Phương trình \(5\left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1}  = {x^2} + 7x + 10\) có  nghiệm là ?

Điều kiện: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Ta có \(5\left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1}  = {x^2} + 7x + 10\)\(\Leftrightarrow 5\left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1}  = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right) \)\(\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right) - 5\left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left[ {\left( {x + 5} \right) - 5\sqrt {x - 1} } \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\x + 5 - 5\sqrt {x - 1}  = 0\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\left( {ktm} \right)\\x + 5 = 5\sqrt {x - 1} \left( * \right)\end{array} \right.\)

Xét phương trình (*):  \(5\sqrt {x - 1}  = x + 5\).

Với \(x \ge 1\) ta có \(25\left( {x - 1} \right) = {\left( {x + 5} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 15x + 50 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 10x + 50 = 0 \)\(\Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) - 10\left( {x - 5} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\left( {tm} \right)\\x = 5\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 5;x = 10.\)