Năng lượng, vận tốc, lực của con lắc đơn

Ta có, vận tốc của con lắc:

\({v_{{{15}^0}}} =  \pm \sqrt {2gl(c{\rm{os}}\alpha {\rm{ - cos}}{\alpha _0})}  =  \pm \sqrt {2.10.0,4(c{\rm{os1}}{{\rm{5}}^0}{\rm{ - cos3}}{{\rm{0}}^0})}  =  \pm 0,894m/s\)

Vận tốc của con lắc đơn dao động điều hòa:

\({v_{\frac{{{\alpha _0}}}{2}}} =  \pm \sqrt {gl({\alpha _0}^2{\rm{ - }}{\alpha ^2})}  =  \pm \sqrt {10.1,6({\rm{0,}}{{\rm{1}}^2}{\rm{ -  }}{{\left( {\frac{{0,1}}{2}} \right)}^2})}  = \frac{{\sqrt 3 }}{5}m/s = 20\sqrt 3 cm/s\)

+ Chu kì dao động:

\(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}  \to l = \dfrac{{{T^2}g}}{{4{\pi ^2}}} = \dfrac{{{2^2}.10}}{{4{\pi ^2}}} = 1m\)

Vận tốc của con lắc đơn dao động điều hòa:

\({v_\alpha } =  \pm \sqrt {gl({\alpha _0}^2{\rm{ - }}{\alpha ^2})}  \to {\alpha _0} =  \pm \sqrt {\dfrac{{{v_\alpha }^2}}{{gl}} + {\alpha ^2}}  =  \pm \sqrt {\dfrac{{0,{{287}^2}}}{{10.1}} + {{\left( {\dfrac{{3\pi }}{{180}}} \right)}^2}}  = 0,105ra{\rm{d}} = {6^0}\)

Lực căng dây treo khi vật qua vị trí cao nhất :

\(T = mg(3c{\rm{os}}{\alpha _0}{\rm{ - 2cos}}{\alpha _0}) = mg({\rm{cos}}{\alpha _0}) = 0,1.10.c{\rm{os3}}{{\rm{0}}^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}N\)

Biểu thức xác định lực căng dây tại vị trí α bất kì của con lắc đơn dao động tự do:

\(T = mg(1 - 1,5{\alpha ^2}{\rm{ + }}{\alpha _0}^2)\)

Ta có: lực căng dây được xác định bằng biểu thức:

\(\begin{array}{l}T = mg(3c{\rm{os}}\alpha {\rm{ - 2cos}}{\alpha _0}) = P = mg\\ \to 3c{\rm{os}}\alpha  - {\rm{2cos}}{\alpha _0} = 1\\ \to c{\rm{os}}\alpha  = \dfrac{{1 + 2c{\rm{os}}{\alpha _0}}}{3} = \dfrac{{1 + 2.0,97}}{3} = 0,98\end{array}\)

Ta có:

+ lực căng dây cực đại tại vị trí α = 0:

\({T_{{\rm{max}}}} = mg(3{\rm{ - 2cos}}{\alpha _0})\)

+ lực căng dây cực tiểu tại vị trí α = α₀:

\({T_{\min }} = mg.c{\rm{os}}{\alpha _0}\)

\( \to \frac{{{T_{{\rm{max}}}}}}{{{T_{\min }}}} = \frac{{3 - 2c{\rm{os}}{\alpha _0}}}{{{\rm{cos}}{\alpha _0}}} = 1,02 \to c{\rm{os}}{\alpha _0} = 0,993 \to {\alpha _0} = 6,{6^0}\)

Ta có:

\({\alpha _0} = {9^0} = \dfrac{{9\pi }}{{180}}rad\)

\(\alpha  = 4,{5^0} = \dfrac{{4,5\pi }}{{180}}rad\)

Theo đề bài, ta có tại thời điểm \({t_0}\): \(\left\{ \begin{array}{l}s = 2,5\pi cm\\\alpha  = \dfrac{{4,5\pi }}{{180}}rad\end{array} \right.\)

