Bài tập mạch xoay chiều RLC - có L thay đổi

Ta có: ${U_R} = 10V,{\rm{ }}{U_C} = 20V,{\rm{ }}{U_L} = 44V$

$\begin{array}{l} \to \dfrac{{10}}{{20}}{U_R} = {U_C}\\ \to \dfrac{1}{2}R = {Z_C}\end{array}$

$\to U = \sqrt {U_R^2 + {{\left( {{U_L} - {U_C}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{10}^2} + {{\left( {44 - 20} \right)}^2}}  = 26V$

Thay đổi L để ${U_L}' = 20V$

${Z_C} = \dfrac{1}{2}R \to {U_C}' = \dfrac{1}{2}{U_R}'$

${26^2} = {{U'}_R}^2 + {\left( {U'}_L - {U'}_C \right)^2}$

$\begin{array}{l} \leftrightarrow {26^2} = {U'}_R^2 + {\left( {20 - \dfrac{1}{2}{U'}_R} \right)^2}\\ \to \left[ \begin{array}{l}{U'}_R = 24,9V\\{U'}_R =  - 8,87V\end{array} \right.\end{array}$

$L$ thay đổi để $U_L$ max, khi đó: ${Z_L} = \dfrac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_C}}}$

L thay đổi để U_L max, khi đó: ${U_{Lm{\rm{ax}}}} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_C^2} }}{R}$

L thay đổi để U_L max, khi đó: ${U_{Lm{\rm{ax}}}} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_C^2} }}{R}$

$\left\{ \begin{array}{l}{U_{RC}} \bot {U_{AB}}\\U_{L\max }^2 = {U^2} + U_{RC}^2 = {U^2} + U_R^2 + U_C^2\end{array} \right.$

Ta có: ${Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{100\pi .\dfrac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }}} = 100\Omega$

L biến thiên để U_L max khi đó: ${Z_L} = \dfrac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_C}}}$

$\to {Z_L} = \dfrac{{{{(100\sqrt 3 )}^2} + {{100}^2}}}{{100}} = 400\Omega$

Mặt khác: ${Z_L} = \omega L \to L = \dfrac{{{Z_L}}}{\omega } = \dfrac{{400}}{{100\pi }} = \dfrac{4}{\pi }(H)$

L biến thiên để U_L max khi đó: ${Z_L} = \frac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_C}}}$ và ${U_{Lm{\rm{ax}}}} = \frac{{U\sqrt {{R^2} + Z_C^2} }}{R}$

$\to {Z_L} = \frac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_C}}} = \frac{{{{(20\sqrt 3 )}^2} + {{60}^2}}}{{60}} = 80\Omega$

Mặt khác: ${Z_L} = \omega L \to L = \frac{{{Z_L}}}{\omega } = \frac{{80}}{{100\pi }} = \frac{{0,8}}{\pi }(H)$

${U_{Lm{\rm{ax}}}} = \frac{{U\sqrt {{R^2} + Z_C^2} }}{R} = \frac{{120\sqrt {{{(20\sqrt 3 )}^2} + {{60}^2}} }}{{20\sqrt 3 }} = 240(V)$

L biến thiên để U_L max, khi đó:

$\begin{array}{l}U_{L\max }^2 = {U^2} + U_{RC}^2 = {U^2} + U_{MB}^2 = {160^2} + {120^2}\\ \to {U_L} = 200(V)\end{array}$

Thay đổi L đến khi L=L₀ thì điện áp U_Cmax khi đó, xảy ra cộng hưởng điện

${Z_L} = {Z_C} \leftrightarrow \omega {L_0} = \dfrac{1}{{\omega C}} \to {L_0} = \dfrac{1}{{{\omega ^2}C}}$

Thay đổi L đến khi L=L₀ thì điện áp P_max khi đó, xảy ra cộng hưởng điện :${Z_L} = {Z_C}$

Công suất đạt giá trị cực đại: ${P_{{\rm{max}}}} = \dfrac{{{U^2}}}{R}$  

Thay đổi L đến khi L=L₀ thì điện áp U_Rmax khi đó, xảy ra cộng hưởng điện :${Z_L} = {Z_C}$

Hiệu điện thế trên điện trở bằng hiệu điện thế toàn mạch: ${U_{Rm{\rm{ax}}}} = U$

