Phương trình quy về phương trình bậc hai

Ta có $\sqrt {{x^2} + x + 1}  = 3 - x$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\{x^2} + x + 1 = {\left( {3 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\7x = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x = \dfrac{8}{7}\end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{8}{7}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{8}{7}$.

Điều kiện: $4x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }};\dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x}$

Ta có $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }}.\dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x}}$$\Leftrightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} \ge 2$

Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} = \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 4x - 1$

Nên phương trình $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} = 2$$\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0$có $\Delta ' = 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 \,\left( N \right)\\x = 2 - \sqrt 3 \,\left( N \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ta có $\sqrt {4{x^2} - 4x + 5}  + \sqrt {12{x^2} - 12x + 19}  = 6$$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4}  + \sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16}  = 6$

Nhận thấy $\sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4}  \ge 2;\sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + } 16 \ge 4$ nên $\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4}  + \sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16}  \ge 6$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4}  = 2\\\sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16}  = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\x - \dfrac{1}{2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{1}{2}$.

Từ đó suy ra $a = 1;b = 2 \Rightarrow a - b =  - 1$.

$\sqrt {1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}} }  = x - 1$

Điều kiện: $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

$\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow 1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}}  = {(x - 1)^2}\\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}}  = {x^2} - 2x + 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^4} - {x^2}}  = 2x - {x^2}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - {x^2} \ge 0\\{x^4} - {x^2} = 4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\4{x^3} - 5{x^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\{x^2}(4x - 5) = 0\end{array} \right.\, \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\4x - 5 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{5}{4}\,\,\end{array} \right.\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ban đầu $x\ge 1$ ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{5}{4}$.

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 1 + \sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} + \dfrac{1}{{x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 1 + \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 4} }} + \dfrac{1}{{x - 1 - \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 4} }} = 1\end{array}$

Đặt  $x – 1 = t$

$\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow \dfrac{1}{{t + \sqrt {{t^2} + 4} }} + \dfrac{1}{{t - \sqrt {{t^2} + 4} }} = 1\\\Leftrightarrow \dfrac{{t - \sqrt {{t^2} + 4}  + t + \sqrt {{t^2} + 4} }}{{(t + \sqrt {{t^2} + 4} )(t - \sqrt {{t^2} + 4} )}} = 1\\\Leftrightarrow \dfrac{{2t}}{{{t^2} - {t^2} - 4}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2t}}{{ - 4}} = 1\\ \Leftrightarrow t =  - 2\\ \Rightarrow x - 1 =  - 2 \Leftrightarrow x =  - 1.\end{array}$

Thử lại thấy $x=-1$ thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -1.$