Lại có \(s = l\alpha  \Rightarrow l = \dfrac{s}{\alpha } = \dfrac{{2,5\pi }}{{\dfrac{{4,5\pi }}{{180}}}} = 100cm = 1m\)

Ta có, vận tốc tại vị trí \(\alpha \) bất kì khi góc \( < {10^0}\): \(v = \sqrt {gl\left( {\alpha _0^2 - {\alpha ^2}} \right)} \)

Ta suy ra, vận tốc của vật tại thời điểm \({t_0}\) là: \(v = \sqrt {gl\left( {\alpha _0^2 - {\alpha ^2}} \right)}  = \sqrt {10.1\left( {{{\left( {\dfrac{{9\pi }}{{180}}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{4,5\pi }}{{180}}} \right)}^2}} \right)}  = 0,43m = 43cm\)

Từ phương trình li độ dài của con lắc đơn: \(s = 2cos7t\)

Ta có: Tần số góc của dao động: \(ω =7 (rad/s)\)

Mặt khác:

\(\omega  = \sqrt {\dfrac{g}{l}}  = 7 \to l = \dfrac{g}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{{9,8}}{{{7^2}}} = 0,2m\)

 \(s_0= 2cm = 0,02m=l\alpha_0 \\\to \alpha_0= 0,1 rad = 5,73^0\)

+ Lực căng dây tại VTCB:

\(T = mg(3 - 2c{\rm{os}}{\alpha _0}) \approx 1,01mg\)

\( \to \dfrac{T}{P} = \dfrac{{1,01mg}}{{mg}} = 1,01\)

Từ phương trình li độ dài: \(s = 10sin(2t)\)

Tại \(t = \dfrac{\pi }{6}s\), ta có

\(s = 10sin(2.\dfrac{\pi }{6}) = 5\sqrt 3 cm\)

Thế năng tại thời điểm đó:

\({{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{s^2} = \dfrac{1}{2}0,{2.2^2}{(5\sqrt 3 {.10^{ - 2}})^2} = {3.10^{ - 3}}J\)

Cơ năng của con lắc đơn:

\(W = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{S_0}^2 = \dfrac{1}{2}0,{2.2^2}{({10.10^{ - 2}})^2} = {4.10^{ - 3}}J\)

=> Động năng của  con lắc tại thời điểm đó:

\({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t} = {4.10^{ - 3}} - {3.10^{ - 3}} = {10^{ - 3}}J\)

Ta có: Thế năng và cơ năng của con lắc: \({{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2};{{\rm{W}}_{\rm{d}}} = \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2\)

Khi

\({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = {{\rm{W}}_t} \to {\rm{W}} = {{\rm{W}}_{\rm{d}}} + {{\rm{W}}_t} = 2{{\rm{W}}_t} \leftrightarrow \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2 = 2.\frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} \to \alpha  =  \pm \frac{{{\alpha _0}}}{{\sqrt 2 }}\)

Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương khi con lắc chuyển động từ biên âm về VTCB theo chiều dương (vùng 3) => \(\alpha  =  - \frac{{{\alpha _0}}}{{\sqrt 2 }}\)

Vận tốc của con lắc ở vị trí cân bằng là:

\(\begin{gathered}
{v_{\max }} = \sqrt {2gl\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)} \hfill \\
\Rightarrow \sqrt {2.10.1.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)} = \frac{1}{3} \hfill \\
\Rightarrow \cos {\alpha _0} = \frac{{179}}{{180}} \hfill \\
\end{gathered} \)

Lực căng cực đại và cực tiểu của dây treo là:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
{T_{\max }} = mg\left( {3 - 2\cos {\alpha _0}} \right) \hfill \\
= 0,15.10.\left( {3 - 2.\frac{{179}}{{180}}} \right) = 1,516\,\,\left( N \right) \hfill \\
\end{gathered} \\
\begin{gathered}
{T_{\min }} = mg\left( {3\cos {\alpha _0} - 2\cos {\alpha _0}} \right) \hfill \\
= 0,15.10.\left( {3.\frac{{179}}{{180}} - 2.\frac{{179}}{{180}}} \right) = 1,491\,\,\left( N \right) \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\)

