Phương trình quy về phương trình bậc hai

Đặt ${x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình $2{t^2} - 9t + 7 = 0$ (*)

Nhận thấy $a + b + c = 2 + \left( { - 9} \right) + 7 = 0$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} = 1\,\,\left( N \right);{t_2} = \dfrac{7}{2}\left( N \right)$

Thay lại cách đặt ta có

Với $t = 1 \Rightarrow$ ${x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1$

Với $t = \dfrac{7}{2} \Rightarrow {x^2} = \dfrac{7}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}$

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Đặt ${\left( {2x + 1} \right)^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 8t - 9 = 0$ (*)

Ta có  $a - b + c = 1 - \left( { - 8} \right) + \left( { - 9} \right) = 0$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} = 9\left( {tm} \right);{t_2} = -1\left( {ktm} \right)$

Thay lại cách đặt ta có ${\left( {2x + 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 3\\2x + 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.$

Suy ra tổng các nghiệm là $1 + \left( { - 2} \right) =  - 1$.

$\dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x - 4}} = 0$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 1\\x \ne 4\end{array} \right.$

PT $\Leftrightarrow \dfrac{{(x + 1)(x - 4)}}{{(x - 1)(x + 1)(x - 4)}} + \dfrac{{(x - 1)(x - 4)}}{{(x - 1)(x + 1)(x - 4)}} + \dfrac{{(x - 1)(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)(x - 4)}} = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x + 1)(x - 4) + (x - 1)(x - 4) + (x - 1)(x + 1) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 + {x^2} - 5x + 4 + {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 8x - 1 = 0\\\Delta ' = {4^2} - 3.( - 1) = 19 > 0\end{array}$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:  $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{4 + \sqrt {19} }}{3}\,\,\,\,\,(tm)\\{x_2} = \dfrac{{4 - \sqrt {19} }}{3}\,\,\,\,\,(tm)\end{array} \right.$

Điều kiện: $x \ne 2;x \ne  - 2;x \ne 0$

Ta có $\left( {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}} - \dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}} + 1} \right) = \dfrac{2}{{3x}}$$\Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {2 + x} \right)}^2} - {{\left( {2 - x} \right)}^2}}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}:\dfrac{{2 + x + 2 - x}}{{2 - x}} = \dfrac{2}{{3x}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{8x}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}.\dfrac{{2 - x}}{4} = \dfrac{2}{{3x}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{2 + x}} = \dfrac{2}{{3x}}$$\Rightarrow 6{x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - x - 2 = 0$

Phương trình này có $a + b + c = 3 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0$ nên có hai nghiệm phân biệt $x = 1;x = \dfrac{{ - 2}}{3}\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 1;x =  - \dfrac{2}{3}.$

Ta có ${(2{{\rm{x}}^2} - 3)^2} = 4{(x - 1)^2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} - 3 = 2\left( {x - 1} \right)\\2{x^2} - 3 =  - 2\left( {x - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} - 2x - 1 = 0\\2{x^2} + 2x - 5 = 0\end{array} \right.$

Phương trình $2{x^2} - 2x - 1 = 0$ có $\Delta ' = 3 > 0$ nên có hai nghiệm $x = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2};x = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}$

Phương trình $2{x^2} + 2x - 5 = 0$ có ${\Delta _1}^\prime  = 11 > 0$ nên có hai nghiệm $x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{2};x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {11} }}{2}$

Nên tổng các nghiệm của phương trình đã cho là $\dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{2} + \dfrac{{ - 1 - \sqrt {11} }}{2} = 0$

Ta có ${x^3} + 3{{\rm{x}}^2} + x + 3 = 0$$\Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} =  - 1\left( L \right)\\x =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow x =  - 3$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x =  - 3$.

Ta có $(x + 1)(x + 4)({x^2} + 5x + 6) = 48$$\Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = 48$

Đặt ${x^2} + 5x + 5 = t$ , thu được phương trình $\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 8 \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 48 \Leftrightarrow {t^2} = 49 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 7\\t =  - 7\end{array} \right.$

+) Với $t = 7 \Rightarrow {x^2} + 5x + 5 = 7 \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 2 = 0$ , có $\Delta  = 33 \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{2}$

+) Với $t =  - 7 \Rightarrow {x^2} + 5x + 5 =  - 7 \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 12 = 0$ có $\Delta  =  - 23 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{2}$

Suy ra tổng các nghiệm là $\dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{2} + \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{2} =  - 5$

Điều kiện: $x > \dfrac{1}{4}$

Đặt $\dfrac{{2x}}{{\sqrt {4x - 1} }} = t\left( {t \ge 0} \right)$, khi đó phương trình đã cho trở thành $t + \dfrac{1}{t} = 2 \Rightarrow {t^2} + t - 2 = 0$ (*)

Ta có $a + b + c = 1 + 1 + \left( { - 2} \right) = 0$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} = 1\left( {tm} \right);{t_2} =  - 2\left( {ktm} \right)$

+) Với $t = 1$ suy ra $\dfrac{{2x}}{{\sqrt {4x - 1} }} = 1 \Rightarrow 2x = \sqrt {4x - 1}  \Rightarrow 4{x^2} = 4x - 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\left( {tm} \right)$

Vậy phương trình đã cho có  nghiệm $x = \dfrac{1}{2}.$

Điều kiện: $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

Ta có $5\left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1}  = {x^2} + 7x + 10$$\Leftrightarrow 5\left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1}  = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right)$$\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right) - 5\left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1}  = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left[ {\left( {x + 5} \right) - 5\sqrt {x - 1} } \right] = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\x + 5 - 5\sqrt {x - 1}  = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\left( {ktm} \right)\\x + 5 = 5\sqrt {x - 1} \left( * \right)\end{array} \right.$

Xét phương trình (*):  $5\sqrt {x - 1}  = x + 5$.

