Câu hỏi:
2 năm trước
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình $\sin x\cos x - \sin x - \cos x + m = 0$ có nghiệm?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Đặt \(t = \sin x + \cos x{\rm{ }}\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\)\( \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\)
Phương trình trở thành \(\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - t + m = 0 \Leftrightarrow - 2m = {t^2} - 2t - 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = - 2m + 2\)
Do \( - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 \)\( \Rightarrow - \sqrt 2 - 1 \le t - 1 \le \sqrt 2 - 1\) \( \Rightarrow 0 \le {\left( {t - 1} \right)^2} \le 3 + 2\sqrt 2 \)
Vậy để phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow 0 \le - 2m + 2 \le 3 + 2\sqrt 2 \Leftrightarrow - \dfrac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2} \le m \le 1\)
\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}.\)
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(t = \sin x + \cos x\) đưa phương trình về ẩn \(t\)
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện.
