Cho mạch điện gồm R, L, C mắc nối tiếp. Cho \(R = 20\Omega ,{\rm{ }}C = 125{\rm{ }}(\mu F)\), L thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều \(u = 40cos(100t + \pi /2){\rm{ }}V\). Tăng L để cảm kháng tăng từ \(20\Omega \)đến \(60\Omega \), thì công suất tiêu thụ trên mạch:
Ta có:
Pmax khi \({Z_L} = {Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{{{100.125.10}^{ - 6}}}} = 80\Omega \)
Mặt khác: \(P = \frac{{{U^2}}}{{{Z^2}}}R = \dfrac{{{U^2}}}{{{R^2} + {{({Z_L} - {Z_C})}^2}}}R\)
Khi tăng L để cảm kháng tăng từ \(20\Omega \) đến \(60\Omega \)thì tổng trở của mạch giảm dần => P tăng (chưa đến Pmax)
=>Công suất tiêu thụ trên mạch tăng dần theo sự tăng của cảm kháng
Đặt điện áp \(u = 180\sqrt 2 {\rm{cos}}\omega {\rm{t (V)}}\) (với ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch AB gồm đoạn mạch AM nối tiếp đoạn mạch MB. Đoạn mạch AM có điện trở thuần R, đoạn mạch MB có cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Điện áp hiệu dụng ở hai đầu đoạn mạch AM và độ lớn góc lệch pha của cường độ dòng điện so với điện áp u khi L = L1 là U và φ1, còn khi L = L2 thì tương ứng là \(\sqrt 8 U\) và φ2. Biết \({\varphi _1} + {\varphi _2} = {90^0}\). Hệ số công suất của mạch khi L = L1 là
Ta có: Khi L = L1thì UAM1 = UR1 = U
Khi L = L2 thì
\({\varphi _1} + {\varphi _2} = \dfrac{\pi }{2} \to \tan {\varphi _1}\tan {\varphi _2} = - 1 \to \dfrac{{{Z_{L1}} - {Z_{C1}}}}{R}.\dfrac{{{Z_{L2}} - {Z_{C2}}}}{R} = - 1{\rm{ }}(1)\)
Mặt khác: ta có
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{U_{R1}}}}{{{U_{R2}}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 8 }} \to {I_2} = \sqrt 8 {I_1} \to {Z_1} = \sqrt 8 {Z_2}\\ \leftrightarrow \sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{L1}} - {Z_C}} \right)}^2}} = \sqrt 8 \sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{L2}} - {Z_C}} \right)}^2}} \\ \leftrightarrow {\left( {{Z_{L1}} - {Z_C}} \right)^2} - 7{R^2} - 8{\left( {{Z_{L2}} - {Z_C}} \right)^2} = 0{\rm{ (2)}}\end{array}\)
Chia cả hai vế của (2) cho \({\left( {{Z_{L2}} - {Z_C}} \right)^2}\) kết hợp với (1), Ta được: \(\dfrac{{{{\left( {{Z_{L1}} - {Z_C}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{Z_{L2}} - {Z_C}} \right)}^2}}} + 7\dfrac{{\left( {{Z_{L1}} - {Z_C}} \right)}}{{\left( {{Z_{L2}} - {Z_C}} \right)}} - 8 = 0{\rm{ }} \to \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{\left( {{Z_{L1}} - {Z_C}} \right)}}{{\left( {{Z_{L2}} - {Z_C}} \right)}} = 1(Loai)\\\dfrac{{\left( {{Z_{L1}} - {Z_C}} \right)}}{{\left( {{Z_{L2}} - {Z_C}} \right)}} = - 8\end{array} \right.\)
Với \(\frac{{\left( {{Z_{L1}} - {Z_C}} \right)}}{{\left( {{Z_{L2}} - {Z_C}} \right)}} = - 8 \to - \frac{{\left( {{Z_{L1}} - {Z_C}} \right)}}{8} = \left( {{Z_{L2}} - {Z_C}} \right)\)
Thay vào (1) =>\({\left( {{Z_{L1}} - {Z_C}} \right)^2} = 8{R^2}\)
Hệ số công suất của mạch khi L=L1: \({\rm{cos}}{\varphi _1} = \dfrac{R}{{{Z_1}}} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{L1}} - {Z_C}} \right)}^2}} }} \)=\(\dfrac{R}{{3R}} = 0,33\)
Cho đoạn mạch AB gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp; trong đó R và C không đổi, còn L thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều \(u = U\sqrt 2 {\rm{cos(}}\omega {\rm{t + }}{\varphi _u})\) (với \(U,\omega \) không đổi). Điều chỉnh L tới giá trị L1 thì hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại và bằng ULmax. Gọi UCmax là giá trị hiệu điện thế hiệu dụng cực đại ở hai đầu tụ điện. Cho biết \({U_{L\max }} = \sqrt 5 {U_{Rm{\rm{ax}}}}\) . Hệ thức nào sau đây là đúng?
