Phương trình \({x^2} - 3x + 2 = \left( {1 - x} \right)\sqrt {3x - 2} \) có bao nhiêu nghiệm?

Điều kiện: $3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}$

Ta có \({x^2} - 3x + 2 = \left( {1 - x} \right)\sqrt {3x - 2} \)$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\sqrt {3x - 2}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2 + \sqrt {3x - 2} } \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 + \sqrt {3x - 2}  = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\left( {TM} \right)\\\sqrt {3x - 2}  = 2 - x\,\left( * \right)\end{array} \right.$

Xét phương trình (*):

$\sqrt {3x - 2}  = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\3x - 2 = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} - 7x + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\,\\x = 6\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1$ (TM)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$.