Bài tập sóng cơ - đồ thị sóng cơ học

Từ đồ thị ta thấy rằng 2 thời điểm \({t_1}\) và \({t_2}\) vuông pha nhau, do đó:

\(\begin{array}{l}\Delta \varphi  = \omega \Delta t = \omega 0,5 = \left( {2k + 1} \right)\dfrac{\pi }{2}\\ \to \omega  = \left( {2k + 1} \right)\pi ra{\rm{d}}/s\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{{u_{1N}}}}{A}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{u_{2N}}}}{A}} \right)^2} = 1\\ \to A = \sqrt {{u_{1N}}^2 + {u_{2N}}^2}  = \sqrt {{{\left( 8 \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}}  = 10mm\end{array}\)

- Tại thời điểm t₁ điểm N đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm do vậy tốc độ của N sẽ là:

\({v_{{N_1}}} = \omega A = 10\pi \left( {2k + 1} \right)mm/s\)

- Vận tốc của N tại thời điểm \({t_0} = {t_1} - \dfrac{1}{9}s\) là \({v_{{N_0}}} =  - {v_{{N_1}}}{\rm{cos}}\left( {2k + 1} \right)\dfrac{\pi }{9}mm/s\)

Với k = 1 \( \to {v_{{N_0}}} =  - 10\pi .3{\rm{cos}}\dfrac{{3\pi }}{9}mm/s =  - 47,12mm/s =  - 4,71cm/s\)

Từ đồ thị ta có:

\(\dfrac{\lambda }{2} = 36 - 12 = 24 \to \lambda  = 48cm\)

+ Từ đồ thị ta thấy:

- Khoảng thời gian \({t_1} = \frac{{3T}}{4} = 0,05s \to T = \frac{1}{{15}}s\)

Tần số góc: \(\omega  = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{\frac{1}{{15}}}} = 30\pi \left( {rad/s} \right)\)

- Bước sóng: \(\lambda  = vT = 3.\frac{1}{{15}} = 0,2m = 20cm\)

Từ đồ thị ta suy ra phương trình sóng tại M và N

- PTDĐ tại M: \({u_M} = A\cos \omega (t - \frac{{{d_1}}}{v})\)

\({u_M} = 4\cos (30\pi t - \frac{\pi }{3})cm\)

- PTDĐ tại N: .\(\)\({u_N} = 4\cos (30\pi t)cm\)

Độ lệch pha giữa hai sóng: \(\Delta \varphi  = \frac{\pi }{3} - 0 = \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi x}}{\lambda } \to x = \frac{\lambda }{6} = \frac{{20}}{6} = \frac{{10}}{3}cm\)

+ Tại \(t = {t_2} = \frac{T}{6} + \frac{T}{4} + T = \frac{{17T}}{{12}} = \frac{{17}}{{12}}.\frac{1}{{15}} = \frac{{17}}{{180}}s\) (N đi từ \(\frac{A}{2}\left( { + 2} \right) \to A\left( { + 4} \right) \to 0\)  rồi đi thêm 1 chu kì nữa):

\(\begin{array}{l}{u_M} = 0cm\\{u_M} = 4\cos (30\pi {t_2}) = 4cos\left( {30\pi .\frac{{17}}{{180}}} \right) = 4cos\left( {\frac{{11\pi }}{6}} \right) =  - 2\sqrt 3 cm\end{array}\)

 Khoảng cách giữa hai phần tử M và N tại  \({t_2}\) là:

 \(d = \sqrt {{x^2} + \Delta {u^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{10}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {0 - \left( { - 2\sqrt 3 } \right)} \right)}^2}}  = \frac{{4\sqrt {13} }}{3} \approx 4,81cm\) 

Từ hình vẽ ta xác định được:

Tại t₁: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_M} = 20mm\\{u_N} = 15,3mm\end{array} \right.\)

