Tổng các nghiệm của phương trình $(x + 1)(x + 4)({x^2} + 5x + 6) = 48$ là

Ta có $(x + 1)(x + 4)({x^2} + 5x + 6) = 48$$\Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = 48$

Đặt ${x^2} + 5x + 5 = t$ , thu được phương trình $\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 8 \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 48 \Leftrightarrow {t^2} = 49 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 7\\t =  - 7\end{array} \right.$

+) Với $t = 7 \Rightarrow {x^2} + 5x + 5 = 7 \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 2 = 0$ , có $\Delta  = 33 \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{2}$

+) Với $t =  - 7 \Rightarrow {x^2} + 5x + 5 =  - 7 \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 12 = 0$ có $\Delta  =  - 23 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{2}$

Suy ra tổng các nghiệm là $\dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{2} + \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{2} =  - 5$