Rút gọn biểu thức chứa căn

$\sqrt {125}  - 4\sqrt {45}  + 3\sqrt {20}  - \sqrt {80}$$= \sqrt {25.5}  - 4\sqrt {9.5}  + 3\sqrt {4.5}  - \sqrt {16.5}  = 5\sqrt 5  - 4.3\sqrt 5  + 3.2\sqrt 5  - 4\sqrt 5$

$= 5\sqrt 5  - 12\sqrt 5  + 6\sqrt 5  - 4\sqrt 5  =  - 5\sqrt 5 .$

Ta xét hiệu: $A - 2 = \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 1}} - 2 = \dfrac{{2\sqrt x  + 1 - 2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x  + 1}}$

Vì $- 1 < 0$ và $\sqrt x  \ge 0,\,\forall x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 1 \ge 1 > 0$ nên $\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x  + 1}} < 0$ hay $A - 2 < 0 \Leftrightarrow A < 2.$.

Cách 1: Ta có $B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right) + 1}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}}$

Vì $x \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 2 \ge 2 > 0$ suy ra $\dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} > 0 \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 2} }} > 1$ hay $B > 1$.

Với $x \ge 0;x \ne 4$ ta có: $A = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{2}$

$\Rightarrow 2\left( {\sqrt x  + 1} \right) = \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) \Leftrightarrow 2\sqrt x  + 2 = x - 3\sqrt x  + 2$

$\Leftrightarrow x - 5\sqrt x  = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x  - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 0\\\sqrt x  = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {tm} \right)\\x = 25\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Vậy giá trị cần tìm là $x = 0;x = 25$.

TH1: $\sqrt x$ là số vô tỉ thì $\dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}}$ là số vô tỉ hay $P$ là số vô tỉ (loại).

TH2: $\sqrt x$ là số nguyên.

Ta có: $P = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} = \dfrac{{\sqrt x  - 2 + 5}}{{\sqrt x  - 2}}$$= \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{5}{{\sqrt x  - 2}} = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt x  - 2}}$

Vì $1 \in \mathbb{Z}$ nên để $P = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt x  - 2}}$ nhận giá trị nguyên thì $\dfrac{5}{{\sqrt x  - 2}} \in \mathbb{Z}$ hay $5 \,\vdots \,\left( {\sqrt x  - 2} \right)$$\Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 2} \right) \in Ư\left( 5 \right) = \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\}$

+) $\sqrt x  - 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 3 \Leftrightarrow x = 9\left( {tm} \right)$

+) $\sqrt x  - 2 =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 1 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)$

+) $\sqrt x  - 2 = 5 \Leftrightarrow \sqrt x  = 7 \Leftrightarrow x = 49\left( {tm} \right)$

+) $\sqrt x  - 2 =  - 5 \Leftrightarrow \sqrt x  =  - 3$ (vô nghiệm vì $\sqrt x  \ge 0$ với mọi $x \ge 0$)

Vậy có ba giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện là $x = 1;x = 9;x = 49$.

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,x \ne 4.$

Ta có: $P = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}}.$

Với $\forall x \ge 0,\,\,x \ne 4$ ta có: $\sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 1 \ge 1$

$\Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}} \le 1$$\Rightarrow P \le 1$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt x  + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy với $x = 0$ thì giá trị lớn nhất của $P$ là $1.$

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,x \ne 4.$

Ta có: $x = 3 - 2\sqrt 2  = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}$ thỏa mãn điều kiện.

$\Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 }  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}$ $= \left| {\sqrt 2  - 1} \right| = \sqrt 2  - 1$ $\left( {do\,\,\,\sqrt 2  - 1 > 0} \right)$

Thay $\sqrt x  = \sqrt 2  - 1$ vào biểu thức $P$ ta được: $P = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2  - 1 + 1}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Vậy với $x = 3 - 2\sqrt 2$ thì $P = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,x \ne 4.$

$\begin{array}{l}P = \dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}} - \dfrac{2}{{\sqrt x  + 1}} + \dfrac{{2\sqrt x  - 7}}{{x - \sqrt x  - 2}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}} - \dfrac{2}{{\sqrt x  + 1}} + \dfrac{{2\sqrt x  - 7}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x  + 1 - 2\left( {\sqrt x  - 2} \right) + 2\sqrt x  - 7}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x  + 1 - 2\sqrt x  + 4 + 2\sqrt x  - 7}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}$

