Bài tập sóng điện từ

Ta có: \(\lambda  = 2\pi c\sqrt {LC} \)

+ \({\lambda _{\min }} = 2\pi c\sqrt {{L_{\min }}C}  = 2\pi {.3.10^8}\sqrt {{{4.10}^{ - 3}}{{.16.10}^{ - 12}}}  = 480m\)

+ \({\lambda _{{\rm{max}}}} = 2\pi c\sqrt {{L_{{\rm{max}}}}C}  = 2\pi {.3.10^8}\sqrt {{{25.10}^{ - 3}}{{.16.10}^{ - 12}}}  = 1200m\)

\( \to 480m < \lambda  < 1200m\) 

Ta có: \(\lambda  = 2\pi c\sqrt {LC}  \to C = \frac{{{\lambda ^2}}}{{4{\pi ^2}{c^2}L}}\) 

\(\begin{array}{l} \to \frac{{{\lambda _{\min }}^2}}{{4{\pi ^2}{c^2}L}} < C < \frac{{{\lambda _{{\rm{max}}}}^2}}{{4{\pi ^2}{c^2}L}} \leftrightarrow \frac{{{{57}^2}}}{{4{\pi ^2}{{({{3.10}^8})}^2}{{.2.10}^{ - 6}}}} < C < \frac{{{{753}^2}}}{{4{\pi ^2}{{({{3.10}^8})}^2}{{.2.10}^{ - 6}}}}\\ \leftrightarrow 4,{57.10^{ - 10}}F < C < 7,{97.10^{ - 8}}F\end{array}\)

Ta có:

+ \(\lambda  = 2\pi c\sqrt {LC}  \to C = \frac{{{\lambda ^2}}}{{4{\pi ^2}{c^2}L}} = \frac{{{{15}^2}}}{{4{\pi ^2}{{({{3.10}^8})}^2}.\frac{{{{10}^{ - 3}}}}{{180{\pi ^2}}}}} = 1,{125.10^{ - 10}} = 112,5pF\)

+ Mặt khác, ta có: $C = 2,2α + 30(pF) = 112,5pF => α = {37,5^0}$

Ta có :

+ Độ biến thiên với α=1⁰ : \(\Delta C = \frac{{{C_{{\rm{max}}}} - {C_{\min }}}}{{180}} = \frac{{500 - 10}}{{180}} = 2,72(\frac{{pF}}{{^0}})\) 

\(\begin{array}{l}{C_\alpha } = {C_{\min }} + \alpha \Delta C = 10 + 2,72\alpha {\rm{   }}(pF)\\ \to {C_{{{90}^0}}} = 10 + 2,72.90 = 255pF\end{array}\) 

\( \to \lambda  = 2\pi c\sqrt {LC}  = 2\pi {.3.10^8}\sqrt {{{2.10}^{ - 5}}{{.255.10}^{ - 12}}}  = 134,54m\)

+ Khi C = C₀:  \({\lambda _0} = 2\pi c\sqrt {L{C_0}}  = 20m\)

+ Khi C = C’ : \(\lambda ' = 2\pi c\sqrt {LC'}  = 60m\)

\(\frac{{{\lambda _0}}}{{\lambda '}} = \sqrt {\frac{{{C_0}}}{{C'}}}  = \frac{{20}}{{60}} = \frac{1}{3} \to \frac{{{C_0}}}{{C'}} = \frac{1}{9} \to C' = 9{C_0}\)

Gọi C là điện dung của tụ điện cần mắc song song với C₀ để thu được sóng có bước sóng 60m, ta có:

C’ = C + C₀ = 9C₀ => C = 8C₀

- Bước 1:

Ta có: Chu kì chính là khoảng thời gian vật thực hiện được một dao động toàn phần

+ Thời gian để dao động âm tần thực hiện được một dao động toàn phần là: \({T_A} = \dfrac{1}{{{f_A}}} = \dfrac{1}{{1000}} = {10^{ - 3}}s\)

+ Thời gian để dao động cao tần thực hiện được một dao động toàn phần là: \({T_C} = \dfrac{1}{{{f_C}}} = \dfrac{1}{{{{800.10}^3}}} = 1,{25.10^{ - 6}}s\)

- Bước 2:

=> Số dao động toàn phần của dao động cao tần khi dao động âm tần thực hiện được một dao động toàn phần: \(N = \dfrac{{{T_A}}}{{{T_C}}} = \dfrac{{{{10}^{ - 3}}}}{{1,{{25.10}^{ - 6}}}} = 800\) 

Theo đầu bài, ta có: Sóng điện từ có biên độ cảm ứng đều bằng nhau

\(\frac{1}{2}{C_1}E_1^2 = \frac{1}{2}{C_2}E_2^2 \to {E_2} = {E_1}\sqrt {\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}}  = {4.10^{ - 6}}\sqrt {\frac{{{{2.10}^{ - 6}}}}{{{{8.10}^{ - 6}}}}}  = {2.10^{ - 6}}V\) 