Với $x \ge 1$ ta có $25\left( {x - 1} \right) = {\left( {x + 5} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 15x + 50 = 0$$\Leftrightarrow {x^2} - 5x - 10x + 50 = 0$$\Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) - 10\left( {x - 5} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {x - 5} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\left( {tm} \right)\\x = 5\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 5;x = 10.$

Ta có $\sqrt {2{x^2} + 6x + 1}  = x + 2$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\2{x^2} + 6x + 1 = {\left( {x + 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} - 3x + x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x =  - 1;x = 3.$

Ta có $\sqrt {{x^2} - 2x + 10}  + \sqrt {6{x^2} - 12x + 31}  = 8$$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  + \sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  = 8$

Nhận thấy $\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  \ge 3;\sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  \ge 5$ nên $\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  + \sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  \ge 3 + 5$

$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  + \sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  \ge 8$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  = 3\\\sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = 1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1.$

Đặt ${x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 6t - 7 = 0$ (*)

Nhận thấy $a - b + c = 1 + 6 - 7 = 0$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} =  - 1\,\,\left( L \right);{t_2} = 7\,\left( N \right)$

Thay lại cách đặt ta có ${x^2} = 7 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 7$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Đặt ${\left( {x + 1} \right)^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 5t - 84 = 0$ (*)

Ta có  $\Delta  = 361$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} = \dfrac{{5 + \sqrt {361} }}{2} = 12\,\,\left( N \right);{t_2} = \dfrac{{5 - \sqrt {361} }}{2} =  - 7\,\left( L \right)$

Thay lại cách đặt ta có ${\left( {x + 1} \right)^2} = 12 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt {12}$

Suy ra tổng các nghiệm là $- 1 + \sqrt {12}  - 1 - \sqrt {12}  =  - 2$.

Điều kiện: $x \ne 2;x \ne 3$

$\dfrac{{2x}}{{x - 2}} - \dfrac{5}{{x - 3}} = \dfrac{-9}{{{x^2} - 5x + 6}}$$\Leftrightarrow \dfrac{{2x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{ - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}$$\Rightarrow 2{x^2} - 11x + 19 = 0$

Nhận thấy $\Delta = {11^2} - 4.19.2 = - 31 < 0$ nên phương trình $2{x^2} - 11x + 19 = 0$ vô nghiệm. Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Điều kiện: $x \ne 1;x \ne  - 1;x \ne 14$

Ta có $\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - 1} \right) = \dfrac{3}{{14 - x}}$$\Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^2} - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}:\dfrac{{1 + x - 1 + x}}{{1 - x}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}.\dfrac{{1 - x}}{{2x}} = \dfrac{3}{{14 - x}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$$\Rightarrow 28 - 2x = 3x + 3 \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$

Ta có ${\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 5 = {x^2} - x + 5\\{x^2} + 2x - 5 =  - {x^2} + x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 10\\2{x^2} - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{10}}{3}\\x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Nên tích các nghiệm là $\dfrac{{10}}{3}.0.\dfrac{1}{2} = 0$

Ta có $3{x^3} + 3{x^2} + 5x + 5 = 0$$\Leftrightarrow 3{x^2}\left( {x + 1} \right) + 5\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 5} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} + 5 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} =  - 5\left( L \right)\\x =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow x =  - 1$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x =  - 1$.

Ta có $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8$$\Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right).\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 8 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 8$

Đặt ${x^2} + 3x + 1 = t$ , thu được phương trình $\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 8 \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow {t^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t =  - 3\end{array} \right.$

+) Với $t = 3 \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 = 3$

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0$ , có $\Delta  = 17 \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2};$

${x_2} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}$

+) Với $t =  - 3 \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 =  - 3$

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 4 = 0$ có $\Delta  =  - 7 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}$

Suy ra tổng các nghiệm là $\dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2} + \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2} =  - 3$

Điều kiện: $x \ne 0;x \ne  - 1$

Đặt $\dfrac{x}{{x + 1}} = t\,\left( {t \ne 0} \right)$, khi đó phương trình đã cho trở thành $t - 10.\dfrac{1}{t} = 3 \Rightarrow {t^2} - 3t - 10 = 0$

Ta có $\Delta  = 49 \Rightarrow {t_1} = \dfrac{{3 + \sqrt {49} }}{2} = 5;$

${t_2} = \dfrac{{3 - \sqrt {49} }}{2} =  - 2\,\left( {TM} \right)$

+) Với $t = 5$ suy ra $\dfrac{x}{{x + 1}} = 5$

$\Rightarrow 5x + 5 = x \Leftrightarrow x =  - \dfrac{5}{4}$ (nhận)

+) Với $t =  - 2$ suy ra $\dfrac{x}{{x + 1}} =  - 2$

$\Rightarrow  - 2x - 2 = x \Leftrightarrow x =  - \dfrac{2}{3}$ (nhận)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} =  - \dfrac{2}{3} > {x_2} =  - \dfrac{5}{4}$

Nên $3{x_1} + 4{x_2}$$= 3.\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right) + 4.\left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right) =  - 7$

Điều kiện: $3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}$

Ta có ${x^2} - 3x + 2 = \left( {1 - x} \right)\sqrt {3x - 2}$$\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\sqrt {3x - 2}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2 + \sqrt {3x - 2} } \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 + \sqrt {3x - 2}  = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\left( {TM} \right)\\\sqrt {3x - 2}  = 2 - x\,\left( * \right)\end{array} \right.$

Xét phương trình (*):

$\sqrt {3x - 2}  = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\3x - 2 = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} - 7x + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\,\\x = 6\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1$ (TM)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$.