Giá trị của biểu thức \(\sqrt {125} - 4\sqrt {45} + 3\sqrt {20} - \sqrt {80} \) là:
\(\sqrt {125} - 4\sqrt {45} + 3\sqrt {20} - \sqrt {80} \)\( = \sqrt {25.5} - 4\sqrt {9.5} + 3\sqrt {4.5} - \sqrt {16.5} = 5\sqrt 5 - 4.3\sqrt 5 + 3.2\sqrt 5 - 4\sqrt 5 \)
\( = 5\sqrt 5 - 12\sqrt 5 + 6\sqrt 5 - 4\sqrt 5 = - 5\sqrt 5 .\)
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với \(x \ge 0\). So sánh \(A\) với \(2\).
Ta xét hiệu: \(A - 2 = \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} - 2 = \dfrac{{2\sqrt x + 1 - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)
Vì \( - 1 < 0\) và \(\sqrt x \ge 0,\,\forall x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \ge 1 > 0\) nên \(\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x + 1}} < 0\) hay \(A - 2 < 0 \Leftrightarrow A < 2.\).
Cho biểu thức \(B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}\)với \(x \ge 0\). So sánh \(B\) với \(1\).
Cách 1: Ta có \(B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 2} \right) + 1}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}\)
Vì \(x \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 > 0\) suy ra \(\dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} > 0 \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 2} }} > 1\) hay \(B > 1\).
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\). Tìm các giá trị của \(x\) biết \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{2}\) .
Với \(x \ge 0;x \ne 4\) ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{2}\)
\( \Rightarrow 2\left( {\sqrt x + 1} \right) = \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2 = x - 3\sqrt x + 2\)
\( \Leftrightarrow x - 5\sqrt x = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {tm} \right)\\x = 25\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy giá trị cần tìm là \(x = 0;x = 25\).
Cho \(P = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\). Có bao nhiêu giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để \(P \in \mathbb{Z}\).
TH1: \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì \(\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}\) là số vô tỉ hay \(P\) là số vô tỉ (loại).
TH2: \(\sqrt x \) là số nguyên.
Ta có: \(P = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} = \dfrac{{\sqrt x - 2 + 5}}{{\sqrt x - 2}} \)\(= \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{5}{{\sqrt x - 2}} = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt x - 2}}\)
Vì \(1 \in \mathbb{Z}\) nên để \(P = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt x - 2}}\) nhận giá trị nguyên thì \(\dfrac{5}{{\sqrt x - 2}} \in \mathbb{Z}\) hay \(5 \,\vdots \,\left( {\sqrt x - 2} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 2} \right) \in Ư\left( 5 \right) = \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\}\)
+) \(\sqrt x - 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\left( {tm} \right)\)
+) \(\sqrt x - 2 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)\)
+) \(\sqrt x - 2 = 5 \Leftrightarrow \sqrt x = 7 \Leftrightarrow x = 49\left( {tm} \right)\)
+) \(\sqrt x - 2 = - 5 \Leftrightarrow \sqrt x = - 3\) (vô nghiệm vì \(\sqrt x \ge 0\) với mọi \( x \ge 0\))
Vậy có ba giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện là \(x = 1;x = 9;x = 49\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\)
Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
Ta có: \(P = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}.\)
Với \(\forall x \ge 0,\,\,x \ne 4\) ta có: \(\sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \ge 1\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} \le 1\)\( \Rightarrow P \le 1\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy với \(x = 0\) thì giá trị lớn nhất của \(P\) là \(1.\)
Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 3 - 2\sqrt 2 .\)
Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
Ta có: \(x = 3 - 2\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2}\) thỏa mãn điều kiện.