Ta có:

+ Khi mạch gồm tụ điện có C = 100pF và cuộn cảm có \(L{\rm{ }} = \frac{1}{{{\pi ^2}}}\mu H\) :\({\lambda _0} = 2\pi c\sqrt {LC}  = 2\pi {3.10^8}\sqrt {\frac{{{{10}^{ - 6}}}}{{{\pi ^2}}}{{100.10}^{ - 12}}}  = 6m\)

+ Khi C = C₁:  \({\lambda _1} = 2\pi c\sqrt {L{C_1}}  = 12m\)

+ Khi C = C₂ : \({\lambda _2} = 2\pi c\sqrt {L{C_2}}  = 18m\)

\( \to \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _0}}} = \sqrt {\frac{{{C_1}}}{{{C_0}}}}  = \frac{{12}}{6} = 2 \to \frac{{{C_1}}}{{{C_0}}} = 4 \to {C_1} = 4{C_0}\\\frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _0}}} = \sqrt {\frac{{{C_2}}}{{{C_0}}}}  = \frac{{18}}{6} = 3 \to \frac{{{C_1}}}{{{C_0}}} = 9 \to {C_1} = 9{C_0}\end{array} \right.\)

Nhận thấy C­₁, C₂ đều lớn hơn C₀ => Cần mắc song song thêm tụ C’

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{C_1} = {\rm{ }}{C_0} + {\rm{ }}{C_1}' = {\rm{ }}4{C_0} \to {C_1}' = 3{C_0} = 300pF\\{C_2} = {C_0} + {\rm{ }}{C_2}' = {\rm{ 9}}{C_0} \to {C_1}' = 8{C_0} = 800pF\end{array} \right.\)

Khi tụ điện có điện dung \({C_1}\), máy bộ đàm thu được tần số:

\(\begin{array}{l}
{f_1} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {L{C_1}} }} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {{{10}^{ - 6}}.0,{{115.10}^{ - 12}}} }}\\
\,\,\,\,\,\, \approx 470000Hz = 470MHz
\end{array}\)

Khi tụ điện có điện dung \({C_2}\), máy bộ đàm thu được tần số:

\(\begin{array}{l}
{f_2} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {L{C_2}} }} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {{{10}^{ - 6}}.0,{{158.10}^{ - 12}}} }}\\
\,\,\,\,\,\, = 400000Hz = 400MHz
\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Bộ đàm có thể thu được sóng điện từ có tần số trong khoảng \(400MHz\) đến \(470MHz\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f = \dfrac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\\f' = \dfrac{1}{{2\pi \sqrt {2L.\dfrac{C}{2}} }} = \dfrac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\end{array} \right. \Rightarrow f' = f\)

Khoảng cách từ Trái Đất đến chòm sao Nhân Mã là:

\(R = c.t = {3.10^8}.4,3.365,25.86400 \approx 4,{07.10^{16}}\,\,\left( m \right)\)

Cường độ của tín hiệu tại chòm sao Nhân Mã là:

\(I = \dfrac{P}{{4\pi {R^2}}} = \dfrac{{{{1.10}^6}}}{{4\pi .{{\left( {4,{{07.10}^{16}}} \right)}^2}}} \approx 4,{8.10^{ - 29}}\,\,\left( {{\rm{W}}/{m^2}} \right)\)

Chu kì sự tự quay của Trái Đất là:

\(T = 24h = 86400s\)

Vận tốc góc của sự tự quay của Trái Đất là:

\({\omega _T} = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{{86400}} = \dfrac{\pi }{{43200}}\left( {rad/s} \right)\)

Vận tốc góc của vệ tinh bằng vận tốc góc của sự tự quay của Trái Đất:

\({\omega _V} = {\omega _T} = \dfrac{\pi }{{43200}}\left( {rad/s} \right)\)

Vận tốc dài của vệ tinh trên quỹ đạo:

\({v_V} = {\omega _V}.{R_V} = 3070\,\left( m \right)\)

\( \Rightarrow \)  Bán kính của vệ tinh so với tâm Trái Đất:

\({R_V} = \dfrac{{{v_V}}}{{{\omega _V}}} = \dfrac{{3\,070}}{{\dfrac{\pi }{{43\,200}}}} = 42215,53\left( {km} \right)\)

Sóng truyền từ vệ tinh xuống Trái Đất được biểu diễn trên hình vẽ:

Quãng đường sóng điện từ truyền thẳng từ vệ tinh đến điểm xa nhất trên Trái Đất có độ dài là:

\(S = \sqrt {R_V^2 - R_T^2}  = \sqrt {42215,{{53}^2} - {{6378}^2}}  = 41731km\)

Thời gian truyền đi: \(t = \dfrac{S}{c} = \dfrac{{{{41731.10}^3}}}{{{{3.10}^8}}} = 0,14s\)