Bài tập sóng cơ - Phương trình sóng cơ học

Góc quét được:

$\Delta \varphi  = \omega \Delta t = \dfrac{\pi }{2}6= {3\pi }$

Vẽ trên vòng tròn lượng giác, ta được:

Từ vòng tròn lượng giác, ta có: $t + 6s$ điểm $M$ có li độ $-3cm$

Ta có: $u = 6\cos \left( {4\pi t - 0,02\pi x} \right)$

Thay x = 25cm và t = 4s vào, ta được:

$u = 6\cos \left( {4\pi .4 - 0,02\pi .25} \right) = 0cm$

Ta có: $\lambda  = \frac{v}{f} = \frac{{25}}{{\frac{\pi }{{2\pi }}}} = 50cm$

Phương trình dao động tại M cách O một khoảng x = 25cm:

${u_M} = 3c{\rm{os}}\left( {\pi t - \frac{{2\pi x}}{\lambda }} \right) = 3c{\rm{os}}\left( {\pi t - \frac{{2\pi 25}}{{50}}} \right) = 3c{\rm{os}}\left( {\pi t - \pi } \right)cm$

Phương trình vận tốc tại M:

 ${v_M} = {u_M}' =  - 3\pi \sin \left( {\pi t - \pi } \right)cm/s$

=> Vận tốc tại M tại thời điểm t = 2,5s:

${v_M} =  - 3\pi \sin \left( {\pi .2,5 - \pi } \right) = 3\pi cm/s$

Ta có:

$\lambda  = \frac{v}{f} = \frac{{0,4}}{{10}} = 0,04m = 4cm$

Độ lệch pha giữa hai điểm P và Q là:

$\Delta \varphi  = \frac{{2\pi \Delta d}}{\lambda } = \frac{{2\pi 15}}{4} = \frac{{15\pi }}{2} = 6\pi  + \frac{{3\pi }}{2}$

Từ vòng tròn lượng giác, ta có li độ tại Q là 0cm

Ta có:

$\lambda  = \dfrac{v}{f} = \dfrac{{200}}{{20}} = 10cm$

Chu kì:

$T = \dfrac{1}{f} = 0,05{\rm{s}}$

Độ lệch pha giữa hai điểm M và N là:

$\Delta \varphi  = \dfrac{{2\pi \Delta d}}{\lambda } = \dfrac{{2\pi 22,5}}{{10}} = \dfrac{{9\pi }}{2} = 4\pi  + \dfrac{\pi }{2}$

=> M và N dao động vuông pha nhau

Vì M gần nguồn sóng hơn => M nhanh pha hơn N 1 góc π/2

Tại thời điểm t: N đang ở biên âm, M đang ở VTCB theo chiều dương

=> Thời gian ngắn nhất điểm M hạ xuống thấp nhất là: $t = \dfrac{{3T}}{4} = \dfrac{3}{{80}}s$

Ta có:

+ Điểm $M$ ở vị trí cao nhất tức là biên dương.

+ Điểm $N$ qua vị trí có li độ bằng $\dfrac{A}{2}$ và đang đi lên

Vẽ trên vòng tròn lượng giác, ta được:

Ta có 2 trường hợp của góc lệch pha giữa $M$ và $N$:

+ TH 1: $M, N$ lệch pha nhau: $60^0$:

$\begin{array}{l}\Delta {\varphi _{MN}} = \dfrac{{2\pi \Delta d}}{\lambda } = \dfrac{\pi }{3} \to \lambda  = 6\Delta d = 6.5 = 30cm\\ \to v = \lambda f = 30.10 = 300cm/s = 3m/s\end{array}$

$M$ sớm pha hơn $N$ => Sóng truyền từ $M$ đến $N$

+ TH 2: $M, N$ lệch pha nhau $300^0$:

$\begin{array}{l}\Delta {\varphi _{MN}} = \dfrac{{2\pi \Delta d}}{\lambda } = \dfrac{{5\pi }}{3} \to \lambda  = \dfrac{6}{5}\Delta d = \dfrac{6}{5}.5 = 6cm\\ \to v = \lambda f = 6.10 = 60cm/s\end{array}$

Do $N$ sớm pha hơn $M$

=> Sóng truyền từ $N$ đến $M$

Ta có: Độ lệch pha giữa hai điểm MN là: $\Delta \varphi  = \frac{{2\pi \Delta d}}{\lambda } = \frac{{2\pi \frac{\lambda }{3}}}{\lambda } = \frac{{2\pi }}{3}$

Giả sử dao động tại M sớm pha hơn dao động tại N.

