Con lắc đơn

Ta có chu kì dao động của con lắc đơn: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

=> Chu kì dao động của con lắc đơn tỉ lệ thuận với căn bậc 2 chiều dài con lắc và tỉ lệ nghịch với căn bậc hai gia tốc trọng trường.

Ta có chu kì dao động của con lắc đơn: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

=> Chu kì dao động của con lắc đơn phụ thuộc vào chiều dài con lắc đơn (l) và gia tốc trọng trường (g)

Ta có, tỉ số trọng lượng và khối lượng của con lắc là:

\(\frac{P}{m} = \frac{{mg}}{m} = g\)

A, B, D - loại

Ta có:

+ Chu kì dao động của con lắc đơn có chiều dài l:

\({T_1} = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} \)

+ Chu kì dao động của con lắc đơn có chiều dài 2l:

\({T_2} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{2l}}{g}}  = \sqrt 2 {T_1} = 2\sqrt 2 s\)

+ Tần số dao động của con lắc đơn có chiều dài l₁:

\({f_1} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{{{l_1}}}} \)

+ Tần số dao động của con lắc đơn có chiều dài l₂:

\({f_2} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{{{l_2}}}} \)

\( \to \dfrac{{{f_1}}}{{{f_2}}} = \sqrt {\dfrac{{{l_2}}}{{{l_1}}}} \)

Ta có:

+ Chu kì dao động của con lắc:

\(T = \dfrac{{\Delta t}}{N} = \dfrac{{20}}{{10}} = 2{\rm{s}}\)

Mặt khác, ta có:

\(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}  \to g = \dfrac{{4{\pi ^2}l}}{{{T^2}}} = \dfrac{{4{\pi ^2}.1}}{{{2^2}}} = {\pi ^2} \approx 9,869m/{s^2}\)

Ta có:

- Tần số dao động của con lắc đơn lúc đầu: \({f_1} = \dfrac{{40}}{{\Delta t}} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{\ell }} \)

- Tần số dao động của con lắc đơn khi tăn chiều dài dây của dây treo thêm 19cm: \({f_2} = \dfrac{{36}}{{\Delta t}} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{{\ell  + 0,19}}} \)

$ \Rightarrow \dfrac{{{f_1}}}{{{f_2}}} = \dfrac{{40}}{{36}} = \sqrt {\dfrac{{l + 0,19}}{l}} {\rm{}} \to l = 0,81m = 81cm$

Ta có:

\({\alpha _0} = {9^0} = \dfrac{{9\pi }}{{180}}rad\)

\(\alpha  = 4,{5^0} = \dfrac{{4,5\pi }}{{180}}rad\)

Theo đề bài, ta có tại thời điểm \({t_0}\): \(\left\{ \begin{array}{l}s = 2,5\pi cm\\\alpha  = \dfrac{{4,5\pi }}{{180}}rad\end{array} \right.\)

Lại có \(s = l\alpha  \Rightarrow l = \dfrac{s}{\alpha } = \dfrac{{2,5\pi }}{{\dfrac{{4,5\pi }}{{180}}}} = 100cm = 1m\)

Ta có, vận tốc tại vị trí \(\alpha \) bất kì khi góc \( < {10^0}\): \(v = \sqrt {gl\left( {\alpha _0^2 - {\alpha ^2}} \right)} \)

Ta suy ra, vận tốc của vật tại thời điểm \({t_0}\) là: \(v = \sqrt {gl\left( {\alpha _0^2 - {\alpha ^2}} \right)}  = \sqrt {10.1\left( {{{\left( {\dfrac{{9\pi }}{{180}}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{4,5\pi }}{{180}}} \right)}^2}} \right)}  = 0,43m = 43cm\)

Bộ thiết bị thí  nghiệm khảo sát dao động của con lắc đơn gồm: 5 – dây treo; 6 – quả cầu; 7 – cổng quang điện hồng ngoại; 8 – đồng hồ đo thời gian hiện số; 9 – thanh ke.

\(\begin{array}{l}\ell  = (800 \pm 1)mm\\T = (1,78 \pm ,02)s\\T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}}  \Rightarrow g = \frac{{4{\pi ^2}\ell }}{{{T^2}}} = \overline g  \pm \Delta g\\\overline g  = \frac{{4{\pi ^2}\overline \ell  }}{{{{\overline T }^2}}} = 9,968\\\frac{{\Delta g}}{g} = \frac{{\Delta l}}{{\overline l }} + 2\frac{{\Delta T}}{{\overline T }}\\\frac{{\Delta g}}{{\overline g }} = \frac{1}{{800}} + 2.\frac{{0,02}}{{1,78}} \Rightarrow \Delta g = 0,24\end{array}\)

Vậy g = 9,96 ± 0,24 m/s²

Ta có:

+ s₀ = 4cm

+ Tần số góc của con lắc:

\(\omega  = \sqrt {\frac{g}{l}}  = \sqrt {\frac{{10}}{1}}  = \sqrt {10}  = \pi \)

+ Tại t = 0:

\(\left\{ \begin{array}{l}s = {s_0}{\rm{cos}}\varphi  = 0\\v =  - \omega {s_0}\sin \varphi  > 0\end{array} \right. \to \varphi  =  - \frac{\pi }{2}\)

\(s = 4cos(\pi t - \frac{\pi }{2})cm\)

Ta có:

+ Tần số góc của dao động:

\(\omega  = \frac{{2\pi }}{T} = \pi (ra{\rm{d}}/s)\)

Mặt khác,

\(\omega  = \sqrt {\frac{g}{l}}  \to l = \frac{g}{{{\omega ^2}}} = \frac{{10}}{{{\pi ^2}}} \approx 1\)

+ Áp dụng hệ thức độc lập ta có:

\(s_0^2 = {s^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {(l\alpha )^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {(1.0,05)^2} + \frac{{0,{{157}^2}}}{{{\pi ^2}}} \to {s_0} = 0,07069m = 7,0693cm\)

Tại t=0:

\(\left\{ \begin{array}{l}s = {s_0}{\rm{cos}}\varphi  = 0,05\\v =  - \omega {s_0}\sin \varphi  > 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\varphi {\rm{ = 0,7073}}\\\sin \varphi  < 0\end{array} \right. \to \varphi  \approx  - \frac{\pi }{4}\)

\( \to s = 7,069c{\rm{os}}\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)cm\)

Coi hạt cườm như con lắc đơn dao động điều hòa có chiều dài dây treo là HO = 40 cm

\(\omega  = \sqrt {\dfrac{g}{l}}  = \sqrt {\dfrac{{10}}{{0,4}}}  = 5(rad/s)\)

Gần $4$ nhất nên chọn C

Ta có: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}  \Rightarrow {T^2} = \dfrac{{4{\pi ^2}}}{g}l \Rightarrow \tan \alpha  = \dfrac{{4{\pi ^2}}}{g} \Rightarrow g = \dfrac{{4{\pi ^2}}}{{\tan \alpha }} = 9,76\) (m/s²)

+ Tần số góc : \(\omega  = \sqrt {\dfrac{g}{l}}  = \sqrt {\dfrac{{{\pi ^2}}}{1}}  = \pi \,\left( {rad/s} \right)\)

+ Ta có : \({\alpha _0} = {9^0} = \dfrac{{9\pi }}{{180}} = \dfrac{\pi }{{20}}\left( m \right) \Rightarrow {S_0} = {\alpha _0}.l = 5\pi \,\left( {cm\,} \right)\,\)

+ Tại t = 0 thì \(\alpha  =  - \dfrac{{{\alpha _0}}}{2} =  - 4,{5^0} \Rightarrow \varphi  =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3}\)

Vật chuyển động chậm dần → ra biên \( \Rightarrow \varphi  =  + \dfrac{{2\pi }}{3}\)

Vậy phương trình dao động: \(s = 5\pi \cos \left( {\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)cm\)

Chu kì dao động: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{0,5}}{{9,8}}}  = 1,42s\)

Biểu diễn các vị trí trên VTLG:

Từ VTLG ta thấy góc quét được là: \(\Delta \varphi  = \frac{\pi }{4}\)

\( \Rightarrow \) Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí biên dương đến vị trí có li độ góc \(\alpha  = \dfrac{{{\alpha _0}}}{{\sqrt 2 }}\) là:

\(\Delta t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega } = \Delta \varphi .\frac{T}{{2\pi }} = \frac{\pi }{4}.\frac{T}{{2\pi }} = \frac{T}{8} = \frac{{1,42}}{8} = 1,774s\)

+ Chu kì dao động của con lắc đơn: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}}  = 2\pi \sqrt {\frac{{0,81}}{{9,87}}}  = 1,8s\)

+ \(\Delta t = 1,2s = \frac{{2T}}{3} = \frac{T}{2} + \frac{T}{6}\)

Vẽ trên trục ta được:

\( \Rightarrow \) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 1,2s\) là: \(S = 2{S_0} + \frac{{{S_0}}}{2} = \frac{{5{S_0}}}{2}\)

Lại có: \({S_0} = l{\alpha _0} = 0,81.\frac{{8\pi }}{{180}}\)

Ta suy ra: \(S = 0,28274m = 28,3cm\)

Con lắc đơn có quỹ đạo tròn, ở vị trí cân bằng, tổng hợp lực tác dụng lên con lắc bằng lực hướng tâm:

\({F_{ht}} = m{a_{ht}} = m\dfrac{{{v^2}}}{{\rm{l}}} \to \) A sai

Khi vật nặng ở vị trí biên, động năng của con lắc: \({W_d} = 0 \Rightarrow W = {W_t} \to \) B đúng

Dao động của con lắc là dao động điều hòa chỉ khi có biên độ nhỏ → C sai

Chuyển động của con lắc từ vị trí biên về vị trí cân bằng là nhanh dần → D sai

Gia tốc pháp tuyến: \({a_n} = 2g\left( {\cos \alpha  - \cos {\alpha _0}} \right)\)

Gia tốc tiếp tuyến: \({a_t} = g\sin \alpha \)

Gia tốc tổng hợp: \(a = \sqrt {a_n^2 + a_t^2}  \Rightarrow a = g\sqrt {3{{\cos }^2}\alpha  - 4\cos \alpha  + 2} \)

\( \Rightarrow {a_{\min }} \Leftrightarrow {\left[ {\left( {3{{\cos }^2}\alpha  - 4\cos \alpha  + 2} \right)} \right]_{\min }}\)

\( \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{2}{3} \Rightarrow {a_{\min }} = g\sqrt {\frac{2}{3}}  = 9,8\sqrt {\frac{2}{3}}  = 8m/{s^2}\)