\( \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} \) \( = \left| {\sqrt 2 - 1} \right| = \sqrt 2 - 1\) \(\left( {do\,\,\,\sqrt 2 - 1 > 0} \right)\)
Thay \(\sqrt x = \sqrt 2 - 1\) vào biểu thức \(P\) ta được: \(P = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 - 1 + 1}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy với \(x = 3 - 2\sqrt 2 \) thì \(P = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Rút gọn P ta được:
Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{{2\sqrt x - 7}}{{x - \sqrt x - 2}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{{2\sqrt x - 7}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x + 1 - 2\left( {\sqrt x - 2} \right) + 2\sqrt x - 7}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x + 1 - 2\sqrt x + 4 + 2\sqrt x - 7}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}\)
Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\) thì \(P = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}.\)
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \) là:
\(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \)\( = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \)
\(= \left| {4 - \sqrt 5 } \right| - \left| {\sqrt 5 - 1} \right| \)
\(= 4 - \sqrt 5 - \sqrt 5 + 1 =5-2\sqrt 5 \)
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \) là
\(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \)\( = \sqrt {16.2} + \sqrt {25.2} - 3\sqrt {4.2} - \sqrt {9.2} \)
\(= 4\sqrt 2 + 5\sqrt 2 - 6\sqrt 2 - 3\sqrt 2 = 0\)
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} - \sqrt {25a} \) với \(a > 0\) ta được
\(5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} - \sqrt {25a} \)\( = 5\sqrt a + 2.\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt 4 }} - a\dfrac{{\sqrt {4a} }}{a} - 5\sqrt a \)\( = 5\sqrt a + \sqrt a - 2\sqrt a - 5\sqrt a \)
\( = - \sqrt a \)
Giá trị biểu thức \(\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \) là
\(\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \)
\(=\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 - 2\sqrt 5 .\sqrt 2 + 2} = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\left| {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right|\)
\( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right) = 5 - 2 = 3\)
Rút gọn biểu thức \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \) với $a > 0$ ta được
Với $a>0$ ta có \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \)$ = 2\sqrt a - \sqrt {9{a^2}.a} + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a} $
$ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a $$ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + 12\sqrt a = 14\sqrt a + a\sqrt a $
Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
Ta có $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = \dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\sqrt {{a^2}{b^4}} }}{{\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left| {a - b} \right|}} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)}} = \left| a \right|$
Chọn khẳng định đúng?
Ta có $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$ = \left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 2 .\sqrt 3 }}{{\sqrt {4.2} - 2}} - \dfrac{{\sqrt {36.6} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 \left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{2\sqrt 2 - 2}} - \dfrac{{6\sqrt 6 }}{3}} \right].\left( { - \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} - 2\sqrt 6 } \right].\left( { - \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$ = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2} - 2\sqrt 6 } \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) $
$= \left( { - \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$= \dfrac{{3a}}{2}$
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là
Ta có $P = \dfrac{{2.9}}{{\sqrt 9 + 1}}$= $\dfrac{{18}}{3+1}$$= \dfrac{{18}}{4} = \dfrac{9}{2}.$
Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$ là
Ta có $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{4 - 3}} = 4 + 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}$.$ \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1$
Khi đó ta có $P = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 1 + 1}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{\sqrt 3 + 2}} = 2$.
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\).
Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:
Ta có $x = 3 + 2\sqrt 2 $$ = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2}$
$\Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 + 1$
Thay $\sqrt x = \sqrt 2 + 1$ vào biểu thức $P$ ta được
$P = \dfrac{{\sqrt 2 + 1 + 1}}{{\sqrt 2 + 1 - 2}} = \dfrac{{\sqrt 2 + 2}}{{\sqrt 2 - 1}}$
$ = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} $
$= 4 + 3\sqrt 2 $
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\)với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.
Ta xét $P - 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} - 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2 - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$$ = \dfrac{{\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right) + 1}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} + 1}}{{\sqrt x }}$
Vì ${\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + 1 \ge 1 > 0,\,\forall x > 0$ và $\sqrt x > 0,\,\forall x > 0$ nên $P - 4 > 0 \Leftrightarrow P > 4$ với $x > 0$.
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .
Với $x \ge 0$ ta có $P = \sqrt x $
$\Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \sqrt x $
$\Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}$
$ \Rightarrow 3\sqrt x - 1 = x + \sqrt x $
$\Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 = 0 $
$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0 $
$\Leftrightarrow \sqrt x = 1 $
$\Leftrightarrow x = 1\,\left( {TM} \right)$