Ta có: L thay đổi để U_C max khi đó mạch cộng hưởng: ${Z_L} = {Z_C}$

Cường độ dòng điện trong mạch cực đại: $I = \dfrac{U}{R}$

=> Hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện: ${U_{Cm{\rm{ax}}}} = I{Z_C} = \dfrac{{U{Z_C}}}{R}$

L thay đổi để xảy ra cộng hưởng, khi đó: ${Z_L} = {Z_C}$

${Z_{\min }} = R$; ${P_{{\rm{max}}}} = {I^2}R = \dfrac{{{U^2}}}{R}$; ${I_{{\rm{max}}}} = \dfrac{U}{R}$

và u và i cùng pha

L thay đổi để I_max, khi đó: ${I_{{\rm{max}}}} = \dfrac{U}{R} = \dfrac{{\dfrac{{200}}{{\sqrt 2 }}}}{{100}} = \sqrt 2 (A)$

L thay đổi để U_Rmax, khi đó: ${I_{\rm{0}}} = \dfrac{{{U_0}}}{R} = \dfrac{{120}}{{60}} = 2(A)$

u và i lúc đó cùng pha:

=> Biểu thức cường độ dòng điện: $i = 2c{\rm{os(100t + }}\dfrac{\pi }{2})(A)$

Dung kháng: ${Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{{{100.125.10}^{ - 6}}}} = 80\Omega$

$\to {U_{0C}} = {I_0}{Z_C} = 2.80 = 160(V)$

Ta có: u_C trễ pha hơn i một góc $\dfrac{\pi }{2}$

$\to {u_C} = 160c{\rm{os(100t + }}\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{2}) = 160c{\rm{os100t(V)}}$

Khi $L = {L_1} = \dfrac{1}{\pi }H$thì cường độ dòng điện cực đại: khi đó: ${Z_{{L_1}}} = {Z_C}(1)$

Khi $L = 2{L_1} \to {Z_L} = 2{Z_{{L_1}}}$thì U_L max, khi đó ta có: ${Z_L} = \dfrac{{{R^2} + Z_C^2}}{Z_C} = 2{Z_{{L_1}}}(2)$

Từ (1) và (2), ta suy ra:

$\begin{array}{l}2{Z_{{L_1}}} = \dfrac{{{R^2} + {Z_{{L_1}}}^2}}{Z_C} \leftrightarrow 2{Z_{{L_1}}} = \dfrac{{{{100}^2} + {Z_{{L_1}}}^2}}{{Z_{{L_1}}}}\\ \to {Z_{{L_1}}} = 100\Omega \end{array}$

Mặt khác, ta có: ${Z_{{L_1}}} = \omega {L_1} \to \omega  = \dfrac{{{Z_{{L_1}}}}}{{{L_1}}} = \dfrac{{100}}{{\dfrac{1}{\pi }}} = 100\pi (ra{\rm{d}}/s)$

Thay đổi L để ${U_{L\max }} \to \left\{ \begin{array}{l}{Z_L} = \dfrac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_C}}}\\{U_{L\max }} = \dfrac{U}{R}\sqrt {{R^2} + Z_C^2} \end{array} \right.$

L thay đổi để U_RL max khi đó:

${U_{RL\max }} = \dfrac{{2{\rm{UR}}}}{{\sqrt {4{{\rm{R}}^2} + Z_C^2 }- {Z_C} }}$

L thay đổi để U_RL max khi đó: ${Z_L} = \dfrac{{{Z_C}}}{2} = \dfrac{R}{2} = \dfrac{{50}}{2} = 25\Omega$

Mặt khác: ${Z_L} = \omega L \\\to L = \dfrac{{{Z_L}}}{\omega } = \dfrac{{25}}{{2\pi .50}} = \dfrac{1}{{4\pi }}(H)$

L thay đổi có hai giá trị cho cùng một điện áp, khi đó: $\dfrac{1}{{{L_{{\rm{max}}}}}} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{{{L_1}}} + \dfrac{1}{{{L_2}}})$

L thay đổi có hai giá trị của L cho cùng công suất, khi đó:

${Z_{L1}} + {Z_{L2}} = 2{Z_C} \leftrightarrow {U_{{L_1}}} + {U_{{L_2}}} = 2{U_C}$