Phương trình $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} = 2$ có bao nhiêu nghiệm?

Điều kiện: $4x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }};\dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x}$

Ta có $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }}.\dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x}}$$\Leftrightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} \ge 2$

Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} = \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 4x - 1$

Nên phương trình $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} = 2$$\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0$có $\Delta ' = 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 \,\left( N \right)\\x = 2 - \sqrt 3 \,\left( N \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.