Tại t₂: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_M} = 20mm\\{u_N} =  + Amm\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\frac{\alpha }{2} = \frac{{20}}{A}\\{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{{{\rm{15,3}}}}{A}{\rm{ = 2co}}{{\rm{s}}^2}\left( {\frac{\alpha }{2}} \right) - 1\end{array} \right.\\ \to \frac{{{\rm{15,3}}}}{A} = 2.{(\frac{{20}}{A})^2} - 1\\ \to \frac{1}{A} = 0,0462 \to A = 21,6mm\end{array}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}cos\alpha  = \frac{{15,3}}{A} = \frac{{15,3}}{{21,6}} = 0,7083\\ \to \alpha  = 44,{9^0} \approx 0,25\pi \left( {rad} \right)\end{array}\)

Mặt khác, ta có: \(\alpha  = \omega \Delta t \to \omega  = \frac{\alpha }{{\Delta t}} = \frac{{0,25\pi }}{{\frac{1}{{24}}}} = 6\pi \left( {rad/s} \right)\)

\( \to {v_{{\rm{max}}}} = A\omega  = 21,6.6\pi  \approx 407mm/s = 40,7cm/s\)

Từ đồ thị ta xác định được:

Tại \({t_1}\) : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_M} = 1,52cm\\{u_N} = 0,35cm\end{array} \right.\)

Tại \({t_2}\): \(\left\{ \begin{array}{l}{u_M} = 1,52mm\\{u_N} =  + Amm\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\frac{\alpha }{2} = \frac{{1,52}}{A}\\{\rm{cos}}\alpha  = \frac{{0,35}}{A} = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {\frac{\alpha }{2}} \right) - 1\end{array} \right.\\ \to \frac{{0,35}}{A} = 2.{(\frac{{1,52}}{A})^2} - 1\\ \to \frac{1}{A} = 0,5046 \to A = 1,98cm\end{array}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}cos\alpha  = \frac{{0,35}}{A} = \frac{{0,35}}{{1,98}} = 0,1767\\ \to \alpha  = 79,{82^0} \approx 0,44\pi \left( {rad} \right)\end{array}\)

Mặt khác, ta có: \(\alpha  = \omega \Delta t \to \omega  = \frac{\alpha }{{\Delta t}} = \frac{{0,44\pi }}{{0,11}} = 4\pi \left( {rad/s} \right)\)

=> Chu kì dao động: \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,5s\)

Ta có: \(AD = \dfrac{{3\lambda }}{4} = 60 \Rightarrow \lambda  = 8{\rm{0 (cm)}} \Rightarrow {\rm{v  =  }}\lambda f = {\rm{8 (m/s)}}\)

Từ hình vẽ ta thấy sóng truyền từ \(E\) đến \(A\)

Từ đồ thị ta có:

\(\frac{\lambda }{2} = 9 - 3 = 6 \to \lambda  = 12m\)

Tốc độ lan truyền sóng:

\(v = \frac{\lambda }{T} = \frac{{12}}{3} = 4m/s\) 

Theo phương truyền sóng, các phần tử trước đỉnh sóng sẽ đi xuống, sau đỉnh sóng sẽ đi lên.

Từ đồ thị ta có, điểm M sau đỉnh sóng đang đi lên

=> Sóng truyền từ B đến A và N cũng đang đi lên

Từ đồ thị dao động sóng ta có: ∆x = 3ô; λ = 8ô

Vận tốc truyền sóng:

\(v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} = \frac{{3ô }}{{0,3}}\)

Chu kì dao động sóng:

\(T = \frac{\lambda }{v} = \frac{{8ô }}{{\frac{{3ô }}{{0,3}}}} = 0,8{\rm{s}}\)

Từ đồ thị, ta có: \(\lambda  = 4m\)

Chu kì dao động: \(T = \dfrac{\lambda }{v} = \dfrac{4}{4} = 1{\rm{s}}\)

Từ đồ thị ta thấy rằng tại vị trí \(x = 0\), ta có:

+ Tại \(t = 0\), \(u = 0\) và đang đi xuống \( \Rightarrow {\varphi _0} = \dfrac{\pi }{2}\)

+ Tại thời điểm \(t\) , \(u = A\) \( \Rightarrow {\varphi _t} = 0\)

=> Hai thời điểm này vuông pha nhau: \( \to \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{T}{4}\\t = \dfrac{{3T}}{4}\end{array} \right.\)

=> Sóng truyền từ phải qua trái \( \to t = \dfrac{{3T}}{4} = \dfrac{3}{4}s\)

Từ đồ thị, ta có: λ = 24cm

Độ lệch pha giữa 2 phần tử:

\(\Delta \varphi  = \frac{{2\pi \Delta x}}{\lambda } = \frac{{2\pi 8}}{{24}} = \frac{{2\pi }}{3}ra{\rm{d}}\)  

Khoảng cách giữa hai phần tử sóng:

\(d = \sqrt {\Delta {x^2} + \Delta {u^2}} \)

với ∆x là không đổi, d lớn nhất khi ∆u lớn nhất

Ta có:

\(\Delta u = {\left( {{u_M} - {u_N}} \right)_{{\rm{max}}}} = \sqrt {{A^2} + {A^2} - 2{\rm{AAcos}}\left( {\Delta \varphi } \right)}  = \sqrt {{A^2} + {A^2} - 2{\rm{AAcos}}\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}  = \sqrt 3 A = \sqrt 3 cm\)

\( \to {d_{{\rm{max}}}} = \sqrt {\Delta {x^2} + \Delta {u_{{\rm{max}}}}^2}  = \sqrt {{8^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 8,2cm\)

Từ đồ thị dao động sóng, ta có:

\(\frac{\lambda }{2} = 6 - 3 = 3 \to \lambda  = 6cm\) ; biên độ sóng a = 2cm

Tại cùng một vị trí trong không gian, ở hai thời điểm t₁ và t₂ phần tử môi trường đều có li độ là 1cm nhưng di chuyển theo 2 chiều ngược nhau, ta có:

\(\Delta \varphi  = \omega \Delta t \leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} = \omega \frac{1}{{12}} \to \omega  = 8\pi ra{\rm{d}}/s\)

\( \to u = 2c{\rm{os}}\left( {8\pi t - \frac{{\pi x}}{3}} \right)cm\)

- Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác, ta được:

- Độ lệch pha giữa hai điểm cách O các khoảng d₁ và d₂ như hình vẽ:

\(\begin{array}{l}\Delta \varphi  = \Delta {\varphi _t} + \Delta {\varphi _x} = 2\pi f\Delta t + \dfrac{{2\pi \Delta d}}{\lambda } = {240^0} = \dfrac{{4\pi }}{3}\\ \\\leftrightarrow \dfrac{{7\pi }}{{12}} + \dfrac{{2\pi \Delta d}}{\lambda } = \dfrac{{4\pi }}{3} \\\to \dfrac{{2\pi \Delta d}}{\lambda } = \dfrac{{3\pi }}{4} \\\to \lambda  = \dfrac{{8\Delta d}}{3} = \dfrac{{8.10}}{3} = \dfrac{{80}}{3}cm\end{array}\)

Tỉ số giữa tốc độ dao động cực đại của phần tử trên dây và tốc độ truyền sóng:

\(\delta  = \dfrac{{\omega A}}{v} = \dfrac{{\omega A}}{{\lambda f}} = \dfrac{{\omega A}}{{\lambda \dfrac{\omega }{{2\pi }}}} = \dfrac{{2\pi A}}{\lambda } = \dfrac{{2\pi 8}}{{\dfrac{{80}}{3}}} = \dfrac{{3\pi }}{5}\)

- Từ đồ thị ta có: \(\lambda  = 6,4m\)

Vận tốc truyền sóng: \(v = \dfrac{{\Delta {x_{12}}}}{{\Delta {t_{12}}}} = \dfrac{{7,2 - 6,4}}{{0,2}} = 4m/s\)