Cách 1: Dùng phương trình sóng

Ta có thể viết:

$\begin{array}{l}{u_M} = Ac{\rm{os}}\omega t =  + 3cm{\rm{                (1)}}\\{u_N} = Ac{\rm{os}}\left( {\omega t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) =  - 3cm{\rm{    (2)}}\end{array}$

Lấy (1) + (2), ta được:

$\begin{array}{l}{u_M} + {u_N} = 0 = Ac{\rm{os}}\omega t + Ac{\rm{os}}\left( {\omega t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\ \leftrightarrow 2Ac{\rm{os}}\frac{\pi }{3}{\rm{cos}}\left( {\omega t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \to \omega t - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ \to \omega t = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \end{array}$

Thay vào (1), ta được:

$Ac{\rm{os}}\left( {\frac{{5\pi }}{6} + k\pi } \right) = 3$

Do A > 0,

$Ac{\rm{os}}\left( {\frac{{5\pi }}{6} - \pi } \right) = 3 \to Ac{\rm{os}}\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = 3 \to A = 2\sqrt 3 cm$

=> Chọn C

Cách 2: Sử dụng vòng tròn lượng giác

Xác định tọa độ N, M trên vòng tròn lượng giác, ta được:

Từ vòng tròn lượng giác, ta có:

$\begin{array}{l}\angle NOK = \angle KOM = \frac{{\Delta \varphi }}{2} = \frac{\pi }{3}\\ \to {\rm{A}}\sin \frac{\pi }{3} = 3cm \to A = 2\sqrt 3 cm\end{array}$

Ta có:

${u_O} = A\sin (\frac{{2\pi }}{T}t)(cm) \to {u_M}{\rm{ = Asin}}\left( {\frac{{2\pi }}{T}t - \frac{{2\pi x}}{\lambda }} \right)$

Thay t = T/2 và x = λ/3 vào phương trình dao động tại M, ta được:

$\begin{array}{l}{u_M}{\rm{ = Asin}}\left( {\frac{{2\pi }}{T}t - \frac{{2\pi x}}{\lambda }} \right) \leftrightarrow {\rm{Asin}}\left( {\frac{{2\pi }}{T}\frac{T}{2} - \frac{{2\pi \frac{\lambda }{3}}}{\lambda }} \right) = 2\\ \to A\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2 \to A = \frac{4}{{\sqrt 3 }}cm\end{array}$

Ta có:

- Phương trình sóng tại O:

${u_0} = Ac{\rm{os}}\left( {\omega t - \frac{\pi }{2}} \right)cm$

- Phương trình sóng tại M:

${u_M} = Ac{\rm{os}}\left( {\omega t - \frac{\pi }{2} - \frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right)cm$

Tại t = 5T/6 và d = λ/6

$\begin{array}{l}{u_M} = Ac{\rm{os}}\left( {\frac{{2\pi }}{T}\frac{{5T}}{6} - \frac{\pi }{2} - \frac{{2\pi \frac{\lambda }{6}}}{\lambda }} \right) =  - 2cm\\ \to Ac{\rm{os}}\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) =  - 2 \to A = \frac{4}{{\sqrt 3 }}cm\end{array}$

Từ phương trình sóng, ta có:

$\frac{{2\pi x}}{\lambda } = \pi x \to \lambda  = 2m$

Độ lệch pha giữa 2 điểm M, N là:

$\Delta \varphi  = \frac{{2\pi x}}{\lambda } = \frac{{2\pi .5}}{2} = 5\pi$

=> M và N dao động ngược pha nhau

=> Khi M đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì N đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm

Ta có:

$u = {\rm{a}}\sin \left( {7\pi t + 0,4\pi x + \dfrac{\pi }{3}} \right)(m,s)$

Ta thấy $"+0,4{\pi}x"$

=> Sóng chạy theo chiều âm của trục x

$\dfrac{{2\pi x}}{\lambda } = 0,4\pi x \to \lambda  = \dfrac{2}{{0,4}} = 5m$

Vận tốc truyền sóng:

$v = \lambda f = \lambda \dfrac{\omega }{{2\pi }} = 5.\dfrac{{7\pi }}{{2\pi }} = 17,5m/s$

Tần số góc:

$\omega  = 2\pi f = 2\pi .50 = 100\pi \left( {ra{\rm{d}}/s} \right)$

Góc quyét của M từ t₁ đến t₂ là:

$\Delta \varphi  = \omega \Delta t = 100\pi .2,01 = 201\pi$

=> li độ của M tại t₁ và t₂ ngược pha nhau

=> tại t₂ M có li độ là -2cm

Xác định tọa độ các điểm tại các thời điểm t₁ và t₂

Từ vòng tròn lượng giác, ta có:

B quay góc 90⁰ => Tại t₂ li độ B chính bằng biên độ

A, C cũng tương tự

Ta có:

$\frac{{4,{8^2}}}{{{A^2}}} + \frac{{5,{5^2}}}{{{A^2}}} = 1 \to A = \sqrt {4,{8^2} + 5,{5^2}}  = 7,3mm$

Bước sóng:

$\lambda  = vT = 40.0,5 = 20cm$

Tần số góc:

$\omega  = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{0,5}} = 4\pi ra{\rm{d}}/s$

PT sóng tại M:

${u_M} = 5c{\rm{os}}\left( {4\pi t - \frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right) = 5c{\rm{os}}\left( {4\pi t - \frac{{2\pi .50}}{{20}}} \right) = 5c{\rm{os}}\left( {4\pi t - 5\pi } \right)$

PT sóng tại O: $u = ac{\rm{os}}\omega {\rm{t}}\left( {cm} \right)$

PT sóng tại M:

${u_M} = ac{\rm{os}}\left( {\omega t \pm \frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right) = ac{\rm{os}}\left( {\omega t \pm \frac{{2\pi \frac{\lambda }{3}}}{\lambda }} \right) = ac{\rm{os}}\left( {\omega t \pm \frac{{2\pi }}{3}} \right)$

Tại thời điểm t = 0,5T thì u = 5cm

$\begin{array}{l}{u_M} = ac{\rm{os}}\left( {\omega \frac{T}{2} \pm \frac{{2\pi }}{3}} \right) = ac{\rm{os}}\left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{2} \pm \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\ = ac{\rm{os}}\left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{2} \pm \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 5cm\\ \leftrightarrow ac{\rm{os}}\left( {\pi  \pm \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 5cm \to a = 10cm\end{array}$

=> Phương trình sóng tại M: ${u_M} = 10\cos (\omega t - \frac{{2\pi }}{3})cm$

Bước sóng:

$\lambda  = vT = v\dfrac{{2\pi }}{\omega } = 1,2\dfrac{{2\pi }}{{2\pi }} = 1,2m$

Sóng truyền từ N đến M, ta có phương trình sóng tại M là:

${u_M} = 0,02c{\rm{os}}\left( {2\pi t - \dfrac{{2\pi d}}{\lambda }} \right) = 0,02c{\rm{os}}\left( {2\pi t - \dfrac{{2\pi 0,9}}{{1,2}}} \right) = 0,02c{\rm{os}}\left( {2\pi t - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)m$

Bước sóng:

$\lambda  = vT = v\frac{{2\pi }}{\omega } = 5\frac{{2\pi }}{{5\pi }} = 2m$

Do M nằm trước O, ta có phương trình dao động của M là:

${u_M} = 6c{\rm{os}}\left( {5\pi t + \frac{\pi }{2} + \frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right) = 6c{\rm{os}}\left( {5\pi t + \frac{\pi }{2} + \frac{{2\pi 0,5}}{2}} \right) = 6c{\rm{os}}\left( {5\pi t + \pi } \right)$

+ Độ lệch pha giữa hai điểm gần nhau nhất cách nhau $6m$ trên phương truyền sóng dao động lệch pha nhau $\Delta \varphi  = \dfrac{{2\pi d}}{\lambda } = \dfrac{{2\pi }}{3}$

$\Rightarrow \lambda  = \dfrac{{2\pi .6}}{{\dfrac{{2\pi }}{3}}} = 18m$

Lại có: $\lambda  = \dfrac{v}{f} \Rightarrow f = \dfrac{v}{\lambda } = \dfrac{{20}}{{18}} = \dfrac{{10}}{9}Hz$

$\Rightarrow \omega  = 2\pi f = \dfrac{{20\pi }}{9}\left( {rad/s} \right)$

+ Phương trình sóng tại N: ${u_N} = 4cos\left( {\dfrac{{20\pi }}{9}t - \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{2\pi .ON}}{\lambda }} \right) = 4\cos \left( {\dfrac{{20\pi }}{9}t - \dfrac{{5\pi }}{9}} \right)cm$

Phương trình sóng tại M cách O một khoảng  $\dfrac{1}{3}$ bước sóng là:

${u_M} = A.\cos \left( {\dfrac{{2\pi t}}{T} - \dfrac{{2\pi .\dfrac{\lambda }{3}}}{\lambda }} \right) = A.\cos \left( {\dfrac{{2\pi t}}{T} - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)cm$

Tại $t = \dfrac{T}{2}$ li độ u_M = 2cm. Ta có:

${u_M} = 2 \Leftrightarrow A.\cos \left( {\dfrac{{2\pi .\dfrac{T}{2}}}{T} - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = 2cm \Rightarrow A = \dfrac{2}{{\cos \dfrac{\pi }{3}}} = 4cm$