Sóng dừng

Ta có M, N, P là các vị trí cân bằng liên tiếp có cùng biên độ và \({v_N}.{v_P} \ge 0\)

Ta suy ra: N và P nằm trên một bó sóng: \(\dfrac{\lambda }{4} = \dfrac{1}{2}\left( {MN + NP} \right) = 30cm\)

\( \Rightarrow \lambda  = 120cm\)

Lại có, biên độ: \(A = {A_b}\sin \dfrac{{2\pi d}}{\lambda } = \sqrt 3 cm\)  (với \(d\) khoảng cách tới nút)

Ta suy ra: \({A_b}\sin \dfrac{{2\pi .20}}{{120}} = \sqrt 3  \Rightarrow {A_b} = 2 cm\)

Vận tốc của phần tử tại trung điểm N, P khi dây duỗi thẳng là vận tốc khi qua vị trí cân bằng

\(v = {v_{max}} = {A_b}.\omega  = 2  .20 = 40 \left( {cm/s} \right)\)

Tần số trên dây với n bó sóng là: \(f = n.{f_0}\)

Trên dây có 4 bụng sóng → có 4 bó sóng, tần số tương ứng là: \(1760 = 4{f_0} \Rightarrow {f_0} = 440\left( {Hz} \right)\)

Để giá trị tần số nhỏ nhất mà trên dây vẫn còn sóng dừng, số bó sóng trên dây là nhỏ nhất:

\({n_{\min }} = 1 \Rightarrow {f_{\min }} = 1.{f_0} = 1.440 = 440\,\,\left( {Hz} \right)\)

Trên dây hình thành 2 bụng sóng, ta có:

\({\rm{l}} = k\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow 120 = 2.\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow \lambda  = 120\,\,\left( {cm} \right)\)

Biên độ của điểm P là:

\(\begin{array}{l}{A_P} = {A_{bung}}.\left| {\sin \dfrac{{2\pi x}}{\lambda }} \right| \Rightarrow \dfrac{A}{2} = A.\left| {\sin \dfrac{{2\pi x}}{{120}}} \right|\\ \Rightarrow \left| {\sin \dfrac{{2\pi x}}{{120}}} \right| = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 10\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Tốc độ truyền sóng trên dây trung bình là: \(\overline v  = \overline \lambda  \overline f  = 2\overline {\rm{l}} \overline f  = 2.0,02.100 = 4\,\,\left( m \right)\)

Do \({\rm{l}} = \dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow \dfrac{{\Delta {\rm{l}}}}{{\overline {\rm{l}} }} = \dfrac{{\Delta \lambda }}{{\overline \lambda  }}\)

Sai số tỉ đối là: \(\delta  = \dfrac{{\Delta v}}{{\overline v }} = \dfrac{{\Delta \lambda }}{{\overline \lambda  }} + \dfrac{{\Delta f}}{{\overline f }} = \dfrac{{\Delta {\rm{l}}}}{{\overline {\rm{l}} }} + \dfrac{{\Delta f}}{{\overline f }} = 0,82\%  + 0,02\%  = 0,84\% \)

Vậy tốc độ truyền sóng trên dây là: \(v = 4\,\,m/s \pm 0,84\% \)

Khi trên dây có 1 bó sóng, ta có chiều dài dây là: \({\rm{l}} = \dfrac{v}{{2{f_1}}}\)

Khi trên dây có 7 bó sóng, chiều dài dây là: \({\rm{l}} = 7\dfrac{v}{{2{f_7}}}\)

\( \Rightarrow {\rm{l}} = 7\dfrac{v}{{2{f_7}}} = \dfrac{v}{{2{f_1}}} = \dfrac{{6v}}{{2\left( {{f_7} - {f_1}} \right)}} \Rightarrow {f_1} = \dfrac{{{f_7} - {f_1}}}{6} = \dfrac{{150}}{6} = 25\,\,\left( {Hz} \right)\)

Khi trên dây có 4 nút sóng, số bó sóng trên dây là 3, khi đó ta có:

\({\rm{l}} = 3\dfrac{v}{{2{f_3}}} = \dfrac{v}{{2{f_1}}} \Rightarrow {f_3} = 3{f_1} = 3.25 = 75\,\,\left( {Hz} \right)\)

Biên độ của sóng tại B và C:

\(\left\{ \begin{array}{l}{a_B} = {A_B}.\left| {\sin \dfrac{{2\pi .AB}}{\lambda }} \right| = 2.\left| {\sin \dfrac{{2\pi .1}}{{12}}} \right| = 1cm\\{a_C} = {A_B}.\left| {\sin \dfrac{{2\pi .AC}}{\lambda }} \right| = 2.\left| {\sin \dfrac{{2\pi .8}}{{12}}} \right| = \sqrt 3 cm\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1} = \sqrt {A{B^2} + a_B^2}  = \sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 cm\\{d_2} = \sqrt {A{C^2} + a_C^2}  = \sqrt {{8^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  = \sqrt {67} cm\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{d_2}}}{{{d_1}}} = 5,8\)

Từ hình vẽ, dễ thấy khoảng cách nhỏ nhất từ các đầu dây M, N đến một nút sóng lần lượt là \(8x\) và \(4x\), nên biên độ dao động của các phần tử tại hai điểm này lần lượt là

\({A_M} = {A_0}\sin \left( {\dfrac{{2\pi 8x}}{\lambda }} \right)\)

\({A_N} = {A_0}\sin \left( {\dfrac{{2\pi 4x}}{\lambda }} \right)\)

Trong đó, \({A_0}\) là biên độ dao động của bụng sóng.

Hai điểm M, N thuộc hai bó sóng cạnh nhau nên dao động ngược pha nhau:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{u_M}}}{{{A_M}}} =  - \dfrac{{{u_N}}}{{{A_N}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{u_{{M_1}}} - {u_{{M_2}}}}}{{{A_M}}} = \dfrac{{{u_{{N_2}}} - {u_{{N_1}}}}}{{{A_N}}}\end{array}\)

Theo đầu bài, ta có: \(\dfrac{{{u_{{M_1}}} - {u_{{M_2}}}}}{{{u_{{N_2}}} - {u_{{N_1}}}}} = \dfrac{{{M_1}{M_2}}}{{{N_1}{N_2}}} = \dfrac{8}{5}\) 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{A_M}}}{{{A_N}}} = \dfrac{{{A_0}\sin \left( {\dfrac{{2\pi 8x}}{\lambda }} \right)}}{{{A_0}\sin \left( {\dfrac{{2\pi 4x}}{\lambda }} \right)}} = \dfrac{8}{5}\\ \Rightarrow \dfrac{{\sin \left( {\dfrac{{2\pi 8x}}{{50}}} \right)}}{{\sin \left( {\dfrac{{2\pi 4x}}{{50}}} \right)}} = \dfrac{8}{5}\\ \Rightarrow x = 1,28cm\end{array}\)

Vận tốc của sóng là: $v=\frac{s}{t}=\frac{L}{1}=L$

Tần số của sóng là: $f=\frac{v}{\lambda }=\frac{L}{\lambda }.$

Khi tần số sóng là \(f\) thì \(l = k\dfrac{v}{{2f}} \Rightarrow \dfrac{v}{{2l}} = \dfrac{k}{f} = \dfrac{9}{f}\) (1)

Khi tần số là \(\dfrac{4}{3}f\) thì: \(\dfrac{v}{{2l}} = \dfrac{{3k}}{{4f}}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\dfrac{9}{f} = \dfrac{{3k}}{{4f}} \Rightarrow k = 12\)

Khi có sóng dừng chiều dài dây thỏa mãn biểu thức

\(l = \left( {2k + 1} \right)\frac{\lambda }{4} = \left( {2k + 1} \right)\frac{v}{{4f}} \Rightarrow f = \left( {2k + 1} \right)\frac{v}{{4l}} = \left( {2k + 1} \right)\frac{5}{4}\)  

Theo đề bài \(50 \le f \le 75\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 50 \le \left( {2k + 1} \right)\frac{5}{4} \le 75 \Leftrightarrow 19,5 \le k \le 29,5\\ \Rightarrow k = 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29\end{array}\)

Có 10 giá trị của k

\( \Rightarrow \) Trong quá trình thay đổi tần số rung, số lần tạo ra sóng dừng trên dây là 10 lần.

