Rút gọn biểu thức chứa căn

Theo câu trước ta có: \(C = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0;x \ne 1\)

Xét \(C = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \dfrac{x}{{\sqrt x }} + \dfrac{2}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + \dfrac{2}{{\sqrt x }}\)

Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\dfrac{2}{{\sqrt x }}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt x  + \dfrac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{2}{{\sqrt x }}} \\ \Leftrightarrow \sqrt x  + \dfrac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow C \ge 2\sqrt 2 \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  = \dfrac{2}{{\sqrt x }} \Rightarrow x = 2\left( {tm} \right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(C\) là \(2\sqrt 2  \Leftrightarrow x = 2.\) 

Ta có: \(C = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right).\left( {\sqrt x  - 1} \right)\\ = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\left( {\sqrt x  - 1} \right)\\ = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

Vậy \(C = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0; x \ne 1\)

Ta có: \(C = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right).\left( {\sqrt x  - 1} \right)\\ = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\left( {\sqrt x  - 1} \right)\\ = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

Vậy \(C = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0; x \ne 1\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 9\end{array} \right.\)

Ta có: \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} = \dfrac{{\sqrt x  - 3 + 3}}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}}.\)

Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in \mathbb{Z}\\1 + \dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} > 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in Z\\\dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} >  - 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in Z\\\dfrac{{3 + \sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 3}} > 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt x  - 3} \right) \in Ư\left( 3 \right)(1)\\\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} > 0\,(2)\end{array} \right.\\(1) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 3} \right) \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 3 = 1\\\sqrt x  - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 4\\\sqrt x  = 6\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = 36\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Nhận thấy với \(x=16;x=36\) vẫn thỏa mãn (2).

Nên \(x = 16\) hoặc \(x = 36\) thì P nguyên dương.

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}}  - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\left( {\dfrac{{x + \sqrt x  + 1 - x - 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{2x + 1 - x - \sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{x + \sqrt x  + 1}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\,\,\,\,\left( {x \ne 9} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}.\end{array}\)    

Vậy \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}}  - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\left( {\dfrac{{x + \sqrt x  + 1 - x - 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{2x + 1 - x - \sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{x + \sqrt x  + 1}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\,\,\,\,\left( {x \ne 9} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}.\end{array}\)    

Vậy \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\)

Với $x \ge 0;x \ne 4$ ta có $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$

Xét $A = 2$$ \Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = 2 \Rightarrow 3\sqrt x  = 2\left( {\sqrt x  + 2} \right) \Leftrightarrow \sqrt x  = 4 $

$\Leftrightarrow x = 16\,\,\left( {TM} \right)$

Vậy $x = 16$.

Ta có $A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$$ = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}$

$ = \dfrac{{x + 3\sqrt x  + 2 + 2x - 4\sqrt x  - 2 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$

Vậy $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$

Ta có $A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$$ = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}$

$ = \dfrac{{x + 3\sqrt x  + 2 + 2x - 4\sqrt x  - 2 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$

Vậy $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$

Ta có $B = \sqrt x  - x$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Khi đó $B = \sqrt x  - x =  - \left( {x - \sqrt x } \right) = \dfrac{1}{4} - \left( {x - \sqrt x  + \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{1}{4} - {\left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Nhận thây $\dfrac{1}{4} - {\left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{1}{4}$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x  - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\,\,\left( {TM} \right)$

Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $\dfrac{1}{4}$ khi và chỉ khi $x = \dfrac{1}{4}$.

Theo câu trước ta có  $B = \sqrt x  - x$.

Xét $B > 0$$ \Leftrightarrow \sqrt x  - x > 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0$

Với $x \ge 0$, $x \ne 1$ ta có $\sqrt x  \ge 0$ nên $\sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \sqrt x  > 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  < 1\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x \ne 0\end{array} \right.$

Kết hợp điều  kiện ta có $0 < x < 1$.

Ta có $B = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$$ = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2}$

$ = \left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{2}$

$ = \dfrac{{x - \sqrt x  - 2 - x - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{2}$$ = \dfrac{{ - 2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{2} = \sqrt x  - x$

Vậy $B = \sqrt x  - x$.

