Sóng dừng

Khoảng cách giữa 5 nút liền kề là

$4\frac{\lambda }{2} = 100 \to \lambda  = 50cm = 0,5m$

Vận tốc truyền sóng:

$v = \lambda f = 0,5.100 = 50m/s$

Điều kiện để có sóng dừng trên dây hai đầu cố định: $l = k\frac{\lambda }{2}{\text{  }}(k \in {N^*})$

Có 1 bụng sóng khi k = 1 => λ =2l

Điều kiện để có sóng dừng trên dây hai đầu cố định: $l = k\dfrac{\lambda }{2}{\text{  }}(k \in {N^*})$

Số bụng sóng = số bó sóng = k ;   

Số nút sóng = k + 1

Vì hai đầu cố định là 2 nút nên ta có:

$l=k\dfrac{\lambda }{2}$ $= k\dfrac{v}{{2f}}$ $= k’\dfrac{{\lambda '}}{2}$ $= k’\dfrac{v}{{2f'}}$ 

=> $f’ =\dfrac{{k'f}}{k}= 63 Hz$

Khi $B$ tự do thì:

$ l = (2k + 1)\dfrac{{{\lambda _1}}}{4}$  $= (2k + 1)\dfrac{v}{{4{f_1}}}$.

Khi $B$ cố định thì:

$l = k\dfrac{{{\lambda _2}}}{2}$$= k\dfrac{v}{{2{f_2}}}$

$f_2 = \dfrac{{2k{f_1}}}{{2k + 1}}$.

Vì trên dây có $6$ nút nên $k = 5$.

Vậy: $f_2=\dfrac{{2.5.22}}{{2.5 + 1}}= 20 (Hz)$

Ta có:

\(\lambda  = \dfrac{v}{f} = 0.5{\text{ }}m = 50{\text{ }}cm.\)

Ta có điều kiện để có sóng dừng trên dây hai đầu cố định:

$l = k\dfrac{\lambda }{2}{\text{  }}(k \in {N^*})$

Số bụng sóng = số bó sóng = k ;

Số nút sóng = k + 1

Trên dây có:

\(k = \dfrac{{AB}}{{\dfrac{\lambda }{2}}} = \dfrac{{2AB}}{\lambda } = 4\) bụng sóng.

=> số nút = k + 1 = 5 nút sóng

Ta có điều kiện để có sóng dừng trên dây hai đầu cố định:

$l = k\frac{\lambda }{2}{\text{  }}(k \in {N^*})$

Số bụng sóng = số bó sóng = k ; Số nút sóng = k + 1

$l = k\frac{\lambda }{2} \leftrightarrow 0,9 = 9\frac{\lambda }{2} \to \lambda  = 0,2m$

tốc độ truyền sóng trên dây:

\(v = \lambda f = 0,2.200 = 40m/s\)

Ta có:  

\(\lambda  = \dfrac{v}{f} = 0,02{\text{ }}m = 2{\text{ }}cm\)

Ta có điều kiện để có sóng dừng trên dây hai đầu cố định:

$l = k\dfrac{\lambda }{2}{\text{  }}(k \in {N^*})$

Số bụng sóng = số bó sóng = k ; Số nút sóng = k + 1

\(AM = 3,5{\text{ }}cm{\text{ }} = 7\dfrac{\lambda }{4} = \left( {2.3{\text{ }} + {\text{ }}1} \right)\dfrac{\lambda }{4}\)

=> M là bụng số $4$

$l = k\dfrac{\lambda }{2}{\text{ }} \leftrightarrow 0,5 = {\text{k}}\dfrac{{0,02}}{2} \to k = 50$

=> Trên dây có $50$ bụng, $51$ nút

Ta có:

${A_M} = 2a\left| {{\text{cos}}(2\pi \dfrac{d}{\lambda })} \right|$

$ \to d = \dfrac{\lambda }{4} \to {A_M} = 2a\left| {{\text{cos}}(2\pi \dfrac{1}{4})} \right| = 0$

Vì $B$ là điểm bụng gần nút $A$ nhất

$C$- là trung điểm của $AB$ =>

$AC = \dfrac{\lambda }{8} = 10cm \to \lambda  = 80cm$

Biên độ dao động của phần tử tại $C$:

${A_C} = \sqrt 2 A$

Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động của phần tử tại $B$ bằng biên độ dao động của phần tử tại $C$ là:

$\dfrac{T}{4} = 0,1{\text{s}} \to T = 0,4{\text{s}}$

Vận tốc truyền sóng:

$v = \dfrac{\lambda }{T} = \dfrac{{0,8}}{{0,4}} = 2m/s$

Các điểm dao động với biên độ \(b \ne 0\) và \(b \ne 2a\) (tức là không phải là điểm nút và điểm bụng) cách đều nhau thì khoảng cách giữa hai điểm bằng $\dfrac{\lambda }{4} = 1m \to \lambda = 4m$

Do đó  $v = λf = 4.50 = 200 (m/s)$

Theo hình vẽ ta thấy

 \(b =\dfrac{{2a\sqrt 2 }}{2}= a\sqrt 2 \)

(Biên độ của bụng sóng là $2a$)

Ta có M, N, P là các vị trí cân bằng liên tiếp có cùng biên độ và \({v_N}.{v_P} \ge 0\)

