Con lắc lò xo

Ta có, tần số dao động của con lắc lò xo: \(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}} \)

Khi tăng khối lượng lên 4 lần và độ cứng tăng 2 lần tức là \(\left\{ \begin{array}{l}m' = 4m\\k' = 2k\end{array} \right.\)

Tần số dao động của con lắc khi này: \(f' = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{{k'}}{{m'}}}  = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{{2k}}{{4m}}}  = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{2m}}} \)

\(\dfrac{{f'}}{f} = \dfrac{{\dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{2m}}} }}{{\dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Rightarrow f' = \dfrac{f}{{\sqrt 2 }}\)

Hay nói cách khác khi tăng khối lượng lên $4$ lần và độ cứng tăng $2$ lần thì tần số dao động sẽ giảm \(\sqrt 2 \) lần

Ta có, chu kì dao động của con lắc lò xo: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}  \to {T^2} = 4{\pi ^2}\dfrac{m}{k}\)

=> Đồ thị $T -  m$ có dạng parabol 

A - sai vì: Động năng của con lắc lò xo:

\(\begin{array}{l}{W_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\sin ^2}(\omega t + \varphi )\\ = W - {W_t} = \dfrac{1}{2}k{A^2} - \dfrac{1}{2}k{x^2}\end{array}\)

B, C, D - đúng

Tại vị trí có động năng gấp n lần thế năng của vật: W_đ = nW_t

\(\left\{ \begin{array}{l}{W_d} = n{W_t}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{W_t} = \dfrac{1}{{n + 1}}W\\{W_d} = \dfrac{n}{{n + 1}}W\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm \dfrac{A}{{\sqrt {n + 1} }}\\v =  \pm A\omega \sqrt {\dfrac{n}{{n + 1}}} \end{array} \right.\)

Ta có độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng:

\(\Delta l = l - {l_0} = 27,5 - 25 = 2,5cm = 0,025m\)

Chu kì dao động của con lắc lò xo treo thẳng đứng:

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{{\Delta l}}{g}}  = 2\pi \sqrt {\frac{{0,025}}{{10}}}  = 0,314s\)

Tần số góc:

\(\omega  = 2\pi f = 10\pi (ra{\rm{d}}/s)\)

Tại li độ $x = 2cm$ có:

+ Thế năng:

\({{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}k{{\rm{x}}^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2} = \dfrac{1}{2}0,1.{(10\pi )^2}{(0,02)^2} = 0,02J\)

+ Động năng:

\({{\text{W}}_d} = {\text{W  -  }}{{\text{W}}_t} = 0,08 - 0,02 = 0,06J\)

\(\dfrac{{{{\text{W}}_d}}}{{{{\text{W}}_t}}} = \dfrac{{0,06}}{{0,02}} = 3\)

Chu kì dao động của chất điểm:

\(T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,5{\rm{s}}\)

Tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}x = Ac{\rm{os}}\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\\v =  - A\omega \sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right) > 0\end{array} \right.\)

Tại vị trí: \({{\text{W}}_t} = {{\text{W}}_d} \to 2{{\text{W}}_t} = {\text{W}} \to x =  \pm \dfrac{A}{{\sqrt 2 }}\)

Ta có: $1s = 2T$

=> Sau $1s$, chất điểm lại quay về vị trí ban đầu

Mặt khác, trong $1$ chu kì chất điểm đi qua li độ mà động năng bằng thế năng $4$ lần

=> Trong $1s (2T)$ chất điểm đi qua li độ có động năng bằng thế năng $2.4 = 8$ lần

Gọi \(T'\): chu kì tuần hoàn của thế năng

Ta có: \(T' = \dfrac{T}{2}\)

Từ đồ thị Wt - t, ta có:

\(\begin{array}{l}{t_2} - {t_1} = {\rm{ }}0,05s = T' = \dfrac{T}{2} \to T = 0,1s\\ \to \omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = 20\pi \left( {rad/s} \right)\end{array}\)

\({{\rm{W}}_{{t_{{\rm{max}}}}}}{\rm{ = }}\dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = 3,{2.10^{ - 3}} \to A = \sqrt {\dfrac{{2{{\rm{W}}_{{t_{{\rm{max}}}}}}}}{{m{\omega ^2}}}}  = \sqrt {\dfrac{{2.3,{{2.10}^{ - 3}}}}{{0,1{{(20\pi )}^2}}}}  = {4.10^{ - 3}}m = 0,4cm\)

