Tổng các nghiệm của phương trình \((x + 1)(x + 4)({x^2} + 5x + 6) = 48\) là

Ta có \((x + 1)(x + 4)({x^2} + 5x + 6) = 48\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = 48\)

Đặt \({x^2} + 5x + 5 = t\) , thu được phương trình \(\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 8 \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 48 \Leftrightarrow {t^2} = 49 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 7\\t =  - 7\end{array} \right.\)

+) Với \(t = 7 \Rightarrow {x^2} + 5x + 5 = 7 \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 2 = 0\) , có \(\Delta  = 33 \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{2}\)

+) Với \(t =  - 7 \Rightarrow {x^2} + 5x + 5 =  - 7 \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 12 = 0\) có \(\Delta  =  - 23 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{2}\)

Suy ra tổng các nghiệm là \(\dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{2} + \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{2} =  - 5\)