Tần số góc dao động của các phần tử: \(\omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{{\dfrac{\lambda }{v}}} = \dfrac{{2\pi v}}{\lambda } = \dfrac{{2\pi .4}}{{6,4}} = \dfrac{{5\pi }}{4}(ra{\rm{d}}/s)\)

- Độ  lệch pha giữa M và O:

\(\Delta \varphi  = \Delta {\varphi _x} + \Delta {\varphi _t} = \dfrac{{2\pi \Delta {x_{13}}}}{\lambda } + \omega \Delta {t_{13}} = \dfrac{{2\pi .2,4}}{{6,4}} + \dfrac{{5\pi }}{4}(0,2 + 0,4) = \dfrac{{3\pi }}{2}ra{\rm{d}}\)

Từ vòng tròn lượng giác, ta có: \({u_M} = a = \sqrt 3 cm \to \delta  = \dfrac{{\omega A}}{v} = \dfrac{{\dfrac{{5\pi }}{4}\sqrt 3 {{.10}^{ - 2}}}}{4} = 0,017\)

Ta có: \(\dfrac{\lambda }{4} = \dfrac{1}{{10}} \to \lambda  = 0,4m\)

Trong 1s sóng truyền đi được

\(S = \dfrac{3}{{20}} - \dfrac{1}{{10}} = \dfrac{1}{{20}}m \\\to v = \dfrac{S}{t} = 0,05m/s\)

Chu kì của sóng:

\(T = \dfrac{\lambda }{v} = 8{\rm{s}} \to \omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{\pi }{4}ra{\rm{d}}/s\)

Độ lệch pha dao động theo tọa độ x của M và điểm O :

\(\Delta \varphi  = \dfrac{{2\pi x}}{\lambda } = \dfrac{{2\pi \dfrac{{11}}{{30}}}}{{0,4}} = \dfrac{{11\pi }}{{6}}\)

tại t₁ M chuyển động theo chiều âm do nằm trước đỉnh sóng

Hai thời điểm t₁ và t₂ lệch nhau tương ứng một góc \(\omega t = \dfrac{\pi }{4}\)

(chú ý rằng M đang chuyển động ngược chiều dương => ta tính lệch về phía trái)

Tốc độ của M khi đó:

\(v =  - {v_{{\rm{max}}}}{\rm{cos}}\left( {{{15}^0}} \right) \approx  - 3,035cm/s\)

- Tại thời điểm t₁, điểm H có li độ u_H và đang tăng lên.

Đến thời điểm t₂, điểm H có li độ vẫn là u_H và đang giảm

- Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác, ta được:

Ta có:

\(u_M^2 = u_{N}^2 + u_H^2 \to \angle NP{H_{{t_1}}} = {90^0}\)

Ta để ý rằng vị trí từ M đến H_t1­ ứng với sự lệch pha nhau về mặt không gian (∆x), vị trí từ N đến H_t1 ứng với sự lệch pha về mặt thời gian (∆t).

Mặt khác M và N có cùng một vị trí trong không gian và

\({u_{{H_{{t_1}}}}} = {u_{{H_{{t_2}}}}} \to \alpha  = \beta  = {30^0}\)

Từ đó, ta có:

\({u_N} = \frac{A}{2} \to \Delta {\varphi _{{x_{PQ}}}} = \frac{{2\pi PQ}}{\lambda } = \frac{\pi }{6} \to PQ = \frac{\lambda }{{12}} = 4cm\)

Từ đồ thị ta thấy rằng 2 thời điểm t₁ và t₂ vuông pha nhau, do đó:

\(\Delta \varphi  = \omega \Delta t = \omega 0,5 = \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2} \to \omega  = \left( {2k + 1} \right)\pi ra{\rm{d}}/s\) \({\left( {\frac{{{u_{1N}}}}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{u_{2N}}}}{A}} \right)^2} = 1 \to A = \sqrt {{u_{1N}}^2 + {u_{2N}}^2}  = \sqrt {{{\left( {6,6} \right)}^2} + {{\left( { - 3,5} \right)}^2}}  = 7,5mm\)

