Bài tập ôn tập chương 1

Với $x = 4$ thỏa mãn điều kiện $x > 0\,\,;\,\,x \ne 9$

Thay $x = 4$ vào biểu thức $A = \dfrac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}$ ta được:

$A = \dfrac{6}{{\sqrt 4 .\left( {\sqrt 4  - 3} \right)}} = \dfrac{6}{{2.\left( {2 - 3} \right)}} = \dfrac{6}{{ - 2}} =  - 3$

Vậy khi $x = 4$ thì $A =  - 3.$

Điều kiện xác định: $a > 0;a \ne 1$ 

$\begin{array}{l}C < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{a - 1}}{{\sqrt a }} < 0 \Leftrightarrow a - 1 < 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt a  > \,\,\forall x > 0,\,\,x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow a < 1.\end{array}$

Kết hợp với điều kiện xác định $\Rightarrow 0 < a < 1$

Vậy $0 < a < 1$ thì $C < 0$.

Điều kiện: $a > 0,\,\,a \ne 1.$

Có:$a = 3 - 2\sqrt 2$ (tmđk)

$\Rightarrow a = 2 - 2\sqrt 2  + 1 = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} \Rightarrow \sqrt a  = \sqrt 2  - 1$

Thay vào $\sqrt a  = \sqrt 2  - 1$  ta được: $C = \dfrac{{3 - 2\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  - 1}} = \dfrac{{2 - 2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  - 1}} = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 2  - 1}} =  - 2.$

Vậy khi $a = 3 - 2\sqrt 2$ thì  $C =  - 2.$

Điều kiện xác định: $a > 0;a \ne 1$

$\begin{array}{l}C = \left( {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}} - \dfrac{1}{{a - \sqrt a }}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt a  + 1}} + \dfrac{2}{{a - 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \,\left[ {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt a  + 1}} + \dfrac{2}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}} \right]\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt a .\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt a  - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }}.\dfrac{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a  + 1}} = \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }}.\left( {\sqrt a  - 1} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{{a - 1}}{{\sqrt a }}.\end{array}$

Vậy $C = \dfrac{{a - 1}}{{\sqrt a }}$ với  $a > 0;a \ne 1.$

Điều kiện xác định: $a > 0;a \ne 1$

$\begin{array}{l}C = \left( {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}} - \dfrac{1}{{a - \sqrt a }}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt a  + 1}} + \dfrac{2}{{a - 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \,\left[ {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt a  + 1}} + \dfrac{2}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}} \right]\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt a .\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt a  - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }}.\dfrac{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a  + 1}} = \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }}.\left( {\sqrt a  - 1} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{{a - 1}}{{\sqrt a }}.\end{array}$

Vậy $C = \dfrac{{a - 1}}{{\sqrt a }}$ với  $a > 0;a \ne 1.$

$A{\rm{ }} < \;0$ $\Leftrightarrow$ $A = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} < 0$

Với $x > 0,x \ne 4$ ta có: $\sqrt x  > 0$ .

Để $\dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} < 0$ thì  $2 - \sqrt x  < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  > 2 \Leftrightarrow x > 4$

Vậy ta có: $x > 4$  thì $A < 0.$

Ta có:

$\begin{array}{l}x = 9 - 4\sqrt 5  = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 2.2.\sqrt 5  + {2^2} = {\left( {\sqrt 5  - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 5  - 2} \right| = \sqrt 5  - 2\left( {do\,\,\sqrt 5  - 2 > 0\,} \right)\end{array}$

Khi đó ta có $A = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{2 - \left( {\sqrt 5  - 2} \right)}}{{\sqrt 5  - 2}} = \dfrac{{4 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 2}} = \dfrac{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5  + 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}}} = \dfrac{{4\sqrt 5  + 8 - 5 - 2\sqrt 5 }}{1} = 2\sqrt 5  + 3$

Vậy với $x = 9 - 4\sqrt 5$ thì $A = 2\sqrt 5  + 3$

Điều kiện $x > 0,x \ne 4$

$\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{x + 2\sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x - 4}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right)\\ = \dfrac{3}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}:\dfrac{{ - 3}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ = \dfrac{3}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{ - 3}}\\ = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\end{array}$

Vậy với $x > 0,x \ne 4$  thì  $A = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}$.

Điều kiện $x > 0,x \ne 4$

$\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{x + 2\sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x - 4}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right)\\ = \dfrac{3}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}:\dfrac{{ - 3}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ = \dfrac{3}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{ - 3}}\\ = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\end{array}$

Vậy với $x > 0,x \ne 4$  thì  $A = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}$.

Ta có $P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}}$  với $x \ge 0;x \ne 9.$

+ Với $x$  không là số chính phương thì $\sqrt x$  là số vô tỉ nên $P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}}$ là số vô tỉ (loại)

+ Với $x$ là số chính phương

Ta có:

$\begin{array}{l}P \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 3} \right) \in U\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 3} \right) \in \left\{ {1;\,3} \right\}\,\,\left( {do\,\,\sqrt x  + 3 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 9} \right).\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 3 = 1\\\sqrt x  + 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  - 2\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy x = 0 thì $P \in Z$.