Ta có $B = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$$ = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2}$

$ = \left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{2}$

$ = \dfrac{{x - \sqrt x  - 2 - x - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{2}$$ = \dfrac{{ - 2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{2} = \sqrt x  - x$

Vậy $B = \sqrt x  - x$.

Theo câu trước ta có $C = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$

Để $C < 1$$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 3}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{4}{{\sqrt x  - 3}} < 0$

Mà $4 > 0$ nên $\sqrt x  - 3 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  < 3 \Rightarrow x < 9$

Kết hợp điều kiện $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$ suy ra $0 \le x < 9;x \ne 4$.

Ta có $x - 5\sqrt x  + 6 = x - 2\sqrt x  - 3\sqrt x  + 6 = \sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right) - 3\left( {\sqrt x  - 2} \right) = \left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)$ nên

$C = \dfrac{{2\sqrt x  - 9}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{3 - \sqrt x }}$$ = \dfrac{{2\sqrt x  - 9}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}$

$ = \dfrac{{2\sqrt x  - 9 - \left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) + \left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}$$ = \dfrac{{2\sqrt x  - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{x - \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x  + \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right) + \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}$

Vậy $C = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}$với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$

\(3\sqrt {8a}  + \dfrac{1}{4}\sqrt {\dfrac{{32a}}{{25}}}  - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {\dfrac{3}{{2a}}}  - \sqrt {2a} \) \(  = 3\sqrt {4.2a}  + \dfrac{1}{4}\dfrac{{\sqrt {16.2a} }}{{\sqrt {25} }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {2a} }} - \sqrt {2a} \) \( = 3.2\sqrt {2a}  + \dfrac{1}{4}.\dfrac{{4\sqrt {2a} }}{5} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt {2a} }}{{2a}} - \sqrt {2a} \) \( = 6\sqrt {2a}  + \dfrac{1}{5}\sqrt {2a}  - \dfrac{1}{2}\sqrt {2a}  - \sqrt {2a} \)

\( = \sqrt {2a} .\left( {6 + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{2} - 1} \right) = \dfrac{{47}}{{10}}\sqrt {2a} \)

Ta có $x - 5\sqrt x  + 6 = x - 2\sqrt x  - 3\sqrt x  + 6 = \sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right) - 3\left( {\sqrt x  - 2} \right) = \left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)$ nên

$C = \dfrac{{2\sqrt x  - 9}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{3 - \sqrt x }}$$ = \dfrac{{2\sqrt x  - 9}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}$

$ = \dfrac{{2\sqrt x  - 9 - \left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) + \left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}$$ = \dfrac{{2\sqrt x  - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{x - \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x  + \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right) + \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}$

Vậy $C = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}$với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$

\(\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {5 - 2\sqrt 5 .\sqrt 2  + 2}  \)\(= \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right)}^2}} \)

\( = \left| {\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right| - \left| {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right| \)\(= \sqrt 2  + \sqrt 5  -\sqrt 5  +\sqrt 2  = 2\sqrt 2 \)

\(\sqrt {17 - 12\sqrt 2 }  + \sqrt {9 + 4\sqrt 2 } \)\( = \sqrt {17 - 2.6\sqrt 2 }  + \sqrt {9 + 2.2\sqrt 2 }  = \sqrt {9 - 2.3.2\sqrt 2  + 8}  + \sqrt {8 + 2.2\sqrt 2 .1 + 1} \)

\( = \sqrt {{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  = \left| {3 - 2\sqrt 2 } \right| + \left| {2\sqrt 2  + 1} \right| = 3 - 2\sqrt 2  + \left( {2\sqrt 2  + 1} \right) = 4.\)

\(2\sqrt {32}  - \sqrt {27}  - 4\sqrt 8  + 3\sqrt {75} \)\( = 2\sqrt {16.2}  - \sqrt {9.3}  - 4\sqrt {4.2}  + 3\sqrt {25.3}  \)\(= 8\sqrt 2  - 3\sqrt 3  - 8\sqrt 2  + 15\sqrt 3  = 12\sqrt 3 \)