- Tại thời điểm t₁ điểm N đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm do vậy tốc độ của N sẽ là:

\({v_{{N_1}}} = \omega A = 7,5\pi \left( {2k + 1} \right)mm/s\)

- Vận tốc của N tại thời điểm

\({t_0} = {t_1} - \frac{1}{9}s\) là

\({v_{{N_0}}} =  - {v_{{N_1}}}{\rm{cos}}\left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{9}mm/s\)

Với k = 1

\( \to {v_{{N_0}}} =  - 7,5\pi .3{\rm{cos}}\frac{{3\pi }}{9}mm/s =  - 35,3mm/s =  - 3,53cm/s\)

Từ đồ thị ta thấy:

+ Sau 0,25s N từ vị trí O lên A/2 \( \to \dfrac{T}{{12}} = 0,25 \to T = 3s \to \lambda  = vT = 9m\)

Từ đồ thị ta suy ra phương trình sóng tại M và N

- PTDĐ tại M: \({u_M} = 4\cos (\dfrac{{2\pi }}{3}t + \dfrac{\pi }{6})\) cm

- PTDĐ tại N: \({u_N} = 4\cos (\dfrac{{2\pi }}{3}t - \dfrac{\pi }{2})\)cm

Độ lệch pha giữa hai sóng: \(\Delta \varphi  = \dfrac{\pi }{6} - \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{{2\pi }}{3} = \dfrac{{2\pi x}}{\lambda } \to x = \dfrac{\lambda }{3} = \dfrac{9}{3} = 3cm\)

+ Tại \(t = 2,25s\):

\(\begin{array}{l}{u_M} = 4\cos (\dfrac{{2\pi }}{3}.2,25 + \dfrac{\pi }{6}) = 4cos\left( {\dfrac{{5\pi }}{3}} \right) = 2cm\\{u_M} = 4\cos (\dfrac{{2\pi }}{3}.2,25 - \dfrac{\pi }{2}) = 4cos\left( \pi  \right) =  - 4cm\end{array}\)

 Khoảng cách giữa hai phần tử M và N tại  \(t = 2,25s\) là: \(d = \sqrt {{x^2} + \Delta {u^2}}  = \sqrt {{{\left( 3 \right)}^2} + {{(2 - \left( { - 4} \right))}^2}}  = 3\sqrt 5 cm\)

Từ hình vẽ ta xác định được:

Tại t₁:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_M} = 20mm\\{u_N} = 15,4mm\end{array} \right.\)

Tại t₂:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_M} = 20mm\\{u_N} =  + Amm\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\frac{\alpha }{2} = \frac{{20}}{A}\\{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{{{\rm{15,3}}}}{A}{\rm{ = 2co}}{{\rm{s}}^2}\left( {\frac{\alpha }{2}} \right) - 1\end{array} \right. \to \frac{{{\rm{15,3}}}}{A} = 2.{(\frac{{20}}{A})^2} - 1 \to \frac{1}{A} = 0,0462 \to A = 21,6mm\)

\(\begin{array}{l}\omega  = 5\pi {\rm{r}}a{\rm{d}}/s\\ \to {v_{{\rm{max}}}} = A\omega  = 21,6.5\pi  \approx 340mm/s = 34cm/s\end{array}\)

Từ đồ thị ta có:\(AD = \dfrac{\lambda }{2} + \dfrac{\lambda }{4} = \dfrac{{3\lambda }}{4} = 60cm \Rightarrow \lambda  = 80cm = 0,8m\)

Tốc độ truyền sóng: \(v = \lambda .f = 0,8.10 = 8m/s\)

Vậy sóng truyền từ E đến A với tốc độ 8m/s.