Ta suy ra: N và P nằm trên một bó sóng: \(\dfrac{\lambda }{4} = \dfrac{1}{2}\left( {MN + NP} \right) = 30cm\)

\( \Rightarrow \lambda  = 120cm\)

Lại có, biên độ: \(A = {A_b}\sin \dfrac{{2\pi d}}{\lambda } = \sqrt 3 cm\)  (với \(d\) khoảng cách tới nút)

Ta suy ra: \({A_b}\sin \dfrac{{2\pi .20}}{{120}} = \sqrt 3  \Rightarrow {A_b} = 2 cm\)

Vận tốc của phần tử tại trung điểm N, P khi dây duỗi thẳng là vận tốc khi qua vị trí cân bằng

\(v = {v_{max}} = {A_b}.\omega  = 2  .20 = 40 \left( {cm/s} \right)\)

Tần số trên dây với n bó sóng là: \(f = n.{f_0}\)

Trên dây có 4 bụng sóng → có 4 bó sóng, tần số tương ứng là: \(1760 = 4{f_0} \Rightarrow {f_0} = 440\left( {Hz} \right)\)

Để giá trị tần số nhỏ nhất mà trên dây vẫn còn sóng dừng, số bó sóng trên dây là nhỏ nhất:

\({n_{\min }} = 1 \Rightarrow {f_{\min }} = 1.{f_0} = 1.440 = 440\,\,\left( {Hz} \right)\)

Trên dây hình thành 2 bụng sóng, ta có:

\({\rm{l}} = k\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow 120 = 2.\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow \lambda  = 120\,\,\left( {cm} \right)\)

Biên độ của điểm P là:

\(\begin{array}{l}{A_P} = {A_{bung}}.\left| {\sin \dfrac{{2\pi x}}{\lambda }} \right| \Rightarrow \dfrac{A}{2} = A.\left| {\sin \dfrac{{2\pi x}}{{120}}} \right|\\ \Rightarrow \left| {\sin \dfrac{{2\pi x}}{{120}}} \right| = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 10\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Tốc độ truyền sóng trên dây trung bình là: \(\overline v  = \overline \lambda  \overline f  = 2\overline {\rm{l}} \overline f  = 2.0,02.100 = 4\,\,\left( m \right)\)

Do \({\rm{l}} = \dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow \dfrac{{\Delta {\rm{l}}}}{{\overline {\rm{l}} }} = \dfrac{{\Delta \lambda }}{{\overline \lambda  }}\)

Sai số tỉ đối là: \(\delta  = \dfrac{{\Delta v}}{{\overline v }} = \dfrac{{\Delta \lambda }}{{\overline \lambda  }} + \dfrac{{\Delta f}}{{\overline f }} = \dfrac{{\Delta {\rm{l}}}}{{\overline {\rm{l}} }} + \dfrac{{\Delta f}}{{\overline f }} = 0,82\%  + 0,02\%  = 0,84\% \)

Vậy tốc độ truyền sóng trên dây là: \(v = 4\,\,m/s \pm 0,84\% \)

Khi trên dây có 1 bó sóng, ta có chiều dài dây là: \({\rm{l}} = \dfrac{v}{{2{f_1}}}\)

Khi trên dây có 7 bó sóng, chiều dài dây là: \({\rm{l}} = 7\dfrac{v}{{2{f_7}}}\)

\( \Rightarrow {\rm{l}} = 7\dfrac{v}{{2{f_7}}} = \dfrac{v}{{2{f_1}}} = \dfrac{{6v}}{{2\left( {{f_7} - {f_1}} \right)}} \Rightarrow {f_1} = \dfrac{{{f_7} - {f_1}}}{6} = \dfrac{{150}}{6} = 25\,\,\left( {Hz} \right)\)

Khi trên dây có 4 nút sóng, số bó sóng trên dây là 3, khi đó ta có:

\({\rm{l}} = 3\dfrac{v}{{2{f_3}}} = \dfrac{v}{{2{f_1}}} \Rightarrow {f_3} = 3{f_1} = 3.25 = 75\,\,\left( {Hz} \right)\)

Khi khoảng cách giữa piston và đầu hởi của ống là \(L = 45cm\) thì đầu hở của ống nghe thấy âm thanh lớn

\( \Rightarrow \) Đầu piston là nút sóng, đầu hở là bụng sóng.

Ta có hình vẽ minh họa:

Áp dụng điều kiện có sóng dừng một đầu là nút sóng một đầu là bụng sóng ta có:

\(l = \left( {2k + 1} \right)\dfrac{\lambda }{4} = \left( {2k + 1} \right)\dfrac{v}{{4f}} \Rightarrow f = \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)v}}{{4.L}}\)

Để \({f_{\min }} \Leftrightarrow {k_{\min }} = 0\) \( \Rightarrow {f_{\min }} = \dfrac{v}{{4.L}} = \dfrac{{330}}{{4.0,45}} = 183,33Hz\)

Nhận xét: hai điểm S, T đối xứng qua nút sóng \( \to \) S, T dao động ngược pha

Khoảng cách từ S và T tới nút sóng gần nhất là R là:

\(RS = RT = x \Rightarrow {A_S} = {A_T}\)

→ Hai điểm S, T dao động cùng biên độ, ngược pha (lệch pha 180⁰)

Ứng dụng của hiện tượng sóng dừng là để tính ra tốc độ truyền sóng trên vật tạo ra sóng dừng (sợi dây,…)