Bài tập ôn tập chương 1

Ta có $\cot \left( {3x - 1} \right) =  - \sqrt 3  \Leftrightarrow \cot \left( {3x - 1} \right) = \cot \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow 3x - 1 =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3} - \dfrac{\pi }{{18}} + k\dfrac{\pi }{3}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Hay $x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{l\pi }}{3},l \in \mathbb{Z}$

Phương trình $\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) - m = 2 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = m + 2.$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow  - \,1 \le m + 2 \le 1 \Leftrightarrow  - \,3 \le m \le  - \,1$

$\Rightarrow S = \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}$$\Rightarrow T = \left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) =  - 6$

Vì $x = \dfrac{\pi }{{12}}$ là một nghiệm của phương trình $\left( {m - 2} \right)\sin 2x = m + 1$ nên ta có:

$\left( {m - 2} \right).\sin \dfrac{{2\pi }}{{12}} = m + 1 \Leftrightarrow \dfrac{{m - 2}}{2} = m + 1 \Leftrightarrow m - 2 = 2m + 2 \Leftrightarrow m =  - \,4$.

Vậy $m =  - \,4$ là giá trị cần tìm.

TH1. Với $m = 2$, phương trình trở thành $0 = 3$ vô nghiệm.

TH2. Với $m \ne 2$, phương trình $\left( {m - 2} \right)\sin 2x = m + 1 \Leftrightarrow \sin 2x = \dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}.$

Để phương trình $\left(  *  \right)$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} \notin \left[ { - \,1;1} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} > 1\\\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} <  - \,1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\\dfrac{1}{2} < m < 2\end{array} \right..$

Kết hợp hai trường hợp, ta được $m > \dfrac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.

Bước 1:

Phương trình $\Leftrightarrow (3\sin 3x - 4{\sin ^3}3x) - \sqrt 3 \cos 9x = 1$$\Leftrightarrow \sin 9x - \sqrt 3 \cos 9x = 1$

Bước 2:

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 9x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 9x = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) \sin 9x - \sin \left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)\cos 9x = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {9x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {9x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6}$

Bước 3:

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\9x - \dfrac{\pi }{3} = \pi  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{9}\\x = \dfrac{{7\pi }}{{54}} + \dfrac{{k2\pi }}{9}\end{array} \right.$

Bước 4:

Vì $x > 0$ nên $\left[ \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{9} > 0 \Leftrightarrow k >  - \dfrac{1}{4} \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \to x = \dfrac{\pi }{{18}}\\\dfrac{{7\pi }}{{54}} + \dfrac{{k2\pi }}{9} > 0 \Leftrightarrow k >  - \dfrac{7}{{12}} \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \to x = \dfrac{{7\pi }}{{54}}\end{array} \right..$

So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là $x = \dfrac{\pi }{{18}}.$

Phương trình $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 5x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x = \sin 7x$ $\Leftrightarrow \sin \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin 7x$

$\Leftrightarrow \sin 7x = \sin \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x = 5x + \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\7x = \pi  - \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{6}\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

+) $0 < \dfrac{\pi }{6} + k\pi  < \dfrac{\pi }{2}$$\Leftrightarrow  - \dfrac{1}{6} < k < \dfrac{1}{3} \Rightarrow k = 0 \to x = \dfrac{\pi }{6}$

+) $0 < \dfrac{\pi }{{18}} + k\dfrac{\pi }{6} < \dfrac{\pi }{2}$$\Leftrightarrow  - \dfrac{1}{3} < k < \dfrac{8}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0 \to x = \dfrac{\pi }{{18}}\\k = 1 \to x = \dfrac{{2\pi }}{9}\\k = 2 \to x = \dfrac{{7\pi }}{{18}}\end{array} \right.$

Vậy có $4$ nghiệm thỏa mãn..

Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow {1^2} + {1^2} < {\left[ {\sqrt 2 \left( {{m^2} + 1} \right)} \right]^2}$

$\Leftrightarrow {m^4} + 2{m^2} > 0 \Leftrightarrow {m^2}\left( {{m^2} + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0.$

Phương trình $\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} - \sin 2x + \cos 2x = 0$

$\Leftrightarrow  - 2\sin 2x + \left( {1 - m} \right)\cos 2x =  - m - 1.$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( {1 - m} \right)^2} \ge {\left( { - m - 1} \right)^2} \Leftrightarrow 4m \le 4 \Leftrightarrow m \le 1$

$\Rightarrow m \in \left\{ { - 2018; - 2017;...;0;1} \right\}$ nên có $2020$ giá trị.

Phương trình $2{\sin ^2}\dfrac{x}{4} - 3\cos \dfrac{x}{4} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\cos }^2}\dfrac{x}{4}} \right) - 3\cos \dfrac{x}{4} = 0$

$\Leftrightarrow  - 2{\cos ^2}\dfrac{x}{4} - 3\cos \dfrac{x}{4} + 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2}\\\cos \dfrac{x}{4} =  - 2\left( {L} \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \cos \dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \cos \dfrac{x}{4} = \cos \dfrac{\pi }{3}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{x}{4} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\\dfrac{x}{4} =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k8\pi \\x =  - \dfrac{{4\pi }}{3} + k8\pi \end{array} \right.$

Với $x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k8\pi$. Ta tìm nghiệm của $x$ trong $\left[ {0;8\pi } \right]$. Khi đó: $0\le \dfrac{{4\pi }}{3} + k8\pi \le 8\pi \Leftrightarrow k=0 \Rightarrow x=\dfrac{4\pi}{3}$.

Với $x =- \dfrac{{4\pi }}{3} + k8\pi$. Ta tìm nghiệm của $x$ trong $\left[ {0;8\pi } \right]$. Khi đó: $0\le -\dfrac{{4\pi }}{3} + k8\pi \le 8\pi \Leftrightarrow k=1 \Rightarrow x=\dfrac{20\pi}{3}$.

$\to T = \dfrac{{4\pi }}{3} + \dfrac{{20\pi }}{3} = 8\pi$

+) Nếu $m = 0$ thì phương trình trở thành $\tan x = 8$ có nghiệm nên $m = 0$ thỏa mãn.

+) Nếu $m \ne 0$ thì:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan x \ne 0\\\cot x \ne 0\end{array} \right.$

Phương trình $\tan x + m\cot x = 8$$\Leftrightarrow \tan x + \dfrac{m}{{\tan x}} = 8$ $\Leftrightarrow {\tan ^2}x - 8\tan x + m = 0\left( * \right)$

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $\left( * \right)$ có nghiệm $\tan x \ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( { - \,4} \right)^2} - m \ge 0\\{0^2} - 8.0 + m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 16\\m \ne 0\end{array} \right.$

Kết hợp hai trường hợp ta được $m \le 16$

Đặt $t = \cos 3x{\rm{ }}\left( { - 1 \le t \le 1} \right)$.

Phương trình trở thành $2{t^2} + \left( {3 - 2m} \right)t + m - 2 = 0.$

Ta có $\Delta  = {\left( {2m - 5} \right)^2}$. Suy ra phương trình có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{1}{2}\\{t_2} = m - 2\end{array} \right..$

Ta thấy ứng với một nghiệm ${t_1} = \dfrac{1}{2}$ thì cho ta hai giá trị $3x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\pi } \right)$ hay có $2$ nghiệm $x$ thuộc khoảng $\left( { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right).$

Do đó yêu cầu bài toán thỏa nếu phương trình $\cos 3x = m - 2$ chỉ có duy nhất $1$ nghiệm thuộc $\left( { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right)$

Quan sát đường tròn đơn vị thì $\left[ \begin{array}{l} - 1 < \cos 3x \le 0\\\cos 3x = 1\end{array} \right.$  $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < {t_2} \le 0\\{t_2} = 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < m - 2 \le 0\\m - 2 = 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m \le 2\\m = 3\end{array} \right.$

- Xét $\cos x = 0$ thì phương trình trở thành $1 = 0$ không thỏa mãn.

