Phóng xạ

  t = 8 tuần = 56 ngày = 7.T .Suy ra sau thời gian t thì khối lượng chất phóng xạ \({}_{53}^{131}\)I còn lại là :

  \(m = {m_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}} = {100.2^{ - 7}}\)= 0,78 gam .

 T = 3,8 ngày ; t = 11,4 = 3T ngày. Do đó ta đưa về hàm mũ để giải nhanh như sau :

  \(H = {H_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} \Leftrightarrow \dfrac{H}{{{H_0}}} = {2^{ - \dfrac{t}{T}}}\) \(\Leftrightarrow \) \(\dfrac{H}{{{H_0}}} = {2^{ - 3}} = \dfrac{1}{8}\) \(= 12,5\) %

t = 2 năm, T = 2,6 năm

Ta có: khối lượng hạt nhân đã phân rã: \(\Delta m{\rm{ }} = {m_0}(1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}) \to \frac{{\Delta m}}{{{m_0}}} = 1 - {2^{ - \frac{t}{T}}} = 1 - {2^{ - \frac{2}{{2,6}}}} = 0,4133 = 41,33\% \)

Số hạt nhân nguyên tử có trong 1 gam  ²²⁶Ra là :

\(N_0=\dfrac{m}{A}.{N_A} = \dfrac{1}{{226}}.6,{022.10^{23}} = 2,{6646.10^{21}}\) hạt

Suy ra số hạt nhân nguyên tử Ra phân rã sau 1 s là :

\(\Delta N = {N_0}(1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}) = 2,{6646.10^{21}}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{1}{{1580.365.86400}}}}} \right) = 3,{70.10^{10}}\) hạt

Ta có:

\({m_{Pb}} = \dfrac{{\Delta {m_{Po}}}}{{{A_{Po}}}}.{A_{Pb}} \\= {m_0}\dfrac{{{A_{Pb}}}}{{{A_{Po}}}}(1 - {2^{\dfrac{t}{T}}}) \\= 42\dfrac{{206}}{{210}}(1 - {2^{ - \dfrac{{280}}{{140}}}}) = 30,9mg\)

Nhận xét : t = 3T nên ta dùng hàm mũ 2 để giải cho nhanh bài toán :

- Khối lượng Na bị phân rã sau t = 45 giờ = 3T :

\(\begin{array}{l}\Delta m = {m_0}(1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}) = 12(1 - {2^{ - 3}})\\ \leftrightarrow \Delta m{\rm{ }} = {\rm{ }}10,5{\rm{ }}g\end{array}\)

 - Suy ra khối lượng của Mg tạo thành : \({m_{con}} = \dfrac{{\Delta {m_{me}}.{A_{con}}}}{{{A_{me}}}} = \frac{{10,5}}{{24}}.24 = 10,5g\)

Ta có \(\frac{m}{{{m_0}}}\)=\(\frac{1}{{{2^{\frac{t}{T}}}}}\)=\(\frac{1}{{16}} = \frac{1}{{{2^4}}}\) 

\( \to \frac{t}{T} = 4 \Rightarrow T = \frac{t}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\)  năm

A phân rã => B + C  

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{P_t}}  = \overrightarrow {{P_s}} \\{m_A}{c^2} = \left( {{m_B} + {m_C}} \right){c^2} + {{\rm{W}}_{{d_B}}} + {{\rm{W}}_{{d_C}}}\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = {m_B}\overrightarrow {{v_B}}  + {m_C}\overrightarrow {{v_C}} \\\Delta E{\rm{ = }}{{\rm{W}}_{{d_B}}} + {{\rm{W}}_{{d_C}}}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{W}}_{{d_B}}} = \frac{{{m_C}}}{{{m_B} + {m_C}}}\Delta E\\{{\rm{W}}_{{d_C}}} = \frac{{{m_B}}}{{{m_B} + {m_C}}}\Delta E\end{array} \right.\)

\(A\) phân rã => \(B\) + \(\alpha\)

