Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)$.
Vì $\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - \,1;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - \,\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$.
Ta có ${t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}$.
Khi đó, phương trình đã cho trở thành $\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - \,5\left( {L} \right)\end{array} \right..$
Với $t = 1$, ta được $\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}$.
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \pi - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}$.
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(t = \sin x + \cos x\), tìm điều kiện của \(t\)
- Biến đổi phương trình về ẩn \(t\), tìm \(t\) dđối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm \(x\)