Từ đồ thị, ta có:

+ Tại thời điểm ban đầu (t =0) :

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_d} = 0,015 \to {{\rm{W}}_t} = 0,02 - 0,015 = {5.10^{ - 3}}J = \dfrac{{\rm{W}}}{4}\\ \to {x_0} =  \pm \dfrac{A}{2}\end{array}\)

+ Vị trí có W_đ = 0 lần thứ nhất: <=> x₁ = ±A

Dựa vào đồ thị ta suy ra: x₀ = A/2 và x₁ = A

=> Khoảng thời gian vật đi từ x₀ đến x₁ là:

\(\Delta t = \dfrac{T}{6} = \dfrac{1}{6}s \to T = 1{\rm{s}} \to \omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = 2\pi (ra{\rm{d}}/s)\)

\({{\rm{W}}_{{{\rm{d}}_{{\rm{max}}}}}} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = 0,02 \to A = \sqrt {\dfrac{{2{{\rm{W}}_{{d_{{\rm{max}}}}}}}}{{m{\omega ^2}}}}  = \sqrt {\dfrac{{2.0,02}}{{0,4.{{(2\pi )}^2}}}}  = 0,05m = 5cm\)

Tại t = 0:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = Ac{\rm{os}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{A}{2}\\v =  - {\rm{Asin}}\varphi  > 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\varphi {\rm{ = }}\frac{1}{2}\\\sin \varphi  < 0\end{array} \right. \to \varphi  =  - \dfrac{\pi }{3}\)

=> Phương trình dao động của vật: \(x = 5c{\rm{os}}\left( {2\pi t - \dfrac{\pi }{3}} \right)cm\)

Ta có:

+ Chu kì dao động: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}  = 0,4s\)

+ Biên độ dao động ban đầu: \({A_0} = 4cm\)

+ Tại thời điểm \(t = 0\): \(x = 4cm\)

+ Tại thời điểm \(t = 0,2s = \dfrac{T}{2}\): \(x' = 4cm\) và khi đó thiết lập điện trường không đổi trong thời gian \(0,2s\)

Vì \(\overrightarrow E \) hướng ra xa điểm cố định và điện tích \(q > 0\) nên \(\overrightarrow {{F_d}}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow E \)

\( \Rightarrow \) Vị trí cân bằng khi có điện trường lệch ra xa điểm cố định \({x_0} = \dfrac{{qE}}{k} = 0,01m = 1cm\)

\( \Rightarrow \) Biên độ khi có điện trường: \({A_1} = {A_0} + {x_0} = 4 + 1 = 5cm\)

Điện trường không còn sau \(0,2s = \dfrac{T}{2}\) vật sẽ dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng ban đầu

\( \Rightarrow \) Biên độ trong giai đoạn này: \({A_2} = {A_1} + {x_0} = 6cm\)

\( \Rightarrow \) Tốc độ cực đại: \({v_{max}} = \omega {A_2} = \dfrac{{2\pi }}{{0,4}}.6 = 30\pi \left( {cm/s} \right)\)

Ta có:

\({\rm{W}} = {{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_t}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}k{A^2} = \dfrac{1}{2}m{v^2} + \dfrac{1}{2}k{{\rm{x}}^2}\)

Tại VTCB thế năng bằng 0.

Vị trí con lắc có động năng bằng cơ năng => là vị trí động năng cực đại => VTCB.

Tại VTCB, li độ x = 0.

+ Khi vật \({m_1}\) ở vị trí biên dưới, ta đặt vật \({m_2}\) thì dao động dừng

\( \Rightarrow \) Vị trí cân bằng mới của hệ trùng với vị trí biên dưới

\( \Rightarrow \) Độ biến dạng của lò xo tại vị trí này là: \(\Delta l = \dfrac{{{m_1}g}}{k} + A\)

+ Tại điểm đó: Lực đàn hồi cân bằng với trọng lực: \({P_1} + {P_2} = {F_{dh}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m_1}g + {m_2}g = k\Delta l\\ \Leftrightarrow 0,4.10 + 0,1.10 = k\left( {\dfrac{{0,4.10}}{k} + 0,04} \right)\\ \Rightarrow k = 25N/m\end{array}\)