áp dụng định luật bảo toàn động lượng, ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{P_t}}  = \overrightarrow {{P_s}}  \leftrightarrow 0 = {m_B}\overrightarrow {{v_B}}  + {m_\alpha }\overrightarrow {{v_\alpha }} \\ \to {m_B}\overrightarrow {{v_B}}  =  - {m_\alpha }\overrightarrow {{v_\alpha }} \end{array}\)

Mặt khác, ta có: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{{{P^2}}}{{2m}}\)

\(\begin{array}{l} \to P_B^2 = P_\alpha ^2 \leftrightarrow 2{m_B}{{\rm{W}}_{{d_B}}} = 2{m_\alpha }{{\rm{W}}_{{d_\alpha }}}\\\dfrac{{{{\rm{W}}_{{d_\alpha }}}}}{{{{\rm{W}}_{{d_B}}}}} = \dfrac{{{m_B}}}{{{m_\alpha }}}\end{array}\) 

\(_Z^AX \to _2^4\alpha  + _{Z - 2}^{A - 4}Y\) 

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng, ta có:

\(\begin{array}{l}0 = {m_Y}\overrightarrow {{v_Y}}  + {m_\alpha }\overrightarrow {{v_\alpha }}  \to {m_Y}\overrightarrow {{v_Y}}  =  - {m_\alpha }\overrightarrow {{v_\alpha }} \\ \to {v_Y} = \frac{{{m_\alpha }{v_\alpha }}}{{{m_Y}}} = \frac{{4v}}{{A - 4}}\end{array}\) 

Phương pháp đồng vị phóng xạ Carbon chỉ dùng đối với cổ vật có nguồn gốc sinh vật.

Vậy những vật có thể dùng là: Trái cây khô và giày da.

Ta có: \(N = {N_0}{e^{ - \lambda t}} \Rightarrow \)Số hạt bị phân rã là:

\(\Delta N = {N_0} - {N_0}{e^{ - \lambda t}} = {N_0}(1 - {e^{ - \lambda t}})\)

\( \Rightarrow \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}} = 1 - {e^{ - \lambda t}} \Rightarrow 1 - \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}} = {e^{ - \lambda t}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{\left( {1 - \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)}} = {e^{\lambda t}} \Rightarrow \ln {\left( {1 - \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)^{ - 1}} = \lambda t\)

 Từ đồ thị ta thấy \(\lambda  \approx 0,078\)

\( \Rightarrow T = \dfrac{{\ln 2}}{\lambda } \approx 8,9\) (ngày)

Ta có: \(Po \to \alpha  + Pb\)

\(\Delta E = \left( {{m_{Po}} - {m_\alpha } - {m_{Pb}}} \right).{c^2} = 5,{8.10^{ - 3}}u{c^2} = 5,4027MeV\)

Ta có: \({{\rm{W}}_{{d_\alpha }}} + {{\rm{W}}_{{d_{Pb}}}} = \Delta E\)  (1)

Lại có: \(\overrightarrow {{P_{Po}}}  = \overrightarrow {{P_\alpha }}  + \overrightarrow {{P_{Pb}}} \)

Có \({v_{Po}} = 0 \Rightarrow {P_{Po}} = 0 \Rightarrow {P_\alpha } = {P_{Pb}}\)

\( \Rightarrow P_\alpha ^2 = P_{Pb}^2 \Rightarrow {m_\alpha }{{\rm{W}}_{{d_\alpha }}} = {m_{Pb}}{{\rm{W}}_{{d_{Pb}}}}\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{W}}_{{d_\alpha }}} = 5,29MeV\\{{\rm{W}}_{{d_{Pb}}}} = 0,1029MeV = 1,{6464.10^{ - 14}}J\end{array} \right.\)

Lại có \({{\rm{W}}_{{d_{Pb}}}} = \dfrac{1}{2}{m_{Pb}}v_{Pb}^2\)

\( \Rightarrow {v_{Pb}} = \sqrt {\dfrac{{2{W_{{d_{Pb}}}}}}{{{m_{Pb}}}}}  = \sqrt {\dfrac{{2.1,{{6464.10}^{ - 14}}}}{{205,9744.1,{{66055.10}^{ - 27}}}}}  = 3,{06.10^5}m/s\)