Lực căng dây của con lắc là:

\(\begin{array}{l}T = mg\left( {3\cos \alpha  - 2\cos {\alpha _0}} \right) = mg\\ \Rightarrow 3\cos \alpha  - 2\cos {\alpha _0} - 1 \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{1 + 2\cos {\alpha _0}}}{3}\end{array}\)

Ta có tỉ số:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{{\rm{W}}_t}}}{{{{\rm{W}}_d}}} = \dfrac{{mgl\left( {1 - \cos \alpha } \right)}}{{mgl\left( {\cos \alpha  - \cos {\alpha _0}} \right)}} = \dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{\cos \alpha  - \cos {\alpha _0}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{{\rm{W}}_t}}}{{{{\rm{W}}_d}}} = \dfrac{{1 - \dfrac{{1 + 2\cos {\alpha _0}}}{3}}}{{\dfrac{{1 + 2\cos {\alpha _0}}}{3} - \cos {\alpha _0}}} = \dfrac{{\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3}\cos {\alpha _0}}}{{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3}\cos {\alpha _0}}} = 2\end{array}\)

+ Khi động năng bằng thế năng:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_t} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t}\\ \Leftrightarrow mgl.\left( {1 - \cos {\alpha _1}} \right) = mgl.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right) - mgl.\left( {1 - \cos {\alpha _1}} \right)\\ \Leftrightarrow 1 - \cos {\alpha _1} = \cos {\alpha _1} - \cos {\alpha _0}\\ \Leftrightarrow \cos {\alpha _1} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}.\cos {\alpha _0}\end{array}\)

+ Khi độ lớn của lực căng dây treo bằng trọng lực tác động lên vật:

\(\begin{array}{l}mg.\left( {3\cos {\alpha _2} - 2\cos {\alpha _0}} \right) = mg\\ \Leftrightarrow 3\cos {\alpha _2} - 2\cos {\alpha _0} = 1 \Leftrightarrow \cos {\alpha _2} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}.\cos {\alpha _0}\end{array}\)

+ Suy ra:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \dfrac{{\sqrt {2gl\left( {\cos {\alpha _1} - \cos {\alpha _0}} \right)} }}{{\sqrt {2gl\left( {\cos {\alpha _2} - \cos {\alpha _0}} \right)} }} = \sqrt {\dfrac{{\cos {\alpha _1} - \cos {\alpha _0}}}{{\cos {\alpha _2} - \cos {\alpha _0}}}} \\\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {\dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}.\cos {\alpha _0} - \cos {\alpha _0}}}{{\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}.\cos {\alpha _0} - \cos {\alpha _0}}}}  = \sqrt {\dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)}}{{\dfrac{1}{3}\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)}}}  = \sqrt {\dfrac{3}{2}} \end{array}\)

Gia tốc pháp tuyến: \({a_n} = 2g\left( {\cos \alpha  - \cos {\alpha _0}} \right)\)

Gia tốc tiếp tuyến: \({a_t} = g\sin \alpha \)

Gia tốc tổng hợp: \(a = \sqrt {a_n^2 + a_t^2}  \Rightarrow a = g\sqrt {3{{\cos }^2}\alpha  - 4\cos \alpha  + 2} \)

\( \Rightarrow {a_{\min }} \Leftrightarrow {\left[ {\left( {3{{\cos }^2}\alpha  - 4\cos \alpha  + 2} \right)} \right]_{\min }}\)

\( \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{2}{3} \Rightarrow {a_{\min }} = g\sqrt {\frac{2}{3}}  = 9,8\sqrt {\frac{2}{3}}  = 8m/{s^2}\)