- L biến thiên để URmax, UCmax<=> cộng hưởng điện
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}{U_{{R_{{\rm{max}}}}}} = U\\{U_{{C_{{\rm{max}}}}}} = \frac{U}{R}{Z_C}\end{array} \right.\)
- L biến thiên để ULmax
Khi đó: \({U_{{L_{{\rm{max}}}}}} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_C^2} }}{R}\)
Theo đề bài, ta có:
\(\begin{array}{l}{U_{{L_{{\rm{max}}}}}} = \sqrt 5 {U_{{R_{{\rm{max}}}}}} = \sqrt 5 U\\ \to \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_C^2} }}{R} = \sqrt 5 U \to \sqrt {{R^2} + Z_C^2} = \sqrt 5 R\\ \to Z_C^2 = 4{R^2} \to {Z_C} = 2R\end{array}\)
=> Tỉ số: \(\dfrac{{{U_{{C_{{\rm{max}}}}}}}}{{{U_{{L_{{\rm{max}}}}}}}} = \dfrac{{\dfrac{U}{R}{Z_C}}}{{\sqrt 5 U}} = \dfrac{{{Z_C}}}{{\sqrt 5 R}} = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 5 R}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)
Một mạch điện gồm điện trở thuần $R$, tụ điện $C$ và cuộn cảm thuần $L$ mắc nối tiếp, trong đó độ tự cảm $L$ có thể thay đổi được. Đặt vào mạch điện một điện áp xoay chiều thì điện áp hiệu dụng trên mỗi phần tử lần lượt là $U_R = 40V$, $U_C = 60V$, $U_L=90V$. Giữ nguyên điện áp, thay đổi độ tự cảm $L$ để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm là $60V$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở gần nhất với giá trị nào sau đây?
Ta có: $U_R = 40V$; $U_C=60 V$; $U_L= 90V$
=> \(1,5{U_R} = {\text{ }}{U_C} \to 1,5R = {Z_C}\)
\( \to U = \sqrt {U_R^2 + {{\left( {{U_L} - {U_C}} \right)}^2}} = \sqrt {{{40}^2} + {{\left( {90 - 60} \right)}^2}} = 50V\)
Thay đổi $L$ để \({U_L}' = {\text{ }}60V\)
Ta có: ${Z_C} = 1,5R \to {U_C}' = 1,5{U_R}'$, từ đó ta được:
\(\begin{array}{l}{50^2} = U{'}_R^2 + {\left( {{U_L}' - {U_C}'} \right)^2}\\ \leftrightarrow {50^2} = U{'}_R^2 + {\left( {60 - 1,5U{'_R}} \right)^2}\\ \to \left[ \begin{array}{l}{U_R}' = 48,39V\\{U_R}' = 6,99V\end{array} \right.\end{array}\)
Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm biến trở R, tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được. Ứng với mỗi giá trị của R, khi L = L1 thì trong đoạn mạch có cộng hưởng, khi L = L2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của ∆L = L2 – L1 theo R. Giá trị của C là
R = 100Ω thì ΔL = 5 (mH) = L2- L1
R = 200Ω thì ΔL = 20 (mH) = L2’- L1
Nên L2 – L2’ = 15.10-3 H
\({Z_L} = \dfrac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_C}}} \\ \Rightarrow {Z_{L2}} - {Z_{L2}}' = \omega {.15.10^{ - 3}} = \dfrac{{{{200}^2} + Z_C^2}}{{Z_C^{}}} - \dfrac{{{{100}^2} + Z_C^2}}{{Z_C^{}}}\)
\( \Rightarrow {15.10^{ - 3}}\omega = \dfrac{{{{200}^2} - {{100}^2}}}{{{Z_C}}} = \dfrac{{{{200}^2} - {{100}^2}}}{{\dfrac{1}{{\omega C}}}} \\\Rightarrow C = 0,5\mu F\)
Cho đoạn mạch RLC có L thay đổi được. Đặt vào 2 đầu đoạn mạch hiệu điện thế xoay chiều có tần số f. Khi \(L = {L_1} = \dfrac{2}{\pi }\,\,H\) hoặc \(L = {L_2} = \dfrac{3}{\pi }\,\,H\) thì hiệu điện thế trên cuộn dây thuần cảm này là như nhau. Muốn \({U_{L\max }}\) thì L phải bằng bao nhiêu?