Khối lượng Co còn lại sau 10,66 năm là:

\(m = {m_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {1000.2^{ - \dfrac{{10,66}}{{5,33}}}} = 250g\)

Số nguyên tử Coban còn lại là:

\(N = \dfrac{m}{A}.{N_A} = \dfrac{{250}}{{60}}.6,{02.10^{23}} = 2,{51.10^{24}}\)

Số hạt nhân bị phân rã là: \(\Delta N = \dfrac{7}{8}{N_0}\)

Số hạt nhân còn lại là: \(N\left( t \right) = {N_0} - \Delta N = {N_0} - \dfrac{7}{8}{N_0} = \dfrac{1}{8}{N_0}\)

\( \Rightarrow {N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = \dfrac{1}{8}{N_0} \Rightarrow {2^{ - \dfrac{t}{T}}} = \dfrac{1}{8} = {2^{ - 3}} \Rightarrow \dfrac{t}{T} = 3 \Rightarrow t = 3T = 3.138 = 414\) (ngày)

Số hạt nhân mẹ còn lại sau thời gian t được xác định bởi:  \(N = {N_0}{.2^{\frac{{ - t}}{T}}}\)

Số hạt nhân con được tạo thành hay số hạt nhân mẹ đã bị phân rã sau thời gian t được xác định bởi:

\(\begin{array}{l}
N' = {N_0} - N = {N_0}.(1 - {2^{\frac{{ - t}}{T}}}) = 70\% {N_0}\\
\Rightarrow (1 - {2^{\frac{{ - t}}{T}}}) = 70\% = 0,7 \Rightarrow {2^{\frac{{ - t}}{T}}} = 0,3\\
\Rightarrow t = - T.{\log _2}(0,3) = 1,74T = 1,74.3,8 = 6,6
\end{array}\)

Vậy thời gian là 6,6 ngày.

Số hạt đã bị phân rã được xác định theo công thức:\(\Delta N = {N_0}.\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)\)

Hàm số \(\Delta N = {N_0}.\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)\) tăng từ 0 theo t và có tiệm cận ngang đi qua \({N_0}\).

\( \Rightarrow \) Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của \(\Delta N\) theo thời gian là đồ thị B.

Độ phóng xạ của hạt nhân \({}^{60}Co\) là:

\(\begin{array}{l}H = N\dfrac{{\ln 2}}{T} \Rightarrow N = \dfrac{{H.T}}{{\ln 2}}\\ \Rightarrow N = \dfrac{{6000.3,{{7.10}^{10}}.5,27.365,25.86400}}{{\ln 2}} \approx 5,{33.10^{22}}\,\,\left( {hat} \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\dfrac{{hc}}{\lambda } = {{\rm{W}}_\alpha } - {\rm{W}}_\alpha' \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{hc}}{\lambda } = \dfrac{{{m_{Th}}}}{{{m_{Th}} + {m_\alpha }}}\left( {{m_U} - {m_{Th}} - {m_\alpha }} \right){c^2} - {\rm{W}}_\alpha' \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{6,{{625.10}^{ - 34}}{{.3.10}^8}}}{\lambda } = \dfrac{{229,9737u}}{{229,9737u + 4,00151u}}.(233,9904u - 229,9737u - 4,00151u).{c^2} - 12,89MeV\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{6,{{625.10}^{ - 34}}{{.3.10}^8}}}{\lambda } = 0,983.0,01519u.{c^2} - 12,89MeV\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{6,{{625.10}^{ - 34}}{{.3.10}^8}}}{\lambda } = 0,983.0,01519.\dfrac{{931,5MeV}}{{{c^2}}}.{c^2} - 12,89MeV\)

\( \Leftrightarrow \lambda  = \dfrac{{6,{{625.10}^{ - 34}}{{.3.10}^8}}}{{(0,983.0,01519.931,5 - 12,89){{.10}^6}.1,{{6.10}^{ - 19}}}}\)

\( \Leftrightarrow \lambda  = 1,{22.10^{ - 12}}\left( m \right)\)