Phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 1} = 3 - x\) có nghiệm là:
Ta có \(\sqrt {{x^2} + x + 1} = 3 - x\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\{x^2} + x + 1 = {\left( {3 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\7x = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x = \dfrac{8}{7}\end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{8}{7}$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{8}{7}$.
Phương trình \(\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} = 2\) có bao nhiêu nghiệm?
Điều kiện: $4x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{4}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }};\dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x}$
Ta có $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }}.\dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x}} $$ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} \ge 2$
Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} = \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 4x - 1$
Nên phương trình \(\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} = 2\)$ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0$có $\Delta ' = 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 \,\left( N \right)\\x = 2 - \sqrt 3 \,\left( N \right)\end{array} \right.$
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {12{x^2} - 12x + 19} = 6\) có nghiệm là $\dfrac{a}{b}\,\left( {a,b > 0} \right)$. Tính $a - b$.
Ta có \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {12{x^2} - 12x + 19} = 6\)$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4} + \sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16} = 6$
Nhận thấy $\sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4} \ge 2;\sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + } 16 \ge 4$ nên $ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4} + \sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16} \ge 6$
Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4} = 2\\\sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\x - \dfrac{1}{2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{1}{2}$.
Từ đó suy ra $a = 1;b = 2 \Rightarrow a - b = - 1$.
Giải phương trình \(\sqrt {1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}} } = x - 1\)
\(\sqrt {1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}} } = x - 1\)
Điều kiện: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)
\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow 1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}} = {(x - 1)^2}\\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}} = {x^2} - 2x + 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^4} - {x^2}} = 2x - {x^2}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - {x^2} \ge 0\\{x^4} - {x^2} = 4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\4{x^3} - 5{x^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\{x^2}(4x - 5) = 0\end{array} \right.\, \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\4x - 5 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{5}{4}\,\,\end{array} \right.\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ban đầu \(x\ge 1\) ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{5}{4}\).
Giải phương trình \(\dfrac{1}{{x - 1 + \sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} + \dfrac{1}{{x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} = 1\)
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 1 + \sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} + \dfrac{1}{{x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 1 + \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 4} }} + \dfrac{1}{{x - 1 - \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 4} }} = 1\end{array}\)
Đặt \(x – 1 = t\)
\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow \dfrac{1}{{t + \sqrt {{t^2} + 4} }} + \dfrac{1}{{t - \sqrt {{t^2} + 4} }} = 1\\\Leftrightarrow \dfrac{{t - \sqrt {{t^2} + 4} + t + \sqrt {{t^2} + 4} }}{{(t + \sqrt {{t^2} + 4} )(t - \sqrt {{t^2} + 4} )}} = 1\\\Leftrightarrow \dfrac{{2t}}{{{t^2} - {t^2} - 4}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2t}}{{ - 4}} = 1\\ \Leftrightarrow t = - 2\\ \Rightarrow x - 1 = - 2 \Leftrightarrow x = - 1.\end{array}\)
Thử lại thấy \(x=-1\) thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = -1.\)
