Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ABT}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến \(BT\) và dây cung \(AB\)

\(\widehat {APB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\)

Suy ra \(\widehat {ABT} = \widehat {APB}\) (hệ quả).

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ACB} = \widehat {BAP}\) (hệ quả) suy ra \(\Delta PAC\backsim\Delta PBA\left( {g - g} \right)\) .

Vì \(OA = 3cm \Rightarrow OC = OA = 3cm\)

Theo định lý Pytago cho tam giác \(MCO\) vuông  ta có \(MO = \sqrt {O{C^2} + M{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {6^2}}  = 3\sqrt 5 \,cm\)

Xét tam giác \(MCO\) vuông tại \(C,\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(MC.CO = CH.MO \Rightarrow CH = \dfrac{{MC.CO}}{{MO}} = \dfrac{{6.3}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{6\sqrt 5 }}{5}\left( {cm} \right)\) .

Ta có \(\widehat {IAK} = \widehat {IBA}\)  (hệ quả) nên \(\Delta IKA\backsim\Delta IAB\left( {g - g} \right)\) 

Xét nửa $\left( O \right)$ có \(\widehat {MCA} = \widehat {CBA} = 30^\circ \)  (*) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\) )

Lại có \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(\widehat {CAB} = 90^\circ  - \widehat {CBA} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \) (do \(\Delta CAB\) vuông tại \(C\))

 Lại có \(\widehat {ACH} + \widehat {CAB} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {ACH} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \)

\(\widehat {CBA}\) là góc nội tiếp chắn cung \(CA \Rightarrow \widehat {COA} = 2\widehat {CBA} = 2.30^\circ  = 60^\circ \) .

Vậy A, B, D đúng, C sai.

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {MAB} = \widehat {ACB}\) (hệ quả) \( \Rightarrow \Delta AMB\backsim\Delta CDB\left( {g - g} \right)\)

Xét nửa $\left( O \right)$ có \(\widehat {MCA} = \widehat {CBA} = 30^\circ \)  (*) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\) )

Lại có \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(\widehat {CAB} = 90^\circ  - \widehat {CBA} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \) (do \(\Delta CAB\) vuông tại \(C\))

 Lại có \(\widehat {ACH} + \widehat {CAB} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {ACH} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \)

\(\widehat {CBA}\) là góc nội tiếp chắn cung \(CA \Rightarrow \widehat {COA} = 2\widehat {CBA} = 2.30^\circ  = 60^\circ \) .

Vậy A, B, D đúng, C sai.

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {MBA} = \widehat {BCA}\)  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(AB\) bằng góc nội tiếp chắn cung \(AB\) )

Suy ra \(\Delta MBA\backsim\Delta MCB\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MC}} = \dfrac{{BA}}{{CB}}\)

Mà theo câu trước ta có \(\dfrac{{MD}}{{MC}} = \dfrac{{AD}}{{CD}}\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì \(MB = MD\) nên \(\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\)

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {MDA} = \widehat {DCA}\)  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(AB\) bằng góc nội tiếp chắn cung \(AD\) )

Suy ra \(\Delta MAD\backsim\Delta MDC\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MD}}{{MC}} = \dfrac{{DA}}{{CD}} \Rightarrow MA.MC = M{D^2}\)

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {MDA} = \widehat {DCA}\)  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(AB\) bằng góc nội tiếp chắn cung \(AD\) )

Suy ra \(\Delta MAD\backsim\Delta MDC\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MD}}{{MC}} = \dfrac{{DA}}{{CD}} \Rightarrow MA.MC = M{D^2}\)

Vì \(MD\) là tia phân giác \(\widehat {NMP}\) nên \(\widehat {NMD} = \widehat {DMP}\)  suy ra cung \(PD = \) cung \(PN.\)

Xét $\Delta DPM$ và \(\Delta NIM\) có \(\widehat {MNI} = \widehat {IDP}\)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MP\)) và \(\widehat {NMI} = \widehat {IPD}\)  (cmt)

Nên \(\Delta DPM\backsim\Delta NIM\left( {g - g} \right)\) nên A đúng, B sai.

Xét \(\Delta IPD\) và \(\Delta PMD\) có \(\widehat D\,\) chung và \(\widehat {IPD} = \widehat {IMP}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Nên \(\Delta IPD \backsim \Delta PMD\left( {g - g} \right)\) suy ra C, D sai.

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {MNP} = \widehat {EMP}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(MP\) )

Xét \(\Delta EPM\) và \(\Delta EMN\) có \(\widehat E\) chung và \(\widehat {MNP} = \widehat {EMP}\)

suy ra \(\Delta EPM\backsim\Delta EMN\left( {g - g} \right)\) suy ra \(\dfrac{{EP}}{{EM}} = \dfrac{{EM}}{{EN}} \Leftrightarrow EP.EN = E{M^2} = {4^2} = 16\,\left( {c{m^2}} \right)\) .

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {MNP} = \widehat {EMP}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(MP\) )

Xét \(\Delta EPM\) và \(\Delta EMN\) có \(\widehat E\) chung và \(\widehat {MNP} = \widehat {EMP}\)

suy ra \(\Delta EPM\backsim\Delta EMN\left( {g - g} \right)\) suy ra \(\dfrac{{EP}}{{EM}} = \dfrac{{EM}}{{EN}} \Leftrightarrow EP.EN = E{M^2} = {4^2} = 16\,\left( {c{m^2}} \right)\) .

Ta có \(\widehat {yAC} = \widehat {ABC}\) (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\) ) mà \(\widehat {yAC} = \widehat {ACM}\) (so le trong) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACM} \Rightarrow \Delta AMC\backsim\Delta ACB\left( {g - g} \right)\)

\(\dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow AM.AB = A{C^2} = {3^2} = 9\left( {c{m^2}} \right)\) .

Từ câu trước ta có \(\Delta IAC\backsim\Delta EBC \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{EB}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}\)

Tương tự ta có \(\Delta AKB\backsim\Delta CDB\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{CD}}{{AK}} = \dfrac{{BC}}{{AB}}\)

Suy ra \(\dfrac{{IA}}{{EB}}.\dfrac{{CD}}{{AK}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}.\dfrac{{BC}}{{AB}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{IA}}{{EB}}.\dfrac{{CD}}{{AK}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}\)

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {IAC} = \widehat {ABC}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC)\)

Xét hai tam giác vuông \(IAC\) và \(EBC\) có \(\widehat {IAC} = \widehat {ABC}\) (cmt) \( \Rightarrow \Delta IAC\backsim\Delta EBC\left( {g - g} \right)\)

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {IAC} = \widehat {ABC}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC)\)

Xét hai tam giác vuông \(IAC\) và \(EBC\) có \(\widehat {IAC} = \widehat {ABC}\) (cmt) \( \Rightarrow \Delta IAC\backsim\Delta EBC\left( {g - g} \right)\)

Cho đường tròn tâm \((O)\) có \(Ax\) là tia tiếp tuyến tại tiếp điểm $A$ và dây cung $AB.$ Khi đó, góc \(BAx\)là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng  nửa số đo cung bị chắn

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.