Xét bài toán: Điều kiện để M và N dao động cùng pha và cùng biên độ

M cùng pha và cùng biên độ với các điểm \({N_1},{N_2},...\)

Xét các điểm \({N_1},{N_3},{N_5}\): \(\left\{ \begin{array}{l}A{N_1} + AM = 1\frac{\lambda }{2}\\A{N_3} + AM = 3\frac{\lambda }{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Tổng quát: \(AN + AM = {k_1}\frac{\lambda }{2}\)  (với \({k_1} = 1,3,5,....\) )

Xét các điểm \({N_2},{N_4},{N_6}\): \(\left\{ \begin{array}{l}A{N_2} - AM = 2\frac{\lambda }{2}\\A{N_4} - AM = 4\frac{\lambda }{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Tổng quát: \(AN - AM = {k_2}\frac{\lambda }{2}\) (với \({k_2} = 2,4,6,....\) )

Quay về bài:

+ Gọi số bó sóng trên dây: \(k\) \(\left( {5 \le k \le 19} \right)\), ta có: \(l = k\frac{\lambda }{2}\) \( \Rightarrow \frac{\lambda }{2} = \frac{l}{k} = \frac{{96}}{k}\) với \(\left( {5 \le k \le 19} \right)\)

+ Điều kiện để M và N cùng pha và cùng biên độ là:

\(\left[ \begin{array}{l}AN + AM = {k_1}\frac{\lambda }{2} = 120cm\\AN - AM = {k_2}\frac{\lambda }{2} = 18cm\end{array} \right.\) (với \({k_1} = 1,3,5,....\) và \({k_2} = 2,4,6,....\))\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{k_1} = \frac{{120}}{{\frac{\lambda }{2}}} = \frac{{5k}}{4}\\{k_2} = \frac{{18}}{{\frac{\lambda }{2}}} = \frac{{3k}}{{16}}\end{array} \right.\)

Thay \(k = 5,6,...,19\) vào 2 biểu thức trên, ta được bảng:

Chỉ có \(\left\{ \begin{array}{l}k = 12\\{k_1} = 15\end{array} \right.\) thỏa mãn \(\frac{\lambda }{2} = \frac{{96}}{{12}} = 8cm\)

\(MA = 51cm = 6\frac{\lambda }{2} + 3cm\) \( \Rightarrow M\) cách nút sóng \(3cm\) \( \Rightarrow \) M cách bụng gần nhất: \(4 - 3 = 1cm\)

(Do khoảng cách giữa 1 nút à 1 bụng gần nhất là \(\frac{\lambda }{4} = 4cm\))

Khi khoảng cách giữa piston và đầu hởi của ống là \(L = 45cm\) thì đầu hở của ống nghe thấy âm thanh lớn

\( \Rightarrow \) Đầu piston là nút sóng, đầu hở là bụng sóng.

Ta có hình vẽ minh họa:

Áp dụng điều kiện có sóng dừng một đầu là nút sóng một đầu là bụng sóng ta có:

\(l = \left( {2k + 1} \right)\dfrac{\lambda }{4} = \left( {2k + 1} \right)\dfrac{v}{{4f}} \Rightarrow f = \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)v}}{{4.L}}\)

Để \({f_{\min }} \Leftrightarrow {k_{\min }} = 0\) \( \Rightarrow {f_{\min }} = \dfrac{v}{{4.L}} = \dfrac{{330}}{{4.0,45}} = 183,33Hz\)

Nhận xét: hai điểm S, T đối xứng qua nút sóng \( \to \) S, T dao động ngược pha

Khoảng cách từ S và T tới nút sóng gần nhất là R là:

\(RS = RT = x \Rightarrow {A_S} = {A_T}\)

→ Hai điểm S, T dao động cùng biên độ, ngược pha (lệch pha 180⁰)

Ứng dụng của hiện tượng sóng dừng là để tính ra tốc độ truyền sóng trên vật tạo ra sóng dừng (sợi dây,…)