Các mạch điện xoay chiều

Trong mạch xoay chiều chỉ có cuộn cảm thì điện áp nhanh pha hơn dòng điện góc π/2:

\(\varphi \)_u = \(\varphi \)_i + π/2

Cảm kháng của cuộn cảm được xác định bởi biểu thức:

\({Z_L} = \omega L = 2\pi fL\)

Với đoạn mạch chỉ có L thì

\({I_0} = \dfrac{{{U_0}}}{{{Z_L}}} = \dfrac{{U\sqrt 2 }}{{\omega L}}\)

Ta có, cảm kháng của cuộn cảm:

\({Z_L} = \omega L = 2\pi fL = 2\pi .50.\dfrac{1}{\pi } = 100\Omega \)

Mạch chỉ có cuộn cảm nên điện áp nhanh pha hơn dòng điện góc $\dfrac{\pi}{2}$

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = {U_C}\cos (\omega t + {\varphi _u}) = U\sqrt 2 \cos (\omega t + {\varphi _u})\\i = {I_0}\cos (\omega t + {\varphi _u} - \dfrac{\pi }{2}) = I\sqrt 2 \sin (\omega t + {\varphi _u})\end{array} \right.\\ \to {\left( {\dfrac{u}{{U\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{{I\sqrt 2 }}} \right)^2} = 1\\ \leftrightarrow {\left( {\dfrac{u}{U}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{I}} \right)^2} = 2\end{array}\)

Ta có:

Mạch chỉ có cuộn cảm nên điện áp nhanh pha hơn dòng điện góc π/2.

Khi đó ta có: \({\left( {\dfrac{u}{{{U_0}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{I}} \right)^2} = 1\)

Tại thời điểm t₁:

\({\left( {\dfrac{{{u_1}}}{{{U_0}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{i{}_1}}{{{I_0}}}} \right)^2} = 1\)   

Tại thời điểm t₂:

\({\left( {\dfrac{{{u_2}}}{{{U_0}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{i{}_2}}{{{I_0}}}} \right)^2} = 1\)

Từ đó ta được:

\({\left( {\dfrac{{{u_1}}}{{{U_0}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{i{}_1}}{{{I_0}}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{{u_2}}}{{{U_0}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{i{}_2}}{{{I_0}}}} \right)^2} \to \dfrac{{u_1^2 - u_2^2}}{{U_0^2}} = \dfrac{{i_2^2 - i_1^2}}{{I_0^2}} \to \dfrac{{{U_0}}}{{{I_0}}} = \sqrt {\dfrac{{u_1^2 - u_2^2}}{{i_2^2 - i_1^2}}} \)

Mặt khác, ta có:

\({Z_L} = \dfrac{{{U_0}}}{{{I_0}}} = \sqrt {\dfrac{{u_1^2 - u_2^2}}{{i_2^2 - i_1^2}}} \) .

Thay số ta được Z_L = 50 W

Dung kháng của mạch được xác định bằng biểu thức:

 \({Z_C} = \frac{1}{{\omega C}} = \frac{1}{{2\pi fC}}\)

A - sai vì tụ điện không cho dòng một chiều đi qua

B - sai vì điện áp giữa hai bản tụ biến thiên trễ pha π/2 đối với dòng điện

C - sai vì cường độ dòng điện tỉ lệ thuận với tần số dòng điện:

\(I = \frac{U}{{{Z_C}}} = \frac{U}{{\frac{1}{{\omega C}}}} = U\omega C = U2\pi fC\)

D - đúng

Dung kháng:

\({Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{100\pi .\dfrac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }}} = 100\Omega \)

Trong mạch xoay chiều chỉ có tụ điện thì dòng điện trong mạch sớm pha hơn điện áp ở hai đầu đoạn mạch một góc π /2

Ta có: Cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch:

\(I = \dfrac{U}{{{Z_C}}} = \dfrac{U}{{\dfrac{1}{{\omega C}}}} = U\omega C = \dfrac{{{U_0}}}{{\sqrt 2 }}\omega C\)

Ta có,

+ Cường độ dòng điện cực đại:

\({I_0} = \frac{{{U_0}}}{{{Z_C}}} = \frac{{{U_0}}}{{\frac{1}{{\omega C}}}} = {U_0}\omega C\)

+ Cường độ dòng điện trong mạch sớm pha p/2 so với điện áp đặt vào hai đầu tụ điện

Dung kháng của mạch là :

\({Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{2\pi .50.\dfrac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }}} = 100\Omega \)

Áp dụng hệ thức liên hệ ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{{u_C}}}{{{U_{0C}}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{{{I_0}}}} \right)^2} = 1 \leftrightarrow {\left( {\frac{{100\sqrt {10} }}{{100{I_0}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{{{I_0}}}} \right)^2} = 1 \leftrightarrow \dfrac{{10}}{{I_0^2}} + \dfrac{2}{{I_0^2}} = 1\\ \to {I_0} = 2\sqrt 3 A \to {U_{0C}} = {I_0}{Z_C} = 200\sqrt 3 V \to {U_C} = \dfrac{{{U_{0C}}}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{200\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = 100\sqrt 6 V\end{array}\)

Áp dụng hệ thức liên hệ ta được:

 \({\left( {\frac{{{u_1}}}{{{U_0}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{i{}_1}}{{{I_0}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{u_2}}}{{{U_0}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{i{}_2}}{{{I_0}}}} \right)^2} \leftrightarrow \frac{{{U_0}}}{{{I_0}}} = \sqrt {\frac{{u_1^2 - u_2^2}}{{i_2^2 - i_1^2}}} \)

