240}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}\dfrac{1}{2} = \dfrac{{240}}{{\sqrt 3 }} = 80\sqrt 3 V$

Cách 1: Phương pháp đại số:

Do U_AM = U_MB => Z_C = Z_RL

Ta có:

${\rm{cos}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{R}{{{Z_{MB}}}} = \dfrac{R}{{{Z_C}}}$

$\begin{array}{l}tan{\varphi _{AB}} = \tan \dfrac{\pi }{{12}} = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \dfrac{{{Z_L}}}{R} - \dfrac{{{Z_C}}}{R} \\= \tan \varphi  - \dfrac{1}{{{\rm{cos}}\varphi }} = \dfrac{{\sin \varphi  - 1}}{{{\rm{cos}}\varphi }} \\=  - \dfrac{{{\rm{cos}}\dfrac{\varphi }{2} - \sin \dfrac{\varphi }{2}}}{{{\rm{cos}}\dfrac{\varphi }{2} + \sin \dfrac{\varphi }{2}}}\\ \to \sin \dfrac{\varphi }{2}\left( {1 + \tan \dfrac{\pi }{{12}}} \right) = {\rm{cos}}\dfrac{\varphi }{2}\left( {1 - \tan \dfrac{\pi }{{12}}} \right) \\\to \tan \dfrac{\varphi }{2} = \dfrac{{\left( {1 - \tan \dfrac{\pi }{{12}}} \right)}}{{\left( {1 + \tan \dfrac{\pi }{{12}}} \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \\\to \dfrac{\varphi }{2} = {30^0} \\\to \varphi  = {60^0}\\ \to c{\rm{os}}\varphi {\rm{ = 0}}{\rm{,5}}\end{array}$

Cách 2: Sử dụng giản đồ véctơ

Ta có:

$\angle O{U_{AB}}{U_{MB}} = \pi  - \left( {\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{{5\pi }}{{12}} = \angle {U_{MB}}O{U_{AB}}$ ( do tam giác OU_MBU_AB cân tại U_MB )

$\begin{array}{l} \to {\varphi _{MB}} = \angle {U_{MB}}O{U_R} = \dfrac{{5\pi }}{{12}} - \dfrac{\pi }{{12}} = \dfrac{\pi }{3}\\ \to c{\rm{os}}{\varphi _{MB}} = c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{3} = 0,5\end{array}$

Vẽ lại mạch điện và vẽ giản đồ véctơ, ta được:

Từ giản đồ véctơ, ta có:

$\dfrac{1}{{U_R^2}} = \dfrac{1}{{U_{AN}^2}} + \dfrac{1}{{U_{MB}^2}} = \dfrac{1}{{{{300}^2}}} + \dfrac{1}{{{{400}^2}}} \\\to {U_R} = 240V$

Vẽ lại mạch điện và vẽ giản đồ véctơ, ta được:

Từ giản đồ véctơ, xét tam giác vuông U_ANOU_MB , ta có:

đường cao trong tam giác vuông:

 $U_R^2 = {U_L}{U_C} = 150.\dfrac{{200}}{3} \to {U_R} = 100V$

Vẽ giản đồ véctơ, ta được:

Từ giản đồ véctơ, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \dfrac{{{U_r}}}{{{U_{MB}}}} = \dfrac{{{U_r}}}{U}\\{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\dfrac{{{U_{R + r}}}}{{{U_{AN}}}} = \dfrac{{{U_{R + r}}}}{{U\sqrt 3 }} = \dfrac{{3{U_r}}}{{U\sqrt 3 }}\end{array} \right. \to \tan \alpha  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \to \alpha  = {30^0}$

Vẽ lại mạch điện và vẽ giản đồ véctơ, ta được:

Ta có: U_AC = U_BD và góc U_BDOU_AC bằng 60⁰

 => Tam giác U_BDOU_AC là tam giác đều (do tam giác cân có 1 góc = 60⁰ là tam giác đều)

Từ giản đồ véctơ, ta có:

${U_L} = {U_C} = \dfrac{{{U_R}}}{{\sqrt 3 }}$

=> Mạch cộng hưởng

$\begin{array}{l}=  > {U_R} = U = 100\sqrt 3 V\\\Rightarrow {U_C} = \dfrac{{{U_R}}}{{\sqrt 3 }} = 100V\\\to {Z_C} = \dfrac{{{U_C}}}{I} = 100\Omega\end{array}$ 

Theo đầu bài, ta có:

$\begin{array}{l}{R^2} = \dfrac{L}{C} = \omega L\dfrac{1}{{\omega C}} = {Z_L}{Z_C}\\ \to \dfrac{{{Z_L}}}{R}\dfrac{{\left( { - {Z_L}} \right)}}{R} =  - 1\\ \to \tan {\varphi _{RL}}\tan {\varphi _{RC}} =  - 1\\ \Rightarrow {u_{RL}} \bot {u_{RC}}\end{array}$