- Xét $\cos x \ne 0$, chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x \ne 0$ và đặt $\tan x = t$

Phương trình $\Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {\sqrt 3  + 1} \right)\tan x + \sqrt 3 \; = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = \sqrt 3 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Phương trình $\Leftrightarrow {\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 4{\cos ^2}x = 5\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$

$\Leftrightarrow  - 4{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x - {\cos ^2}x = 0 \Leftrightarrow {\left( {2\sin x + \cos x} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 2\sin x + \cos x = 0$

$\Leftrightarrow \tan x =  - \dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow$ có $2$ vị trí biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Phương trình $\Leftrightarrow 9{\sin ^2}x + \left( {m - 2} \right)\sin 2x + {\cos ^2}x = 0$

$\Leftrightarrow 9.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + \left( {m - 2} \right)\sin 2x + \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = 0$$\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\sin 2x - 4\cos 2x =  - 5$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 16 \ge 25 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le  - 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow m \in \left\{ { - 10; - 9;...; - 1;5;6;...;10} \right\}$$\Rightarrow$  có $16$ giá trị nguyên.

Phương trình $\Leftrightarrow 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + m\sin 2x = 2m \Leftrightarrow m\sin 2x - \cos 2x = 2m - 1.$

Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow {m^2} + 1 < {\left( {2m - 1} \right)^2} \Leftrightarrow 3{m^2} - 4m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > \dfrac{4}{3}\end{array} \right..$

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)$.

Vì $\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - \,1;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - \,\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$.

Ta có ${t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}$.

Khi đó, phương trình đã cho trở thành $\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - \,5\left( {L} \right)\end{array} \right..$

Với $t = 1$, ta được $\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \pi  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Đặt $t = \sin x + \cos x\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)$$\Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2-1}}}{2}$

Phương trình trở thành $\left( {1 + \sqrt 3 } \right)t - \left( {{t^2} - 1} \right) - \sqrt 3  - 1 = 0$

$\Leftrightarrow {t^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t + \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \sqrt 3 \left( {L} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 1.$

Đặt $t = \left| {\sin x + \cos x} \right| = \sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|$.

Vì $\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - \,1;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\sqrt 2 } \right]$.

Ta có ${t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1.$

Phương trình đã cho trở thành $2\left( {{t^2} - 1} \right) - 3\sqrt 6 \,t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\\t = \sqrt 6 \left( {L} \right)\end{array} \right.$

$\sin 2x = {t^2} - 1 = \dfrac{1}{2}.$

Đặt $t = \sin x + \cos x{\rm{ }}\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)$$\Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}$

Phương trình trở thành $\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - t + m = 0 \Leftrightarrow  - 2m = {t^2} - 2t - 1$$\Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} =  - 2m + 2$

Do $- \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2$$\Rightarrow  - \sqrt 2  - 1 \le t - 1 \le \sqrt 2  - 1$ $\Rightarrow 0 \le {\left( {t - 1} \right)^2} \le 3 + 2\sqrt 2$

Vậy để phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow 0 \le  - 2m + 2 \le 3 + 2\sqrt 2  \Leftrightarrow  - \dfrac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2} \le m \le 1$

$\Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}.$

Ta có: $- 1 \le \sin x \le 1; - 1 \le \cos x \le 1$

$\begin{array}{l}{\sin ^3}x + {\sin ^2}x = {\sin ^2}x\left( {\sin x + 1} \right) \ge 0\\{\sin ^3}x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}x\left( {\sin x - 1} \right) \le 0\end{array}$

Do đó $- {\sin ^2}x \le {\sin ^3}x \le {\sin ^2}x$

Tương tự $- {\cos ^2}x \le {\cos ^3}x \le {\cos ^2}x$

$\Rightarrow  - 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x \le y \le 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x$

Mà $\left\{ \begin{array}{l} - 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x =  - 1 - {\sin ^2}x \ge  - 1 - 1 =  - 2\\2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 + {\sin ^2}x \le 1 + 1 = 2\end{array} \right.$  nên $- 2 \le y \le 2$

Vậy $M = 2$ đạt được khi $\sin x = 1,\cos x = 0$

 $m =  - 2$ đạt được khi $\sin x =  - 1,\cos x = 0$

Do đó ${M^2} + {m^2} = 8$