Khi \(L = {L_1}\) và \(L = {L_2}\), điện áp hiệu dụng trên cuộn dây là như nhau, ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{U_{{L_1}}} = \dfrac{{U.{Z_{{L_1}}}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_C}} \right)}^2}} }}\\{U_{{L_2}}} = \dfrac{{U.{Z_{{L_2}}}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_C}} \right)}^2}} }}\end{array} \right.\\{U_{{L_1}}} = {U_{{L_2}}} \Rightarrow \dfrac{{U.{Z_{{L_1}}}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_C}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{U.{Z_{{L_2}}}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{{L_2}}} - {Z_C}} \right)}^2}} }}\\ \Rightarrow {Z_{{L_1}}}^2.\left[ {\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{{L_2}}} - {Z_C}} \right)}^2}} } \right] = {Z_{{L_2}}}^2.\left[ {{R^2} + {{\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_C}} \right)}^2}} \right]\\ \Rightarrow \left( {{R^2} + {Z_C}^2} \right).\left( {{Z_{{L_1}}}^2 - {Z_{{L_2}}}^2} \right) - 2{Z_C}{Z_{{L_1}}}{Z_{{L_2}}}.\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_{{L_2}}}} \right) = 0\end{array}\)
Do \({Z_{{L_1}}} \ne {Z_{{L_2}}} \Rightarrow {R^2} + {Z_C}^2 = \dfrac{{2{Z_C}{Z_{{L_1}}}{Z_{{L_2}}}}}{{{Z_{{L_1}}} + {Z_{{L_2}}}}}\)
Hiệu điện thế hiệu dụng trên cuộn dây đạt cực đại khi:
\(\begin{array}{l}{Z_L} = \dfrac{{{R^2} + {Z_C}^2}}{{{Z_C}}} = \dfrac{{\dfrac{{2{Z_C}{Z_{{L_1}}}{Z_{{L_2}}}}}{{{Z_{{L_1}}} + {Z_{{L_2}}}}}}}{{{Z_C}}} = \dfrac{{2{Z_{{L_1}}}{Z_{{L_2}}}}}{{{Z_{{L_1}}} + {Z_{{L_2}}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{Z_L}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{Z_{{L_1}}} + {Z_{{L_2}}}}}{{{Z_{{L_1}}}{Z_{{L_2}}}}} = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{1}{{{Z_{{L_1}}}}} + \dfrac{1}{{{Z_{{L_2}}}}}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\omega L}} = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{1}{{\omega {L_1}}} + \dfrac{1}{{\omega {L_2}}}} \right) \Rightarrow \dfrac{1}{L} = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{1}{{{L_1}}} + \dfrac{1}{{{L_2}}}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{L} = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{5\pi }}{{12}} \Rightarrow L = \dfrac{{12}}{{5\pi }} = \dfrac{{2,4}}{\pi }\,\,\left( H \right)\end{array}\)
Cho đoạn mạch không phân nhánh RLC có \(R = 30\sqrt 3 \,\,\Omega ;C = \dfrac{{{{5.10}^{ - 4}}}}{{3\pi }}\,\,F\), cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch là \(u = 100\sqrt 6 \cos \left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{3}} \right)\,\,\left( V \right)\). Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch RL cực đại, giá trị đó bằng
Dung kháng của tụ điện là: \({Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{100\pi .\dfrac{{{{5.10}^{ - 4}}}}{{3\pi }}}} = 60\,\,\left( \Omega \right)\)
Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu RL là:
\({U_{RL}} = \dfrac{{U.\sqrt {{R^2} + {Z_L}^2} }}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }} = \dfrac{U}{{\sqrt {1 + \dfrac{{{Z_C}^2 - 2{Z_L}{Z_C}}}{{{R^2} + {Z_L}^2}}} }}\)
