Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm nghiệm dương nhỏ nhất \({x_0}\) của \(3\sin 3x - \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Bước 1:
Phương trình \( \Leftrightarrow (3\sin 3x - 4{\sin ^3}3x) - \sqrt 3 \cos 9x = 1\)\( \Leftrightarrow \sin 9x - \sqrt 3 \cos 9x = 1\)
Bước 2:
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 9x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 9x = \dfrac{1}{2} \)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) \sin 9x - \sin \left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)\cos 9x = \dfrac{1}{2} \)
\(\Leftrightarrow \sin \left( {9x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {9x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6}\)
Bước 3:
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\9x - \dfrac{\pi }{3} = \pi - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{9}\\x = \dfrac{{7\pi }}{{54}} + \dfrac{{k2\pi }}{9}\end{array} \right.\)
Bước 4:
Vì \(x > 0\) nên \(\left[ \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{9} > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{1}{4} \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \to x = \dfrac{\pi }{{18}}\\\dfrac{{7\pi }}{{54}} + \dfrac{{k2\pi }}{9} > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{7}{{12}} \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \to x = \dfrac{{7\pi }}{{54}}\end{array} \right..\)
So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \dfrac{\pi }{{18}}.\)
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng thuần nhất đối với \(\sin 9x,\cos 9x\).
- Áp dụng công thức $\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$.
Bước 2: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản
- Chia hai vế của phương trình $a.\sin x+b.\cos x=c$ cho $\sqrt{a^2+b^2}$
Bước 3: Giải phương trình
Sử dụng công thức \(\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + k2\pi \\x = \pi - y + k2\pi \end{array} \right.\)
Bước 4: Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất.
Sử dụng điều kiện $x>0$
