Câu hỏi:
2 năm trước
Số nghiệm của phương trình \(\sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 2\sin 7x\) trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) là?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Phương trình \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 5x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x = \sin 7x \) \(\Leftrightarrow \sin \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin 7x\)
\( \Leftrightarrow \sin 7x = \sin \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x = 5x + \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\7x = \pi - \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{6}\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
+) $0 < \dfrac{\pi }{6} + k\pi < \dfrac{\pi }{2}$$ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} < k < \dfrac{1}{3} \Rightarrow k = 0 \to x = \dfrac{\pi }{6}$
+) $0 < \dfrac{\pi }{{18}} + k\dfrac{\pi }{6} < \dfrac{\pi }{2}$$ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} < k < \dfrac{8}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0 \to x = \dfrac{\pi }{{18}}\\k = 1 \to x = \dfrac{{2\pi }}{9}\\k = 2 \to x = \dfrac{{7\pi }}{{18}}\end{array} \right.$
Vậy có \(4\) nghiệm thỏa mãn..
Hướng dẫn giải:
Biến đổi vế trái phương trình về dạng \(\sin \left( {5x + \alpha } \right)\) rồi giải phương trình, tìm nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) và kết luận.