$A = 3\sqrt 8  - \sqrt {18}  + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}}  + \sqrt {50}$

$= 3\sqrt {4.2}  - \sqrt {9.2}  + 5 \dfrac{\sqrt 2}{2}  + \sqrt {25.2}$

$= 6\sqrt 2  - 3\sqrt 2  + \dfrac{5}{2}\sqrt 2  + 5\sqrt 2$

$= \left( {6 - 3 + \dfrac{5}{2} + 5} \right).\sqrt 2$

$= \dfrac{{21}}{2}\sqrt 2$

Ta có $B = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3  - 1}}$

$= \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)}} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}$

$= \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{3 - 2}} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{3 - 1}}$
$= \sqrt 2 + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{1} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}$

$= \sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 2  - \left( {\sqrt 3  + 1} \right)$

$= \sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 2  - \sqrt 3  - 1$

$= 2\sqrt 2  - 1$

Lại có

$\begin{array}{l}C = (2\sqrt 3  - 5\sqrt {27}  + 4\sqrt {12} ):\sqrt 3 \\  = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {9.3} + 4\sqrt {4.3} } \right):\sqrt 3 \\= (2\sqrt 3  - 5.3\sqrt 3  + 4.2\sqrt 3 ):\sqrt 3 \\ =  - 5\sqrt 3 :\sqrt 3 \\ =  - 5\end{array}$

Nhận thấy $B = 2\sqrt 2  - 1 > 0;\,C =  - 5 < 0 \Rightarrow B > C$

Ta có $\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}}$ có nghĩa  $\Leftrightarrow  \dfrac{1}{{x - 1}} \ge 0 \Rightarrow  x - 1 > 0$  (vì $1>0$)

$\Leftrightarrow x > 1$

Ta có $\dfrac{{\sqrt { - 3x} }}{{{x^2} - 1}}$  có nghĩa khi $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x \ge 0\\{x^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\{x^2} \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ne 1\\x \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ne  - 1\end{array} \right.$

Ta có $\left( {\sqrt {28}  - 2\sqrt 3  + \sqrt 7 } \right)\sqrt 7  + \sqrt {84}$$= \left( {\sqrt {4.7}  - 2\sqrt 3  + \sqrt 7 } \right).\sqrt 7  + \sqrt {4.21}$

$= \left( {2\sqrt 7  - 2\sqrt 3  + \sqrt 7 } \right).\sqrt 7  + 2\sqrt {21}  = \left( {3\sqrt 7  - 2\sqrt 3 } \right).\sqrt 7  + 2\sqrt {21}$

$= 3\sqrt 7 .\sqrt 7  - 2\sqrt 3 .\sqrt 7  + 2\sqrt {21}$ $= 21 - 2\sqrt {21}  + 2\sqrt {21}  = 21$

Ta có $\dfrac{4}{{\sqrt 3  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt 3  - 3}}$$= \dfrac{{4\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}} + \dfrac{{1\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  + 2} \right)\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}} + \dfrac{{6\left( {\sqrt 3  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  + 3} \right)\left( {\sqrt 3  - 3} \right)}}$

$= \dfrac{{4\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {1^2}}} + \dfrac{{\sqrt 3  + 2}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {2^2}}} + \dfrac{{6\left( {\sqrt 3  + 3} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {3^2}}}$ $= \dfrac{{4\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{3 - 1}} + \dfrac{{\sqrt 3  + 2}}{{3 - 4}} + \dfrac{{6\left( {\sqrt 3  + 3} \right)}}{{3 - 9}}$

$= \dfrac{{4\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{2} + \dfrac{{\sqrt 3  + 2}}{{\left( { - 1} \right)}} + \dfrac{{6\left( {\sqrt 3  + 3} \right)}}{{\left( { - 6} \right)}}$ $= 2\left( {\sqrt 3  - 1} \right) - \sqrt 3  - 2 - \sqrt 3  - 3 =  - 7.$

Ta có $\sqrt {{x^2} - 6x + 9}  = 3$$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  = 3 \Leftrightarrow \left| {x - 3} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 3\\x - 3 =  - 3\end{array} \right.$  $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 0\end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 0;x = 6.$

Điều kiện:  $x \ge 5$

Ta có $\sqrt {x - 5}  = \sqrt {3 - x} {\rm{ }}$$\Leftrightarrow x - 5 = 3 - x \Leftrightarrow x + x = 3 + 5 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {KTM} \right)$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ta có $\sqrt {{x^2} - 2x + 1}  = \sqrt {4{x^2} - 4x + 1}$$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}$

$\Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = \left| {2x - 1} \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 2x - 1\\x - 1 = 1 - 2x\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm  $x = 0;x = \dfrac{2}{3}$  nên tổng các nghiệm là $0 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}.$

Điều kiện:

$x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2.$

Ta có: $\sqrt {2{x^2} - 4x + 5}  = x - 2$$\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2}$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0$ $\Leftrightarrow {x^2} =  - 1\,$ (vô nghiệm vì ${x^2} \ge 0\,\,\forall x$ )

Vậy phương trình vô nghiệm.