Để \({U_{RL\max }} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{Z_C}^2 - 2{Z_L}{Z_C}}}{{{R^2} + {Z_L}^2}}} \right)_{\min }}\)
Đặt \({Z_L} = x;{f_{\left( x \right)}} = \dfrac{{{Z_C}^2 - 2{Z_C}.x}}{{{R^2} + {x^2}}} \Rightarrow f{'_{\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^2} - {Z_C}.x - {R^2}}}{{{{\left( {{R^2} + {x^2}} \right)}^2}}}\)
Ta có: \(f{'_{\left( x \right)}} = 0 \Rightarrow {x^2} - {Z_C}.x - {R^2} = 0 \Rightarrow x = {Z_L} = \dfrac{{{Z_C} \pm \sqrt {{Z_C}^2 - 4{R^2}} }}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {Z_L} = \dfrac{{60 + \sqrt {{{60}^2} + 4.{{\left( {30\sqrt 3 } \right)}^2}} }}{2} = 90\,\,\left( \Omega \right)\\ \Rightarrow {U_{RL}} = \dfrac{{100\sqrt 3 .\sqrt {{{\left( {30\sqrt 3 } \right)}^2} + {{90}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {30\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {90 - 60} \right)}^2}} }} = 300\,\,\left( V \right)\end{array}\)
Đặt điện áp xoay chiều \(u = 60\sqrt 2 \cos 100\pi t\,\,\left( V \right)\) (t tính bằng s) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở 30 Ω, tụ điện có điện dung \(\dfrac{{{{10}^{ - 3}}}}{{4\pi }}\,\,F\) và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được. Điều chỉnh L để cường độ hiệu dụng của dòng điện trong đoạn mạch đạt cực đại. Khi đó, điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm là
Dung kháng của tụ điện là: \({Z_C} = \dfrac{1}{{2\pi fC}} = \dfrac{1}{{2\pi .50.\dfrac{{{{10}^{ - 3}}}}{{4\pi }}}} = 40\,\,\left( \Omega \right)\)
Cường độ dòng điện trong mạch đạt cực đại khi có cộng hưởng:
\(\left\{ \begin{array}{l}{Z_L} = {Z_C} = 40\,\,\left( \Omega \right)\\{U_R} = U = 60\,\,\left( V \right)\end{array} \right.\)
Cường độ dòng điện trong mạch là:
\(I = \dfrac{{{U_R}}}{R} = \dfrac{{{U_L}}}{{{Z_L}}} \Rightarrow \dfrac{{60}}{{30}} = \dfrac{{{U_L}}}{{40}} \Rightarrow {U_L} = 80\,\,\left( V \right)\)
Đặt điện áp xoay chiều có tần số góc là \(\omega = 200rad/s\) vào hai đầu đoạn mạch chứa R, L nối tiếp, trong đó L thay đổi được. Khi \(L = {L_1} = \dfrac{1}{4}H\) và \(L = {L_2} = 1H\) thì độ lệch pha giữa điện áp tức thời hai đầu đoạn mạch và dòng điện trong mạch là \({\varphi _1}\) và \({\varphi _2}\). Biết \({\varphi _1} + {\varphi _2} = \dfrac{\pi }{2}\). Giá trị của R là
Ta có \({\varphi _1} + {\varphi _2} = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \tan {\varphi _1}.\tan {\varphi _2} = 1\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}\tan {\varphi _1} = \dfrac{{{Z_{L1}}}}{R}\\\tan {\varphi _2} = \dfrac{{{Z_{L2}}}}{R}\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}{Z_{L1}} = \omega {L_1} = 200.\dfrac{1}{4} = 50\Omega \\{Z_2} = \omega {L_2} = 200.1 = 200\Omega \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{Z_{L1}}}}{R}.\dfrac{{{Z_{L2}}}}{R} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{50}}{R}.\dfrac{{200}}{R} = 1\\ \Rightarrow R = 100\Omega \end{array}\)