+ Chu kì dao động ban đầu của vật: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{{{m_1}}}{k}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{0,4}}{{25}}}  = 0,8s\) 

Độ dài quỹ đạo dao động của con lắc là:

\(L = 2A \Rightarrow A = \dfrac{L}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\,\,\left( {cm} \right) = 0,04\,\,\left( m \right)\)

Từ đồ thị ta thấy khi động năng bằng 0, thế năng của con lắc:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_{t\max }} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = {4.10^{ - 3}}\,\,\left( J \right)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{2}0,1.{\omega ^2}.0,{04^2} = {4.10^{ - 3}} \Rightarrow \omega  = 5\sqrt 2 \,\,\left( {rad/s} \right)\end{array}\)

Với con lắc lò xo có chiều dài l; (l – 12), ta có tỉ số: \(\dfrac{{{{\rm{l}}_1}}}{{{{\rm{l}}_2}}} = \dfrac{{\rm{l}}}{{{\rm{l}} - 12}} = \dfrac{{{k_2}}}{{{k_1}}}\)

Chu kì của con lắc:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{T_1} = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{{{k_1}}}} \\{T_2} = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{{{k_2}}}} \end{array} \right. \Rightarrow {\left( {\dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}}} \right)^2} = \dfrac{{{k_2}}}{{{k_1}}} = \dfrac{{\rm{l}}}{{{\rm{l}} - 12}}\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{{2,5}}{{1,5}}} \right)^2} = \dfrac{{\rm{l}}}{{{\rm{l}} - 12}} \Rightarrow {\rm{l}} = 18,75\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Với chiều dài lò xo là \(\left( {{\rm{l}} - 15} \right)\,\,\left( {cm} \right)\), ta có tỉ số:

\(\dfrac{{{{\rm{l}}_1}}}{{{{\rm{l}}_3}}} = \dfrac{{\rm{l}}}{{{\rm{l}} - 15}} = \dfrac{{{k_3}}}{{{k_1}}} \Rightarrow \dfrac{{{k_3}}}{{{k_1}}} = \dfrac{{18,75}}{{18,75 - 15}} = 5\)

Chu kì của con lắc khi đó là:

\({T_3} = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{{{k_3}}}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{{5{k_1}}}}  = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}.2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}  = \dfrac{{{T_1}}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2,5}}{{\sqrt 5 }} \approx 1,12\,\,\left( s \right)\)

Ta có, chu kì dao động của con lắc tại các vị trí \(\Delta m\) là: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{{m + \Delta m}}{k}} \)

Từ đồ thị, ta có:

+ Tại \(\Delta {m_{10}} = 10g\) ta có: \(T_{10}^2 = 0,3{s^2}\)

+ Tại \(\Delta {m_{30}} = 30g\) ta có: \(T_{30}^2 = 0,4{s^2}\)

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}{T_{10}} = 2\pi \sqrt {\frac{{m + \Delta {m_{10}}}}{k}} \\{T_{30}} = 2\pi \sqrt {\frac{{m + \Delta {m_{30}}}}{k}} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \frac{{T_{10}^2}}{{T_{30}^2}} = \frac{{m + \Delta {m_{10}}}}{{m + \Delta {m_{30}}}} = \frac{{0,3}}{{0,4}} \Leftrightarrow \frac{{m + 10}}{{m + 30}} = \frac{3}{4} \Rightarrow m = 50g\)

+ Khối lượng của ghế khi chưa có nhà du hành:

\({T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}}  \Rightarrow m = \frac{{T_0^2.k}}{{4{\pi ^2}}} = \frac{{{1^2}.480}}{{4.{\pi ^2}}} = 12,16\left( {kg} \right)\)

+ Khối lượng của ghế và nhà du hành (khi có nhà du hành):

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{{M + m}}{k}}  \Rightarrow m + M = \frac{{{T^2}.k}}{{4{\pi ^2}}} = \frac{{2,{5^2}.480}}{{4{\pi ^2}}} = 76\left( {kg} \right)\)

+ Khối lượng của nhà du hành là:

\(M = 76 - 12,16 = 63,84\left( {kg} \right)\)

Các nhà du hành làm việc trên trạm không gian quốc tế ISS được cân bằng con lắc lò xo.