Vậy với $x \ge 0,\,\,x \ne 4$ thì $P = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}}.$

$\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 }$$= \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {5 - 2\sqrt 5  + 1}  = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}$

$= \left| {4 - \sqrt 5 } \right| - \left| {\sqrt 5  - 1} \right|$

$= 4 - \sqrt 5  - \sqrt 5  + 1 =5-2\sqrt 5$

$\sqrt {32}  + \sqrt {50}  - 3\sqrt 8  - \sqrt {18}$$= \sqrt {16.2}  + \sqrt {25.2}  - 3\sqrt {4.2}  - \sqrt {9.2}$

$= 4\sqrt 2  + 5\sqrt 2  - 6\sqrt 2  - 3\sqrt 2  = 0$

$5\sqrt a  + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}}  - a\sqrt {\dfrac{4}{a}}  - \sqrt {25a}$$= 5\sqrt a  + 2.\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt 4 }} - a\dfrac{{\sqrt {4a} }}{a} - 5\sqrt a$$= 5\sqrt a  + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 5\sqrt a$

$=  - \sqrt a$

$\left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} }$

$=\left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 - 2\sqrt 5 .\sqrt 2  + 2}  = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right)}^2}}  = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\left| {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right|$

$= \left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right) = 5 - 2 = 3$

Với $a>0$ ta có $2\sqrt a  - \sqrt {9{a^3}}  + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}}  + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}}$$= 2\sqrt a  - \sqrt {9{a^2}.a}  + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a}$

$= 2\sqrt a  - 3a\sqrt a  + 4a\sqrt a  + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a$$= 2\sqrt a  - 3a\sqrt a  + 4a\sqrt a  + 12\sqrt a  = 14\sqrt a  + a\sqrt a$

Ta có $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}}  = \dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\sqrt {{a^2}{b^4}} }}{{\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left| {a - b} \right|}} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)}} = \left| a \right|$

Ta có $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$= \left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 2 .\sqrt 3 }}{{\sqrt {4.2}  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {36.6} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$= \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 \left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{2\sqrt 2  - 2}} - \dfrac{{6\sqrt 6 }}{3}} \right].\left( { - \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$= \left[ {\dfrac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}} - 2\sqrt 6 } \right].\left( { - \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$= \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2} - 2\sqrt 6 } \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$= \left( { - \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$= \dfrac{{3a}}{2}$

Ta có $P = \dfrac{{2.9}}{{\sqrt 9  + 1}}$= $\dfrac{{18}}{3+1}$$= \dfrac{{18}}{4} = \dfrac{9}{2}.$

Ta có $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{4 - 3}} = 4 + 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2}$.$\Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  = \sqrt 3  + 1$

Khi đó ta có $P = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3  + 1 + 1}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3  + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}}{{\sqrt 3  + 2}} = 2$.

Ta có $x = 3 + 2\sqrt 2$$= {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^2}$

$\Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2  + 1$

Thay $\sqrt x  = \sqrt 2  + 1$ vào biểu thức $P$ ta được

$P = \dfrac{{\sqrt 2  + 1 + 1}}{{\sqrt 2  + 1 - 2}} = \dfrac{{\sqrt 2  + 2}}{{\sqrt 2  - 1}}$

$= \dfrac{{\left( {\sqrt 2  + 2} \right)\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}}$

$= 4 + 3\sqrt 2$

Ta xét $P - 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }} - 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x  + 2 - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{x - 2\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}$$= \dfrac{{\left( {x - 2\sqrt x  + 1} \right) + 1}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2} + 1}}{{\sqrt x }}$

Vì ${\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} + 1 \ge 1 > 0,\,\forall x > 0$ và $\sqrt x  > 0,\,\forall x > 0$ nên $P - 4 > 0 \Leftrightarrow P > 4$ với $x > 0$.

Với $x \ge 0$ ta có $P = \sqrt x$

$\Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \sqrt x$

$\Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}}$

$\Rightarrow 3\sqrt x  - 1 = x + \sqrt x$

$\Leftrightarrow x - 2\sqrt x  + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt x  = 1$

$\Leftrightarrow x = 1\,\left( {TM} \right)$