Câu hỏi:
2 năm trước
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \(2{\sin ^2}\dfrac{x}{4} - 3\cos \dfrac{x}{4} = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;8\pi } \right].\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Phương trình \(2{\sin ^2}\dfrac{x}{4} - 3\cos \dfrac{x}{4} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\cos }^2}\dfrac{x}{4}} \right) - 3\cos \dfrac{x}{4} = 0\)
\( \Leftrightarrow - 2{\cos ^2}\dfrac{x}{4} - 3\cos \dfrac{x}{4} + 2 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2}\\\cos \dfrac{x}{4} = - 2\left( {L} \right)\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \cos \dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} \) \(\Leftrightarrow \cos \dfrac{x}{4} = \cos \dfrac{\pi }{3}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{x}{4} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\\dfrac{x}{4} = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k8\pi \\x = - \dfrac{{4\pi }}{3} + k8\pi \end{array} \right.\)
Với \(x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k8\pi\). Ta tìm nghiệm của \(x\) trong \(\left[ {0;8\pi } \right]\). Khi đó: \( 0\le \dfrac{{4\pi }}{3} + k8\pi \le 8\pi \Leftrightarrow k=0 \Rightarrow x=\dfrac{4\pi}{3}\).
Với \(x =- \dfrac{{4\pi }}{3} + k8\pi\). Ta tìm nghiệm của \(x\) trong \(\left[ {0;8\pi } \right]\). Khi đó: \( 0\le -\dfrac{{4\pi }}{3} + k8\pi \le 8\pi \Leftrightarrow k=1 \Rightarrow x=\dfrac{20\pi}{3}\).
\( \to T = \dfrac{{4\pi }}{3} + \dfrac{{20\pi }}{3} = 8\pi \)
Hướng dẫn giải:
- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai ẩn \(\cos \dfrac{x}{4}\)
- Giải phương trình tìm giá trị của \(\cos \dfrac{x}{4}\), sau đó tìm họ nghiệm của \(x\) và tính tổng các nghiệm trong \(\left[ {0;8\pi } \right]\)
