Mẫu nguyên tử Bo

Bán kính của quỹ đạo Bo thứ 5 là :

\({r_5} = {5^2}.{r_0} = 25.0,{53.10^{ - 10}} = 13,{25.10^{ - 10}}m\)

Quỹ đạo dừng có bán kính  r_n = 13,25.10^-10 m = 5²r₀   => n = 5  =>  Quỹ đạo O

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{r_m} = {m^2}{r_0}\left( {m \in {N^*}} \right);{r_n} = {n^2}{r_0}\left( {n \in {N^*}} \right)\\ \Rightarrow {r_m} - {r_n} = 36{r_0} \Rightarrow {m^2} - {n^2} = 36 \Rightarrow \left( {m - n} \right)\left( {m + n} \right) = 36\end{array}\)

 m – n và m + n là ước của 36. Mặt khác tổng của m – n và m + n là một số chẵn nên hai số m – n và m + n sẽ cùng chẵn hoặc cùng lẻ

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - n = 2\\m + n = 18\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 10\\n = 8\end{array} \right. \Rightarrow {r_m} = 100{r_0}\)

\({F_c} = {F_{ht}} \Leftrightarrow \dfrac{{k{e^2}}}{{r_n^2}} = \dfrac{{mv_n^2}}{{{r_n}}} \Rightarrow {v_n} = \sqrt {\dfrac{{k{e^2}}}{{m{r_n}}}} \)

Quỹ đạo K ứng với \(n = 1\)

Ta suy ra tốc độ của electron chuyển động trên quỹ đạo K là: \({v_K} = \sqrt {\dfrac{{{{9.10}^9}.{{\left( {1,{{6.10}^{ - 19}}} \right)}^2}}}{{9,{{1.10}^{ - 31}}.5,{{3.10}^{ - 11}}}}}  = 2,{19.10^6}m/s\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}{r_n} + {r_{n + 7}} = {r_{n + 8}}\\ \Leftrightarrow {n^2}{r_0} + {(n + 7)^2}{r_0} = {(n + 8)^2}{r_0}\\ \Leftrightarrow {n^2} + {\left( {n + 7} \right)^2} = {\left( {n + 8} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 15 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n =  - 3\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó lực tương tác giữa electron và hạt nhân trong nguyên tử hidro ở quỹ đạo dừng n là :

\(F = \dfrac{{k{e^2}}}{{{r^2}}} = \dfrac{{{{9.10}^9}.{{(1,{{6.10}^{ - 19}})}^2}}}{{{{(25.5,{{3.10}^{ - 11}})}^2}}} = 1,{3.10^{ - 10}}N\)

Ba bức xạ ứng với: M về K, L về K, M về L

Bước sóng vạch quang phổ thứ nhất của dãy Banme:

\({\lambda _{32}} = {\rm{ }}0,656\mu m\)

Bước sóng vạch quang phổ thứ hai của dãy Banme:

\({\lambda _{42}} = {\rm{ }}0,486\mu m\)

Bước sóng vạch đầu tiên trong trong dãy Pasen:

\({\lambda _{43}}\)  

Áp dụng tiên đề Bo:

\(\begin{array}{l}{E_{43}} = {E_4} - {E_3} = {E_4} - {E_2} + {E_2} - {E_3} = \left( {{E_4} - {E_2}} \right) - \left( {{E_3} - {E_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{hc}}{{{\lambda _{43}}}} = \frac{{hc}}{{{\lambda _{42}}}} - \frac{{hc}}{{{\lambda _{32}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{\lambda _{43}}}} = \frac{1}{{{\lambda _{42}}}} - \frac{1}{{{\lambda _{32}}}} \Rightarrow {\lambda _{43}} = 1,8754\mu m\end{array}\)

Khi chuyển từ quỹ đạo M về quỹ đạo L, nguyên tử hidrô phát ra phôtôn có bước sóng:

\({\lambda _{32}} = {\rm{ }}0,6563\mu m\)

Khi chuyển từ quỹ đạo N về quỹ đạo L, nguyên tử hidro phát ra phôtôn có bước sóng :

\({\lambda _{42}} = {\rm{ }}0,4861{\rm{ }}\mu m\)

Khi chuyển từ quỹ đạo N về quỹ đạo M, nguyên tử hidro phát ra phôtôn có bước sóng:

\({\lambda _{43}}\)

Ta có:

\({E_{43}} = {E_4} - {E_3} = \left( {{E_4} - {E_2}} \right) - \left( {{E_3} - {E_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{hc}}{{{\lambda _{43}}}} = \frac{{hc}}{{{\lambda _{42}}}} - \frac{{hc}}{{{\lambda _{32}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{\lambda _{43}}}} = \frac{1}{{{\lambda _{42}}}} - \frac{1}{{{\lambda _{32}}}} \Rightarrow {\lambda _{43}} = \frac{{{\lambda _{32}}{\lambda _{42}}}}{{{\lambda _{32}} - {\lambda _{42}}}} = 1,8744\mu m\)

Từ giản đồ năng lượng của Hiđrô ta có:

 \({f_1} = {\rm{ }}{f_{\infty 2}};{\rm{ }}{f_2} = {\rm{ }}{f_{32}};{\rm{ }}{f_3} = {\rm{ }}{f_{\infty 3}}\)

Áp dụng tiên đề Bo:

 \(\begin{array}{l}h{f_\infty }_3 = {\rm{ }}{E_\infty } - {\rm{ }}{E_3} = {\rm{ }}{E_\infty } - {\rm{ }}{E_2} + {\rm{ }}{E_2} - {\rm{ }}{E_3}\;\\ \Leftrightarrow h{f_\infty }_3 = h{f_\infty }_2 + h{f_{23}} \\\Leftrightarrow {f_\infty }_3 = {f_\infty }_2 + {f_{23}} = {f_\infty }_2 - {f_{32}} \\\Leftrightarrow {f_3} = {f_1} - {f_2} \\\Leftrightarrow {f_1} = {f_2} + {f_3}\end{array}\)

Ta có:

\(\Delta E = \frac{{hc}}{\lambda } \to \lambda \)lớn nhất khi E nhỏ nhất, \(\lambda \)  nhỏ nhất khi \(\Delta E\) lớn nhất

Bước sóng dài nhất của dãy Laiman là:

\({\lambda _{21}} = \;0,1216\mu m\)

Bước sóng ngắn nhất của dãy Banme là:

\({\lambda _{\infty 2}}\; = 0,3650{\rm{ }}\mu m\)

Bước sóng ngắn nhất của bức xạ mà hiđrô có thể phát ra:

\({\lambda _{\infty 1}}\)

\(\frac{1}{{{\lambda _{\infty 1}}}} = \frac{1}{{{\lambda _{\infty 2}}}} + \frac{1}{{{\lambda _{21}}}} \Rightarrow {\lambda _{\infty 1}} = \frac{{{\lambda _{\infty 2}}{\lambda _{21}}}}{{{\lambda _{\infty 2}} + {\lambda _{21}}}} = 0,0912\mu m\)

Ta có: \({r_n} = {n^2}{r_0} = 49{r_0} \Rightarrow n = 7\)

Số bức xạ có tần số khác nhau tối đa mà khối khí hidro có thể phát ra là: \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \dfrac{{7.6}}{2} = 21\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}k\dfrac{{{e^2}}}{{r_n^2}} = \dfrac{{mv_n^2}}{{{r_n}}}\\{r_n} = {n^2}.{r_0}\end{array} \right. \Rightarrow {v_n} = \sqrt {\dfrac{{k.{e^2}}}{{m.{r_n}}}}  = \sqrt {\dfrac{{k.{e^2}}}{{m.{n^2}.{r_0}}}} \)

Mức K ứng với n = 1; Mức N ứng với n = 4

Tỉ số giữa tốc độ của electron trên quỹ đạo K với tốc độ của electron trên quỹ đạo N:

\(\dfrac{{{v_K}}}{{{v_N}}} = \sqrt {\dfrac{{{r_N}}}{{{r_K}}}}  = \sqrt {\dfrac{{{4^2}.{r_0}}}{{1.{r_0}}}}  = 4\)

Quỹ đạo L ứng với \(n = 2\)

\( \Rightarrow \) Bán kính quỹ đạo L:

\({r_L} = {2^2}{r_0} = 4.5,{3.10^{ - 11}} = 2,{12.10^{ - 10}}m\)

Trong quang phổ của nguyên tử hiđrô, các vạch phổ nhìn thấy được gồm: đỏ, lam, chàm, tím.