Vẽ giản đồ véctơ, ta được:

Từ giản đồ véctơ, ta có:

$\begin{array}{l}\tan \alpha  = \dfrac{{{U_{RC}}}}{{{U_{RL}}}} = \dfrac{a}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \to \alpha  = {30^0}\\\left\{ \begin{array}{l}{U_R} = ac{\rm{os}}\alpha  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\{U_C}{\rm{ =  asin}}\alpha  = \dfrac{a}{2}\\{U_L} = a\sqrt 3 {\rm{cos}}\alpha  = \dfrac{{3a}}{2}\end{array} \right. \\\to c{\rm{os}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{{{U_R}}}{U} = \dfrac{{{U_R}}}{{\sqrt {{U_R}^2 + {{\left( {{U_L} - {U_C}} \right)}^2}} }} = \sqrt {\dfrac{3}{7}} \end{array}$

Vẽ lại mạch điện và vẽ giản đồ véctơ, ta được:

Từ giản đồ véctơ, ta có:

$\begin{array}{l}N{E^2} = M{N^2} - M{E^2} = 625 - {x^2}\\ \to EB = 60 - \sqrt {625 - {x^2}} \\A{B^2} = A{E^2} + E{B^2} \leftrightarrow {\left( {40\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( {25 + x} \right)^2} + {\left( {60 - \sqrt {625 - {x^2}} } \right)^2}\\ \to ... \to 120\sqrt {625 - {x^2}}  = 1650 + 50{\rm{x}}\\ \to {\rm{12}}\sqrt {625 - {x^2}}  = 165 + 5{\rm{x}}\\ \to {\rm{144}}\left( {625 - {x^2}} \right) = {\left( {165 + 5{\rm{x}}} \right)^2}\\ \to \left[ \begin{array}{l}x = 15\\x =  - 24,76\end{array} \right.\\ \to x = 15 \Rightarrow AE = 40{\rm{W}}\\P = UIc{\rm{os}}\varphi {\rm{ = I}}{\rm{.AE}} \\\to I = \dfrac{P}{{AE}} = 1A\\ \to r = \dfrac{{{U_r}}}{I} = 15\Omega \end{array}$

Vẽ lại mạch điện và giản đồ véctơ, ta được:

Từ giản đồ, ta có: M vừa là trọng tâm vừa là trực tâm => Tam giác AMB là tam giác đều

=> U_C = U_AN = 200V

$I = \frac{{{U_C}}}{{{Z_C}}} = 1A$

và i sớm pha hơn u_AB một góc $\dfrac{\pi }{6}$

$\to i = \sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{3}} \right)A$

Vẽ lại mạch điện và vẽ giản đồ véctơ, ta được:

Từ giản đồ véctơ, ta có:

$\begin{array}{l}{U_R} = 40\sqrt 3 \sin {30^0} = 20\sqrt 3 V\\{U_{R + r}} = 60\sin {60^0} = 30\sqrt 3 V \\\to {U_r} = 10\sqrt 3 V\\ \to r = \dfrac{{{U_r}}}{I} = 10\Omega \end{array}$

Ta có giản đồ véctơ:

Từ giản đồ véctơ, ta có:

$\begin{array}{l}N{E^2} = A{{\rm{E}}^2} + A{N^2} - 2{\rm{A}}N.A{\rm{Ecos98}}{\rm{,1}}{{\rm{3}}^0} \to NE = 280V\\\dfrac{{AN}}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{NE}}{{\sin {{98,13}^0}}} \to \sin \alpha  = 0,6\\ \to {U_R} = MB{\rm{sin}}\alpha {\rm{ = 120V}}\end{array}$

Vẽ lại mạch điện và vẽ giản đồ véctơ, ta được:

Từ giản đồ véctơ, ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \dfrac{{{U_r}}}{{{U_{NB}}}} = \dfrac{{{U_r}}}{{30\sqrt 5 }}\\{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\dfrac{{{U_{R + r}}}}{{{U_{AM}}}} = \dfrac{{2{U_r}}}{{30\sqrt 5 }}\end{array} \right. \to \tan \alpha  = \dfrac{1}{2} \to c{\rm{os}}\alpha {\rm{ = }}\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\\ \to \left\{ \begin{array}{l}{U_{R + r}} = 30\sqrt 5 {\rm{cos}}\alpha  = {\rm{60V}}\\{U_{LC}} = 30\sqrt 5 {\rm{cos}}\alpha  = {\rm{60V}}\end{array} \right.\\ \to U = \sqrt {{U_{R + r}}^2 + {U_{LC}}^2}  = 60\sqrt 2 V\end{array}$