Mặt khác, ta có: 

\({Z_C} = \frac{{{U_0}}}{{{I_0}}} = \sqrt {\frac{{u_1^2 - u_2^2}}{{i_2^2 - i_1^2}}} \)

Thay số ta được Z_C = 37, 5 Ω

+ Ta có:  

\({I_0} = \frac{{{U_0}}}{Z} \Rightarrow Z = \frac{{{U_0}}}{{{I_0}}} = \frac{{120}}{3} = 40\Omega \)

+ Độ lệch pha giữa u và i:

\(\tan \varphi = \frac{{{Z_L}}}{R} \Rightarrow \frac{{{Z_L}}}{R} = \tan \frac{\pi }{6} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow R = \sqrt 3 {Z_L}\)

Tổng trở của đoạn mạch:  

\(Z = \sqrt {{R^2} + Z_L^2} = 2{Z_L} \Rightarrow {Z_L} = 20\Omega \)

Cảm kháng:  

\({Z_L} = \omega L \Rightarrow L = \frac{{{Z_L}}}{\omega } = \frac{2}{{10\pi }} = 63,7mH\)

Vậy giá trị của L gần nhất với 65mH.

Khi mắc ampe kế vào E,F ta đo được cường độ dòng điện chạy trong mạch :

\(I = \frac{U}{{2{Z_L}}} \Rightarrow {Z_L} = \frac{U}{{2I}}\)

Khi mắc Vôn kế vào E, F thì ta đo được hiệu điện thế giữa hai điểm E, F tức là A, B (vì vôn kế lý tưởng và mạch thuần cảm). Vậy là U = 11,95V.

Lại có :

\(I = \frac{U}{{2{Z_L}}} \Rightarrow {Z_L} = \frac{U}{{2I}} = \frac{{11,95}}{{2.3,8}} = 1,{572_{}}\Omega \)

Từ công thức tính cảm kháng ta có :

\(L = \frac{{{Z_L}}}{\omega } = \frac{{1,572}}{{100\pi }} = {5.10^{ - 3}}H = 5mH\)

Đoạn mạch xoay chiều chỉ chứa cuộn cảm thuần thì điện áp và cường độ dòng điện vuông pha với nhau.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{{u^2}}}{{U_0^2}} + \dfrac{{{i^2}}}{{I_0^2}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{{{200}^2}}}{{U_0^2}} + \dfrac{2}{{I_0^2}} = \dfrac{{{{\left( {200\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{U_0^2}} + \dfrac{0}{{I_0^2}} = 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
{U_0} = 200\sqrt 2 V\\
{I_0} = 2\sqrt 2 A
\end{array} \right. \Rightarrow u = 200\sqrt 2 .\cos \left( {100\pi t} \right)V\\
\Rightarrow i = 2\sqrt 2 .\cos \left( {100\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)A
\end{array}\) 

Cảm kháng của cuộn cảm: \({Z_L} = \omega L = 100\pi .\dfrac{1}{{2\pi }} = 50\Omega \)

Điện áp cực đại: \({U_0} = {I_0}{Z_C} = 50{I_0}\)

\(\dfrac{{{u^2}}}{{U_0^2}} + \dfrac{{{i^2}}}{{I_0^2}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {100\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{{50}^2}.I_0^2}} + \dfrac{{{2^2}}}{{I_0^2}} = 1 \Rightarrow {I_0} = 2\sqrt 3 A\)

Mạch chỉ có cuộn cảm thuần nên i trễ pha hơn u góc \(\dfrac{\pi }{2}\)

\( \Rightarrow {\varphi _i} =  - \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\pi }{2} =  - \dfrac{{5\pi }}{6}\)

Phương trình của i là: \(i = 2\sqrt 3 \cos \left( {100\pi t - \dfrac{{5\pi }}{6}} \right)A\)

Tần số dao động riêng của mạch LC là \(f=\dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\)

Khi C = C₁ thì \({{f}_{1}}=\dfrac{1}{2\pi \sqrt{L{{C}_{1}}}}={{6.10}^{6}}Hz\)           (1)

Khi C = C₂ thì \({{f}_{2}}=\dfrac{1}{2\pi \sqrt{L{{C}_{2}}}}={{8.10}^{6}}Hz\)           (2)

Khi C = 2C₁ + 3C₂ thì \(f=\dfrac{1}{2\pi \sqrt{L(2{{C}_{1}}+3{{C}_{2}})}}\) (3)

Từ (1) và (2) ta được C₁ = (16/9)C₂

Thay vào (3) ta được :

\(f = \dfrac{1}{{2\pi \sqrt {L(2.\dfrac{{16}}{9}{C_2} + 3{C_2})} }} = \dfrac{1}{{2\pi \sqrt {\dfrac{{59}}{9}L{C_2}} }} = \sqrt {\dfrac{9}{{59}}} {f_2} = 3,{12.10^6}Hz\)

Chọn đáp án A

+ Dòng điện chạy trong mạch khi đèn sáng bình thường\(I = \frac{{{P_d}}}{{{U_d}}} = \frac{{100}}{{100}} = 1\,\,{\rm{A}}{\rm{.}}\)

\( \to \) Điện áp hiệu dụng ở hai đầu điện trở \({U_R} = U - {U_d} = 20\,\,V.\)

\( \to \)Giá trị của R là

\({\rm{R}} = \frac{{{U_R}}}{I} = \frac{{20}}{I} = 20\,\,\Omega .\)