Phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x + 10}  + \sqrt {6{x^2} - 12x + 31}  = 8$ có nghiệm là

Ta có $\sqrt {{x^2} - 2x + 10}  + \sqrt {6{x^2} - 12x + 31}  = 8$$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  + \sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  = 8$

Nhận thấy $\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  \ge 3;\sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  \ge 5$ nên $\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  + \sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  \ge 3 + 5$

$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  + \sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  \ge 8$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  = 3\\\sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = 1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1.$